A kotangenstétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög bármely félszögének kotangense egyenlő a félkerület és a szemközti oldal különbségének és a beírt kör sugarának arányával, vagyis:

ahol a háromszög beírt körének sugara, pedig a háromszög félkerülete.

Másképp:

.

BizonyításaSzerkesztés

 
A kotangenstétel bizonyítása

Legyen az   csúcsnál lévő szög (a szokásos jelöléssel)  , a szemközti oldal pedig  .

Ha a beírt kör   középpontjából merőlegest bocsátunk valamelyik (nem  ) oldalra, az   pontot pedig összekötjük a   középponttal, akkor – az ábra szerint – egy derékszögű háromszöget kapunk, melynek  -nál lévő szöge  , mert a beírt kör középpontja a szögfelezőkön van.

E háromszög   szöggel szemközti befogója éppen   hosszúságú.

A háromszög oldalait a beírt körrel való érintési pontjai rendre két-két részre osztják, melyek hossza az ábra szerint  ,  ,   (adott pontból a körhöz húzott érintő szakaszok hossza egyenlő).

Az   háromszög félkerületének hossza így  , amiből az   háromszög   befogójára   adódik. Az   háromszögben pedig

 .

Mivel a bizonyítás közben a háromszög oldalainak, szögeinek semmilyen speciális tulajdonságát nem használtuk ki, a tétel éppígy igaz a többi oldalra is. Q.E.D.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés