Lineáris függetlenség

Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2024. március 10.

A lineáris algebrában vektorok egy halmazát lineárisan függetlennek nevezzük, ha egyikük sem fejezhető ki a többi vektor lineáris kombinációjaként. Ellenkező esetben lineárisan összefüggő vektorokról beszélünk.

Lineárisan független vektorok az ℝ3 vektortérben
Lineárisan összefüggő vektorok az ℝ3 vektortér egy síkjában

Például a háromdimenziós euklidészi térben az , és vektorok lineárisan függetlenek. Ellenben az , és vektorok lineárisan összefüggők, ami többféleképpen is megmutatható:

  • A harmadik vektor az első két vektor összege.
  • Az első vektor előáll a harmadik és a második vektor különbségeként.
  • A második vektor előáll a harmadik és a második különbségeként.
  • A nullvektor előáll, ha a harmadik vektorból kivonjuk az első két vektor összegét.

Szintén lineárisan összefüggők az , és vektorok, habár a harmadik vektor nem áll elő az első két vektor lineáris kombinációjaként. Az összefüggés azért áll fenn, mert .

Definíció

szerkesztés

V egy tetszőleges F test feletti vektortér.
A v1,…,vnV vektorok lineárisan függetlenek, ha lineáris kombinációjuk csak úgy lehet a nullvektor, ha mindegyik λi=0. Azaz

 

Végtelen sok vektor lineáris függetlenségén azt értjük, hogy közülük bármely véges sok lineárisan független.
A v1,…,vnV vektorok lineárisan összefüggőek, ha lineárisan nem függetlenek, tehát

 

nem mind nulla skalár, vagyis legalább egy közülük nem nulla, hogy

 

Megjegyzés: A jobb oldalon nem az F-beli nullelem, hanem a nullvektor szerepel.

A fogalmat használják vektorterek tetszőleges részhalmazaira is használják. Egy   vektortér egy   részhalmaza lineárisan független, ha az   halmaz összes különböző vektorokból álló vektorpárja lineárisan független. Figyeljünk a következő különbségre: Ha   lineárisan független család, akkor   nyilván lineárisan összefüggő család. Ezzel szemben az   halmaz lineárisan független.

Tulajdonságok

szerkesztés
  1. Egy lineárisan független rendszerből tetszőleges vektort elhagyva is lineárisan független rendszert kapunk.
  2. Lineárisan független vektorcsalád minden részcsaládja lineárisan független.
  3. Egy lineárisan összefüggő rendszerhez tetszőleges vektort hozzávéve is lineárisan összefüggő rendszerhez jutunk.
  4. Bármely vektorcsalád, ami tartalmaz lineárisan összefüggő vektorcsaládot, szintén lineárisan összefüggő.
  5. Legalább kételemű vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan vektor benne, mely előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként.
  6. Ha egy lineárisan független rendszerhez egy vektort hozzávéve összefüggő rendszert kapunk, akkor az utólag hozzávett vektor előáll az eredeti vektorok lineáris kombinációjaként.
  7. Ha egy v vektor előáll a v1,…,vn vektorok lineáris kombinációjaként, akkor ez az előállítás akkor és csak akkor egyértelmű, ha v1,…,vn lineárisan függetlenek.
  8. Egy   fölötti   vektortér elemeiből képzett   család pontosan akkor lineárisan független, ha a   lineáris leképezés magtere  .
  9. A   vektorok lineáris függetlenek, ha egyikük sem áll elő a többi lineáris kombinációjaként. Ez a tulajdonság nem vihető át gyűrű fölötti modulusra.
  10. Az előző állítás egy változata az összefüggési lemma: Ha   lineárisan függetlenek, de   lineárisan összefüggők, akkor   előáll   lineáris kombinációjaként.
  11. A vektorok elemi átalakításai nem változtatnak a lineáris függetlenségen vagy összefüggésen.
  12. Ha az egyik   nullvektor (legyen ez  ), akkor a család lineárisan összefüggő. Ez beláthat úgy, hogy a lineáris kombinációban minden együttható nulla, kivéve az   együtthatót, ami tetszőleg, nullától különböző szám.
  13. Ha a vektortér dimenziója  , akkor minden  -nél több elemű vektorból álló család lineárisan összefüggő.

Bizonyítás determinánssal

szerkesztés

Adva legyen egy   dimenziós vektortér egy rögzített bázissal! Ekkor, ha adva van   vektor a bázisban, akkor lineáris függésük eldönthető úgy, hogy oszlop-vagy sorvektorként betesszük őket egy mátrixba, és eldöntjük, hogy a mátrix determinánsa nulla-e. Ha a determináns nulla, akkor lineárisan összefüggők, különben lineárisan függetlenek.

