A Bessel-egyenlőtlenség a funkcionálanalízis egy tétele, mely kapcsolatot teremt egy Hilbert-térbeli elem normája és egy ortonormált rendszerre vett vetületének együtthatói között.
Legyen
Hilbert-tér, és legyen
egy ortonormált rendszer
-ban. Ekkor minden
-ra:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c388dc25d719d0a8fc1d0e0d8e6c988fdb91b6a4)
ahol <∙,∙> jelöli a téren értelmezett skalárszorzatot.
Ha a fenti ortonormált rendszer teljes is, akkor a két oldal egyenlő egymással, ez a Parseval-formula.
A Bessel-egyenlőtlenség egyszerűen adódik a következő számolásból:
![{\displaystyle 0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9674a3dbbdf97d78ba82eac8eccd6a8daff33bfe)
Ez a szócikk a PlanetMath Bessel inequality cikkéből származó szövegen alapul. A PlanetMath GFDL licenc alatt terjeszthető.