Heaviside-függvény

Az ún. Heaviside-függvény (a műszaki életben gyakran: egységugrás függvény) egy elemi egyváltozós valós függvény. A lépcsős függvények családjába tartozik, a szignumfüggvény egyszerű lineáris transzformáltja: kiszámolható, mint a független változó szignumának és az 1 konstansnak számtani közepe.

Valahogy így nézne ki a Heaviside-függvény egy oszcilloszkóp ernyőjén

A függvényt a műszaki életben (például elektronika, vezérléselmélet, DSP, MNH- és általában MI-kutatás) is alkalmazzák. Gyakorta használják olyan szignálok leírására, melyek egy adott időponttól kezdve folyamatosan észlelhetőek. Általában H(x)-szel jelölik, de előfordul még a θ(x) és az u(x) jelölés is. Szokásos az ε(t) jelölés is.

Angolszász nyelvterületen a Heaviside function (Heaviside-függvény) néven kívül nevezik unit step functionnek („egységugrás függvény”), illetve hard limit functionnek („éleshatár”-függvény). Ezek az elnevezések a magyar nyelvű szakmunkákban is gyakran előfordulnak.

A függvény grafikonja a H(0) = 0,5
megállapodást használva

Történetéről

A függvényt Oliver Heaviside (1850 – 1925) angol mérnök-fizikus-matematikus vezette be az elektronikus áramkörökben mért áramerősség elméleti leírására.

Többféle konvenció alakult ki arra nézve, hogy a 0 szakadási helyhez tartozó H(0) értéket hogyan definiálják. Eredetileg a H(0) := 0,5 megállapodás volt használatos, és ma is ez a leggyakoribb; későbbi szerzők a H(0) = 0 vagy a H(0) = 1 megállapodással is élnek (ld.: Heaviside-függvénycsalád).

A Heaviside-függvény definíciói

$H(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;\ H(x)=$ $=$ ${\mbox{ }}_{\ {\begin{cases}1,&{\mbox{ha }}x>0;\\{\frac {1}{2}},&{\mbox{ha }}x=0;\\0,&{\mbox{ha }}x<0\end{cases}}}$ $=$ ${\frac {\operatorname {sgn}(x)+1}{2}}$ $=$ $\int _{-\infty }^{x}{\delta (t)}dt$ $=$ $\lim _{\epsilon \to 0}-{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +i\epsilon }e^{-ix\tau }d\tau$

A függvényt többek között esetszétválasztásos úton ([1]), vagy az ún. szignumfüggvény ($sgn(x)$) felhasználásával ([2]) lehet definiálni.

Értékei azonban infinitezimális (azaz határértékeket, például Riemann-integrált használó) úton is számolhatóak: a $\delta (t)$ Dirac-féle deltafüggvény általánosított Riemann-integrálásával, azaz ún. improprius integrálásával ([3]), illetve egy komplex függvénytani formulával ([4]).

A Heaviside-függvénycsalád

H₀(x)

H_1/2(x)

H₁(x)

A H(0) = 0,5 egyenlőség helyett megállapodhatunk bármely másik valós számban is, a függvény 0 helyen vett értéke mi legyen. Így definiálható végtelen sok (kontinuum sok) függvény, melyek „majdnem mindenütt” egyenlőek az itteni képlettel definiált függvénnyel:

Hz(x): ℝ→ℝ;  Hz(x) = $\ {\begin{cases}1,&{\mbox{ha }}x>0;\\z,&{\mbox{ha }}x=0;\\0,&{\mbox{ha }}x<0\end{cases}}$

ahol z∈ℝ tetszőleges valós szám lehet.

Ezek közül leggyakrabban H0(x) (tehát melyre H0(0)=0) illetve a H1(x) (tehát melyre H1(0)=1) használatosak. Megvan az az előnyük, hogy elegendő csak kettős esetszétválasztással definiálni őket, és nem kell három esetet megkülönböztetni.

Pl.:

H0(x): ℝ→ℝ;  H0(x) = $\ {\begin{cases}1,&{\mbox{ha }}x>0;\\0,&{\mbox{ha }}x\leq 0\end{cases}}$

Mellesleg, H1(x) egyszerű lineáris transzformáltja H0(x)-nak:

H1(x)  =  -H0(-x)+1

Néha a Hz(x) jelölést a H(x-z), még inkább a H1(x-z) rövidítésére is használják; noha ily módon csak egy nagyon egyszerű lineáris transzformációt rövidítenek.

Analitikus tulajdonságok

Nemnegativitás

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga, azaz

∀x∈ℝ: H(x)≥0

és

|H(x)| = H(x) .

• Bizonyítás: a [2] definíció alapján az I. negyedben nemnegatív (hiszen 1), a másodikban nulla, így mindenhol nemnegatív.

Ez a Hz(x) családnak csak azon tagjaira igaz, melyekre z≥0. Az x = 0 kivételével azonban a család összes többi tagja is mindenütt másutt nemnegatív.

