Valós értékű függvény

(Valós függvény szócikkből átirányítva)

A valós értékű függvény olyan függvény, amelynek értékkészlete a valós számok halmazának részhalmaza. Vagyis olyan függvény, amely az értelmezési tartományának minden eleméhez egy valós számot rendel.

A valós függvények fontossága az általuk alkotott függvényterekben van.

Általános definíciók

Legyen $X$  egy tetszőleges halmaz. Jelölje ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$  az összes olyan függvény halmazát, amelyeknek alaphalmaza $X$ , képhalmazuk pedig a valós számok halmaza, $\mathbb {R}$ . Mivel $\mathbb {R}$  testet alkot, így ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$  egy vektortér:

• $\ f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$  – definiálható a vektorösszeadás
• $\ \mathbf {0} :x\mapsto 0$ létezik additív egységelem
• $\ cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in {\mathbb {R} }$  – definiálható skalárral való szorzás
• $\ fg:x\mapsto f(x)g(x)$  – és definiálható pontonkénti szorzat.

Mivel $\mathbb {R}$  rendezett halmaz is, így ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$  részbenrendezett halmaz, vagyis:

• $\ f\leq g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leq g(x)$ .

${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$  részbenrendezett gyűrű.

Mérhetőség

A Valós Borel halmazok által alkotott σ-algebrák fontos jelentőséggel bírnak. Ha $X$ -nek létezik ilyen σ-algebrája és az $f$  függvény olyan, hogy $f^{-1}(B)$  eleme a σ-algebrának, bármely $B$  Borel halmazra, akkor $f$  úgynevezett mérhető függvény. A mérhető függvények vektorteret és algebrát is alkotnak, lásd fentebb.

 A szócikk egy része még lefordítandó. Segíts te is a fordításban!

Folytonosság

A valós számok topologikus teret és teljes metrikus teret alkotnak. A folytonos valós értékű függvények fontosak a topologikus és a metrikus terek elméletében. A Weierstrass-tétel szerint, bármely kompakt téren értelmezett valós folytonos függvény felveszi globális maximumát és minimumát, vagyis léteznek globális szélsőértékei.

Maga a metrikus tér definíciója is egy valós értékű úgynevezett távolságfüggvényen, a metrikán alapul, amely egy folytonos függvény. A kompakt Hausdorff téren értelmezett folytonos függvények különösen fontosak. A konvergens sorozatok szintén tekinthetőek valós értékű folytonos függvényeknek egy speciális topologikus tér felett.

A folytonos függvények szintén vektorteret és algebrát alkotnak (lásd fentebb), és a mérhető függvények részhalmazát képezik, mivel bármely topologikus térnek van a nyitott (vagy zárt) részhalmazai által generált σ-algebrája.

== Simaság == {{main|Smooth function}} Real numbers are used as the codomain to define smooth functions. A domain of a real smooth function can be the [[real coordinate space]] (which yields a [[real multivariable function]]), a [[topological vector space]],<ref>Different definitions of [[derivative]] exist in general, but for finite [[dimension (vector space)|dimensions]] they result in equivalent definitions of classes of smooth functions.</ref> an [[open subset]] of them, or a [[smooth manifold]]. Spaces of smooth functions also are vector spaces and algebras as explained [[#In general|above]], and are a subclass of [[#Continuous|continuous functions]]. == Appearances in measure theory == A [[measure (mathematics)|measure]] on a set is a [[non-negative]] real-valued functional on a σ-algebra of subsets.<ref>Actually, a measure may have values in {{closed-closed|0, +∞}}: see [[extended real number line]].</ref> [[Lp space|L<sup>''p''</sup> spaces]] on sets with a measure are defined from aforementioned [[#Measurable|real-valued measurable functions]], although they are actually [[Quotient space (topology)|quotient space]]s. More precisely, whereas a function satisfying an appropriate [[integral|summability condition]] defines an element of L<sup>''p''</sup> space, in the opposite direction for any {{math|''f'' ∈ L<sup>''p''</sup>(''X'')}} and {{math|''x'' ∈ ''X''}} which is not an [[atom (measure theory)|atom]], the value {{math|''f''(''x'')}} is [[well-definition|undefined]]. Though, real-valued L<sup>''p''</sup> spaces still have some of the structure explicated [[#In general|above]]. Each of L<sup>''p''</sup> spaces is a vector space and have a partial order, and there exists a pointwise multiplication of "functions" which changes {{mvar|p}}, namely :$\sdot: L^{1/\alpha} \times L^{1/\beta} \to L^{1/(\alpha+\beta)},\quad 0 \le \alpha,\beta \le 1,\quad\alpha+\beta \le 1.$ For example, pointwise product of two L<sup>2</sup> functions belongs to L<sup>1</sup>. == Other appearances == Other contexts where real-valued functions and their special properties are used include [[monotonic function]]s (on [[ordered set]]s), [[convex function]]s (on vector and [[affine space]]s), [[harmonic function|harmonic]] and [[subharmonic function|subharmonic]] functions (on [[Riemannian manifold]]s), [[analytic function]]s (usually of one or more real variables), [[algebraic function]]s (on real [[algebraic variety|algebraic varieties]]), and [[polynomial]]s (of one or more real variables).