Főmenü megnyitása

A hullámfüggvény egy kvantummechanikai állapot (azaz kvantumállapot) jellemzésére alkalmazható matematikai eszköz. Bár a klasszikus mechanikai hullámegyenlet egy megoldásaként előálló hullámfüggvény analógiájára hozták létre, a kvantummechanikában némiképp más értelemmel bír: a kvantummechanikai hullámfüggvény egy igen kiterjedt módon alkalmazott általános matematikai formalizmus egy alapvető matematikai objektuma.

DefinícióSzerkesztés

A modern szóhasználatban a hullámfüggvény jelenthet bármilyen vektort vagy függvényt, amely egy fizikai rendszer állapotát írja le, általában a rendszer más állapotai – alapvektorai, bázisfüggvényei – szerint kifejtve. Tipikusan egy hullámfüggvény lehet:

 ,
  • komplex vektor végtelen sok komponenssel
 ,
  • egy vagy több valós változó komplex függvénye („folytonos indexű” komplex vektor) (például Schrödinger-kép)
 .

Mindegyik esetben a hullámfüggvény a rendszer teljes leírását adja. Fontos azonban megjegyezni, hogy a rendszerhez rendelt hullámfüggvényt nem határozza meg egyértelműen az illető rendszer, mivel sok különböző hullámfüggvény is leírhatja ugyanazt a rendszert.

Interpretáció (függvény)Szerkesztés

A hullámfüggvény fizikai interpretációja függ attól, hogy milyen összefüggésben használjuk. Számos példa található alább, mindegyiket megvizsgálva a fent megadott három esetre.

Egy részecske egy térdimenzióbanSzerkesztés

Egy részecskéhez egy dimenzióban rendelt hullámfüggvény egy olyan komplex   függvény, amelyet a valós számegyenesen értelmezünk. A hullámfüggvény   abszolutérték-négyzetét a részecske helyzetének (megtalálási) valószínűségsűrűségének tekintjük, ezért annak a valószínűsége, hogy a részecske helyének megmérése az   intervallumba eső eredményt ad:

 .

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

 .

Mivel a részecske helyzetének mérése mindenképpen eredményre kell, hogy vezessen, azt valahol meg kell találnunk.

Egy részecske három térdimenzióbanSzerkesztés

A három dimenziós eset analóg az egy dimenzióssal. A hullámfüggvény egy komplex   függvény, amely a háromdimenziós Euklideszi téren van értelmezve, és az abszolutérték négyzetét háromdimenziós valószínűségsűrűség függvénynek tekintjük. Annak valószínűsége, hogy a részecskét a helyzetmérés során az   térfogatban találjuk:

 .

A normálási feltétel hasonló:

 ,

ahol az integrálás az egész térre kiterjed.

Két megkülönböztethető részecske három térdimenzióbanSzerkesztés

Ebben az esetben a hullámfüggvény hat (valós) térváltozó komplex függvénye:

 ,

és   a két részecske pozíciójának együttes valószínűségsűrűségi függvénye. Annak a valószínűsége, hogy a két részecske helyzetének együttes mérése az első részecskét az R, a másodikat pedig az S tartományban találja:

 ,

ahol  ,   is hasonló. A normálási feltétel ezért:

 ,

ahol az integrálás kiterjed mind a hat változó teljes értelmezési tartományára.

Alapvető fontosságú, hogy észrevegyük a következőt: Két részecskéből álló rendszer esetén csak a mindkét részecskét tartalmazó rendszernek kell jól definiált hullámfüggvénnyel rendelkeznie. Azaz, nem lehet olyan valószínűségsűrűség függvényt felírni, amely nem függ explicit módon a második részecske helyzetétől. Ez vezet a kvantumcsatolás jelenségéhez.

Egy részecske egydimenziós impulzustérbenSzerkesztés

Egy részecske hullámfüggvénye egy dimenzióban, impulzustérben (impulzusreprezentációban) egy, a valós számegyenes értelmezett komplex   függvény. A   mennyiség impulzustérben van értelmezve, ezért annak valószínűsége, hogy a részecske impulzusának mérése a   intervallumba eső eredményre vezet:

 .

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

 ,

mivel a részecske impulzusa valamilyen értéket biztosan fel fog venni.

1/2-es spinSzerkesztés

Egy 1/2-es spinű részecske hullámfüggvénye (eltekintve a térbeli szabadsági fokaitól) egy – algebrai – oszlopvektor (ld. spinorok):

 .

A vektorkomponensek jelentése függ a választott bázistól, de tipikusan   és   a „felfelé” ill. „lefelé” mutató spinű állapotok a   térbeli koordináta irányára vonatkozóan. A Dirac-féle braket-jelölésben:

 

A   ill.   értékeket ezután úgy értelmezhetjük, mint annak a valószínűségét, hogy a részecske spinjének mérése a részecskét „fel” ill. „le” állapotban találja a z-irányhoz képest. A normálási feltétel itt:

 .

