Főmenü megnyitása
Jelölések

A koszinusztétel a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Az ábra jelöléseivel:

vagy másként:

Tartalomjegyzék

BizonyításokSzerkesztés

  • A tétel bizonyítható egy háromszög két derékszögű háromszögre való felbontásával.
     
    Koszinusztétel bizonyítása

Ekkor az ábrán bal oldalon látható derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk az állítást:

   
 
 

felhasználva a   trigonometriai azonosságot.

Megjegyzés: Ez a bizonyítás egy kisebb módosítást igényel, ha  . Ebben az esetben a bal oldali háromszög, amire felírtuk a Pitagorasz-tételt, a háromszögön kívül lesz. A változás a bizonyításban csupán az, hogy   helyett   szerepel. Mivel a bizonyításban ennek a mennyiségnek csak a négyzete szerepel, a bizonyítás maradék része változatlan marad.

  • Belátható vektorok segítségével is:

Az   háromszög adott.  -ből indítsuk a helyvektorokat.  -ba mutató vektor legyen  .  -be mutató vektor legyen  . Az   és   vektorok hajlásszöge legyen  .

Ekkor    . (Mert a skaláris szorzat disztributív a vektorösszeadásra nézve.) QED

AlkalmazásokSzerkesztés

A koszinusztétel segítségével meg lehet határozni egy háromszög többi adatát két oldalából és az általuk közbezárt szögből vagy három oldalból. Az utóbbi esetben célszerű a meghatározást a legnagyobb oldallal szemközti szöggel kezdeni, így ugyanis a többi szög a szinusztétel használatával is egyértelmű lesz (mivel ezek már biztosan hegyesszögek).

ForrásokSzerkesztés

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés