Kotangenstétel

A kotangenstétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög bármely félszögének kotangense egyenlő a félkerület és a szemközti oldal különbségének és a beírt kör sugarának arányával, vagyis:

$\mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\rho }},$

$\mathrm {ctg} {\frac {\beta }{2}}={\frac {s-b}{\rho }},$

$\mathrm {ctg} {\frac {\gamma }{2}}={\frac {s-c}{\rho }},$

ahol $\rho ={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}$ a háromszög beírt körének sugara, $s={\frac {a+b+c}{2}}$ pedig a háromszög félkerülete.

Másképp:

${\frac {\mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}}{s-a}}={\frac {\mathrm {ctg} {\frac {\beta }{2}}}{s-b}}={\frac {\mathrm {ctg} {\frac {\gamma }{2}}}{s-c}}={\frac {1}{\rho }}$.

Bizonyítása

A kotangenstétel bizonyítása

Legyen az $A$ csúcsnál lévő szög (a szokásos jelöléssel) $\alpha$, a szemközti oldal pedig $a$.

Ha a beírt kör $O$ középpontjából merőlegest bocsátunk valamelyik (nem $a$) oldalra, az $A$ pontot pedig összekötjük a $O$ középponttal, akkor – az ábra szerint – egy derékszögű háromszöget kapunk, melynek $A$-nál lévő szöge ${\frac {\alpha }{2}}$, mert a beírt kör középpontja a szögfelezőkön van.

E háromszög ${\frac {\alpha }{2}}$ szöggel szemközti befogója éppen $\rho$ hosszúságú.

A háromszög oldalait a beírt körrel való érintési pontjai rendre két-két részre osztják, melyek hossza az ábra szerint $a=y+z$, $b=x+y$, $c=x+z$ (adott pontból a körhöz húzott érintő szakaszok hossza egyenlő).

Az $ABC$ háromszög félkerületének hossza így $s=x+y+z$, amiből az $ATO$ háromszög $AT$ befogójára $AT=x=s-(y+z)=s-a$ adódik. Az $ATO$ háromszögben pedig

$\mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {AT}{OT}}={\frac {s-a}{\rho }}$.

Mivel a bizonyítás közben a háromszög oldalainak, szögeinek semmilyen speciális tulajdonságát nem használtuk ki, a tétel éppígy igaz a többi oldalra is. Q.E.D.

Kapcsolódó szócikkek

• Koszinusztétel
• Szinusztétel
• Tangenstétel
• Mollweide-formula