Lineáris függetlenség
A lineáris algebrában vektorok egy halmazát lineárisan függetlennek nevezzük, ha egyikük sem fejezhető ki a többi vektor lineáris kombinációjaként. Ellenkező esetben lineárisan összefüggő vektorokról beszélünk.
DefinícióSzerkesztés
V egy tetszőleges F test feletti vektortér.
A v1,…,vn ∈ V vektorok lineárisan függetlenek, ha lineáris kombinációjuk csak úgy lehet a nullvektor, ha mindegyik λi=0. Azaz
Végtelen sok vektor lineáris függetlenségén azt értjük, hogy közülük bármely véges sok lineárisan független.
A v1,…,vn ∈ V vektorok lineárisan összefüggőek, ha lineárisan nem függetlenek, tehát
nem mind nulla skalár, vagyis legalább egy közülük nem nulla, hogy
Megjegyzés: A jobb oldalon nem az F-beli nullelem, hanem a nullvektor szerepel.
TulajdonságokSzerkesztés
- Egy lineárisan független rendszerből tetszőleges vektort elhagyva is lineárisan független rendszert kapunk.
- Egy lineárisan összefüggő rendszerhez tetszőleges vektort hozzávéve is lineárisan összefüggő rendszerhez jutunk.
- Legalább kételemű vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan vektor benne, mely előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként.
- Ha egy lineárisan független rendszerhez egy vektort hozzávéve összefüggő rendszert kapunk, akkor az utólag hozzávett vektor előáll az eredeti vektorok lineáris kombinációjaként.
- Ha egy v vektor előáll a v1,…,vn vektorok lineáris kombinációjaként, akkor ez az előállítás akkor és csak akkor egyértelmű, ha v1,…,vn lineárisan függetlenek.