Vektortér bázisa

szerkesztés

Vektorterekben a bázisok lineárisan független generátorrendszerek. A bázisok lehetővé teszik, hogy véges dimenziós terekben koordinátákkal írjuk le a vektorokat és a lineáris transzformációkat, így könnyebben tudunk velük számolni.

 
  • Az   és   vektorok lineárisan függetlenek, mert egy síkot definiálnak.
  • Az  ,   és   vektorok lineárisan összefüggőek, mivel egy síkban fekszenek.
  • Az   és   vektorok lineárisan összefüggnek, mivel párhuzamosak egymással.
  • A   és a   vektorok lineárisan összefüggnek, mivel  .
  • Az  ,   és   vektorok lineárisan függetlenek, mivel   és   lineárisan független, és   nem áll elő a két vektor lineáris kombinációjaként, illetve nem esik az általuk meghatározott síkba. Ezek a vektorok egy háromdimenziós teret határoznak meg.

Egyetlen vektor

szerkesztés

Legyen   vektortér a   test fölött! Ekkor a   vektor akkor és csak akkor alkot lineárisan független halmazt, vagy családot, ha különbözik a nullvektortól.

Mivelhogy

 , ahol  ,  

csak   vagy   esetén lehet igaz.

Síkvektorok

szerkesztés

Az   és   síkvektorok lineárisan függetlenek  -ben.

Legyen ugyanis  , ekkor

 

így

 

Ekkor

 

tehát

 

Ennek az egyenletrendszernek az egyedüli megoldása  ,  , azaz a triviális megoldás. Emiatt   és   lineárisan független.

Standard bázis

szerkesztés

A kanonikus egységvektorok lineárisan függetlenek  -ben, ahol:

 

Bizonyítás:

Legyenek   úgy, hogy

 

Ekkor azonban

 

innen   minden   esetén.

Függvények

szerkesztés

Legyen   a   függvények vektortere! Ekkor   és   lineárisan független  -ben.

Bizonyítás: Legyenek   úgy, hogy

 

minden  -re. Ha   szerint deriválunk, akkor a következő egyenletet kapjuk:

 .

Kivonva a második egyenletet az elsőből:

 .

Mivel az egyenlőség teljhesül minden  -re, így a   helyettesítéssel kapjuk, hogy  . Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe adódik, hogy:

 .

Innen következik, hogy   esetén   kell, hogy legyen. Mivel az egyenletrendszernek csak a triviális megoldása létezik, azért   és   lineárisan független  -ben.

Legyen   a valós értékű, folytonos   függvények vektortere! Ekkor teljesül, hogy

 

azonban   lineárisan függetlenek. Ennek az az oka, hogy   hatványai polinomok, és nem általános hatványsorok, így 1 környezetében korlátosak, tehát   nem áll elő a hatványok lineáris kombinációjaként.

Mátrix sorai és oszlopai

szerkesztés

Érdekes az a kérdés is, hogy egy mátrix sorai vagy oszlopai lineárisan függetlenek-e. Itt a sorokat vagy az oszlopokat vektoroknak tekintjük. A négyzetes mátrix az érdekesebb eset, hiszen ha egy vektorcsalád több elemet tartalmaz, mint amennyi dimenziós, akkor lineárisan összefüggő; így ha egy mátrix nem négyzetes, akkor vagy sorai, vagy oszlopai lineárisan összefüggnek. Ha egy négyzetes mátrix sorai lineárisan függetlenek, akkor oszlopai is; a mátrix determinánsa különbözik nullától és invertálható. Ezeket a mátrixokat regulárisnak nevezik. Ellenkező esetben a sorok lineárisan összefüggnek, így az oszlopok is; a mátrix determinánsa egyenlő nullával, és nem invertálható. Ezek a mátrixok szingulárisak.

Racionális függetlenség

szerkesztés

A valós számoknak az a halmaza, melyek mint együtthatók lineárisan függetlenek a racionális számok fölött, racionálisan függetlenek, összemérhetetlenek vagy inkommenzurábilisak. Például   racionálisan független, míg   racionálisan összefüggő.

Általánosítások

szerkesztés

A lineáris függetlenség analóg módon definiálható modulusok elemein. Ebben az összefüggésben a lineárisan független családokat szabadnak is nevezik (lásd még: szabad modulus).

A lineáris függetlenség tovább általánosítható halmazokra, lásd még: matroid.

Fordítás

szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lineare Unabhängigkeit című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Lásd még

szerkesztés