Lineáris függetlenség

A lineáris algebrában vektorok egy halmazát lineárisan függetlennek nevezzük, ha egyikük sem fejezhető ki a többi vektor lineáris kombinációjaként. Ellenkező esetben lineárisan összefüggő vektorokról beszélünk.

Definíció

V egy tetszőleges F test feletti vektortér.
A v₁,…,v_n ∈ V vektorok lineárisan függetlenek, ha lineáris kombinációjuk csak úgy lehet a nullvektor, ha mindegyik λ_i=0. Azaz

$\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} \Rightarrow \lambda _{i}=0,\,\,i=1,\ldots ,n$

Végtelen sok vektor lineáris függetlenségén azt értjük, hogy közülük bármely véges sok lineárisan független.
A v₁,…,v_n ∈ V vektorok lineárisan összefüggőek, ha lineárisan nem függetlenek, tehát

$\exists \ \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in \mathbf {F}$

nem mind nulla skalár, vagyis legalább egy közülük nem nulla, hogy

$\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .$

Megjegyzés: A jobb oldalon nem az F-beli nullelem, hanem a nullvektor szerepel.

Tulajdonságok

1. Egy lineárisan független rendszerből tetszőleges vektort elhagyva is lineárisan független rendszert kapunk.
2. Egy lineárisan összefüggő rendszerhez tetszőleges vektort hozzávéve is lineárisan összefüggő rendszerhez jutunk.
3. Legalább kételemű vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan vektor benne, mely előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként.
4. Ha egy lineárisan független rendszerhez egy vektort hozzávéve összefüggő rendszert kapunk, akkor az utólag hozzávett vektor előáll az eredeti vektorok lineáris kombinációjaként.
5. Ha egy v vektor előáll a v₁,…,v_n vektorok lineáris kombinációjaként, akkor ez az előállítás akkor és csak akkor egyértelmű, ha v₁,…,v_n lineárisan függetlenek.

Lásd még

• Duális tér
• Lineáris algebra
• Lineáris leképezés
• Tenzor
• Vektor
• Vektortér