Bessel-egyenlőtlenség

A Bessel-egyenlőtlenség a funkcionálanalízis egy tétele, mely kapcsolatot teremt egy Hilbert-térbeli elem normája és egy ortonormált rendszerre vett vetületének együtthatói között.

Legyen $H$ Hilbert-tér, és legyen $\{e_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ egy ortonormált rendszer $H$-ban. Ekkor minden $x\in H$-ra:

$\sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}$

ahol <∙,∙> jelöli a téren értelmezett skalárszorzatot.

Ha a fenti ortonormált rendszer teljes is, akkor a két oldal egyenlő egymással, ez a Parseval-formula.

A Bessel-egyenlőtlenség egyszerűen adódik a következő számolásból:

$0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},$

Ez a szócikk a PlanetMath Bessel inequality cikkéből származó szövegen alapul. A PlanetMath GFDL licenc alatt terjeszthető.