Hamel-dimenzió

A Hamel-dimenzió a lineáris algebrában használatos dimenziófogalom, amely azt próbálja megragadni, hány egymástól független irány létezik. Informálisan egy tér Hamel-dimenziója n, ha legalább ennyi irány szükséges ahhoz, hogy csak ezekben az irányokban (előre vagy hátra) mozogva a tér bármely pontjába eljuthassunk.

Definíció

Egy V vektortér dimenziója tetszőleges bázisának elemszáma, számossága. Ennek jogosságát az a tétel biztosítja, miszerint bármely két bázis azonos számosságú. Jelölés $\ \mathrm {dim} V$.
Definíció alapján, ha V={0}, azaz a 0 tér esetén a dimenzió 0.

Ha a kiválasztási axióma teljesül, akkor minden vektortérnek van bázisa; ha gyengébb változata, az ultrafilter-lemma teljesül, akkor egy vektortér minden bázisa azonos számosságú. Ez alapján a definíció végtelen dimenziós vektorterekre is konzisztens.

Példák

• a közönséges térvektorok vektortere 3 dimenziós, ezek között bármely két, origó kezdőpontú, nem párhuzamos vektor kifeszít egy kétdimenziós alteret, síkot.
• Fⁿ dimenziója n, míg F^{n × k}-é nk.
• a legfeljebb k-adfokú polinomok k+1 dimenziós alteret feszítenek ki.
• az F feletti polinomok vektortere megszámlálhatóan végtelen dimenziós.
• a valós függvények tere kontinuum dimenziós.

Tulajdonságok

Ekvivalens feltételek

V ≠ 0 vektortér, n ∈ N⁺

1. dim V = n
2. V-ben a maximálisan független vektorok száma: n
3. V-ben a minimális generátorrendszer n elemű.

Altér dimenziója

• Ha $V\$ vektortér, $W\leq V$, akkor $\mathrm {dim} \,W\leq \mathrm {dim} \,V$.
• Véges dimenziós $V\$ vektortérre, ha $\mathrm {dim} \,W=\mathrm {dim} \,V$, akkor $W=V\$.

Rang

Az a₁,…,a_n vektorrendszer rangja r, ha az n vektor között a maximálisan független vektorok száma r.

Tulajdonságok

Az a₁,…,a_n vektorok által generált altér dimenziója

$\mathrm {dim} \langle \mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle =\mathrm {rang} (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$

Lásd még

• Lineáris leképezés
• Tenzor