Korlátosság

A teljes értelmezési tartományon korlátos, hiszen

∀x∈ℝ: |H(x)|≤1

Az 1. definíció alapján ez nyilvánvaló, hiszen x>0 esetén a függvény legfeljebb 1, és így abszolút értéke is legfeljebb 1; x=0 esetén a függvény 1/2, míg x<0 esetén 0, és az utóbbi esetekben is kisebb 1-nél, de nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga, s így abszolút értéke is kisebb mint 1.

A Hz(x) család többi tagjai is mind korlátosak, csak épp az abszolútérték korlátja nem 1, hanem |z| (hasonlóan bizonyíthatóan az előző gondolatmenethez), tehát:

∀x∈ℝ: |Hz(x)|<|z|

Folytonosság

Nem folytonos, mert 0-ban szakadási helye (ráadásul nem megszüntethető szakadása) van, de 0-t kivéve az értelmezési tartomány összes többi pontjában folytonos. Összességében: majdnem mindenütt folytonos.

Ez igaz a Hz(x) család összes többi tagjára is.

Derivált

Deriváltja az x = 0 kivételével mindenütt a konstans 0 függvény, tehát

H'(x) = 0(x) = 0 ha x≠0.

(tehát a H(x) mint függvény deriváltja a 0(x) konstans 0 függvény, míg a H(x) x helyen felvett értéke a 0 szám).

Hiszen a függvény mindenütt konstans, tehát deriváltja, ahol csak létezik, 0. És a 0 helyet kivéve, minden más helyen létezik.

Azonban a deriváltfüggvényt a kibővített valós számok halmazán (ℝ∪{±∞}) értelmezve, a 0 helyen is létezik derivált, mégpedig a Dirac-delta; mivel e helyen a jobb és bal oldali derivált egyaránt +∞.

A deriváltra vonatkozó fenti megállapítások igazak a Hz(x) család összes többi tagjára is.

Integrál

Integrálja az ún. rámpafüggvény:

$\int _{-\infty }^{x}H(x)dx=R(x)=\ {\begin{cases}x,&{\mbox{ha }}x\geq 0;\\0,&{\mbox{ha }}x<0\end{cases}}$

Fourier-transzformált

${\mathcal {F}}_{k}(H(x))$ $=$ $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ikx}H(x)dx$ $=$ ${\frac {1}{2}}\left(\delta (k)-{\frac {i}{\pi k}}\right)$

Itt $\delta (x)$ az ún. Dirac-delta.

Algebrai tulajdonságok

Iteráció-stabilitás

Az iterációra („önmagára való alkalmazásra”) nézve nem invariáns, ugyanis H<2>(x) második iteráltja nem önmaga, hanem

$H^{<2>}(x)={\frac {H_{1}(x)+1}{2}}$.

Magasabb fokú iteráltjai azonban n = 3-tól kezdve már stabilizálódnak, a harmadik iterált már iteráció-invariáns, sőt iteráció-fix; a stabil iterált pedig a konstans 1 függvény:

$H^{<n>}(x)=1(x)=1$ ha n≥3 (n∈ℕ).

Ezt úgy láthatjuk be, hogy az alábbi táblázatban sorról sorra kiszámítjuk az értékeket, minden oszlop értékei az előző oszlop megfelelő cellájában lévő érték H(x) szerinti képe.

n	x>0	x=0	x<0	H<n>(x)
0	x	x	x	idℝ
1	1	1/2	0	H(x)
2	H(1) = 1	H(1/2) = 1	H(0) = 1/2	${\mbox{ }}_{{\frac {H_{1}(x)+1}{2}}=\ {\begin{cases}1,&{\mbox{ha }}x\geq 0;\\{\frac {1}{2}},&{\mbox{ha }}x<0\end{cases}}}$
3	H(1) = 1	H(1) = 1	H(1/2) = 1	1(x)
4	H(1) = 1	H(1) = 1	H(1/2) = 1	1(x)
…

Ez igaz a Hz(x) család z>0 paraméterű tagjaira is. A z<0 negatív paraméterű tagok iteráltja nem stabilizálódik, hanem az n=1-rendű iterált (az eredeti függvény) és egy másik függvény (az n=2-rendű iterált) közt felváltva ingadozik.

Diszkrét Heaviside-függvény

Az értelmezési tartomány ℕ-re szűkítésével kapjuk a diszkrét Heaviside-függvényt:

$H(n)=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta (k)={\begin{cases}0,&{\mbox{ha }}n<0\\1,&{\mbox{ha }}n\geq 0\end{cases}}\,$

ahol $\delta (k)$ a Kronecker-delta-függvény.

Technikai felhasználása

Elektronikában

Erősítő, vagy szabályzókör bemenetére egységugrás függvény szerinti jelet (gyakorlatilag négyszögjelet) kapcsolva a kimeneti jel alapján a frekvenciamenetre, és a stabilitásra vonatkozó következtetéseket lehet levonni (a frekvenciamenet vizsgálat pontosabb eredményt ad).

Irodalom

• Weisstein, Eric W.: Heaviside-függvény (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Kapcsolódó szócikk

• szignumfüggvény