Interpretáció (vektor)Szerkesztés

A hullámfüggvény itt a rendszer egy állapotát a rendszer más állapotai szerint kifejtve írja le. A rendszer aktuális állapotát jelöljük  -vel, azok az állapotok pedig, ami szerint ez ki van fejtve legyenek  . Az utóbbiakat együtt bázisnak vagy reprezentációnak nevezzük. A következőkben minden hullámfüggvényt normáltnak tekintünk.

Véges vektorokSzerkesztés

A hullámfüggvény, ami egy   vektor   komponenssel, leírja, hogyan fejezzük ki a fizikai rendszer   állapotát a végesen sok   bázisfüggvény lineáris kombinációjaként, ahol    -től  -ig fut. A

 ,

egyenlet, ami oszlopvektorok közötti összefüggés, ekvivalens a

 ,

egyenlettel, ami a fizikai rendszer állapotai közötti összefüggés. Vegyük észre, hogy a két egyenlet közötti áttéréshez ismerünk kell a bázisállapotokat, ezért két oszlopvektor, ugyanazokkal a komponensekkel, két különböző állapotot képviselhet, ha a bázisok különbözőek. Egy példát véges vektorra fent láttunk az 1/2-es spinű részecskénél, ahol a komponensek mögött ott vannak a részecske spinállapotai.

  komponenseinek fizikai jelentését a hullámfüggvény összeomlásának elve adja meg:

Ha a   állapotok egy dinamikai változó (például impulzus, helykoordináta stb.) eltérő, határozott értékeivel rendelkeznek és az illető változó mérését elvégezzük a
 
állapoton, akkor annak a valószínűsége, hogy eredményül  -t kapjunk,  , és ha eredményünk  , akkor a mérés után a rendszer a   állapotban lesz.

Végtelen vektorokSzerkesztés

A diszkrét indexű végtelen vektort ugyanúgy kezeljük, mint a végeset, azzal a különbséggel, hogy az összegzés kiterjed az összes bázisállapotra. Így,

 

ekvivalens a következővel:

 ,

ahol a szokásos konvenció szerint az összegzés kiterjed   minden komponensére. A komponensek értelmezése ugyanaz, mint a véges esetben, az összeomlási elv is alkalmazandó.

Folytonos indexű vektorok (függvények)Szerkesztés

Folytonos index esetén az összegzést integrálás helyettesíti. Erre egy példa egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, amelyik a részecske   fizikai állapotát a határozott helyzetű   állapotokon fejti ki. Ezért

 .

Vegyük észre, hogy   nem azonos  -vel. Az előbbi a részecske aktuális állapota, míg az utóbbi egyszerűen egy hullámfüggvény, amelyik megadja, hogyan kell az előbbit kifejteni a határozott pozíciójú állapotok szerint. Ebben az esetben a bázisállapotok a következőképpen fejezhetők ki:

 

és ezért az  -hoz rendelt térhullámfüggvény   (Dirac-delta).

FormalizmusSzerkesztés

Tekintsünk egy izolált fizikai rendszert, ennek megengedett állapotai (olyan állapotai, amiben a rendszer lehet a fizikai törvények megsértése nélkül) egy   vektortér, a Hilbert-tér részei. Azaz,

1. Ha   és   két megengedett állapot, akkor
 
szintén megengedett állapot feltéve, hogy  . (Ez a feltétel a normálás miatt van.)

és,

2. A normálás miatt, mindig van a H vektortérnek egy ortonormált bázisa.

Ebben az összefüggésben egy bizonyos állapothoz rendelt hullámfüggvény tekinthető a   vektortér bázisán történő kifejtésnek, pl.

 

egy az 1/2 spinű részecskéhez rendelt bázis, következésképpen egy ilyen részecske spinállapota felírható így:

 .

Néha hasznos lehet kifejteni egy rendszer állapotát meg nem engedett állapotokon, azaz nem egy   térben. Egy példa erre egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, ahol a határozott helyzetű állapotok szerint fejtjük azt ki. Ezek az állapotok tiltottak, mivel sértik a határozatlansági elvet. Az ilyen bázist – "helytelen" bázisnak hívjuk. A határozatlansági elv itt azért sérül, mert itt egy időben állandóan egy helyen – nulla mérési bizonytalansággal – levő részecskénk lenne, azaz az impulzusa is, és annak mérési bizonytalansága is nulla lenne.

Szokás felruházni  -t egy belső szorzattal, de ennek természete esetleges, függ a használt bázistól. Ha megszámlálhatóan sok   báziselemünk van, amelyik mind  -hoz tartoznak, akkor   egyetlen olyan belső szorzattal rendelkezik, ami bázisát ortonormálttá teszi, azaz

 

Ha ez a helyzet, akkor   belső szorzata egy tetszőleges vektor kifejtésével

 .

Ha a báziselemek kontinuumot alkotnak, mint például a hely- vagy koordináta bázis, amelyik tartalmaz minden határozott pozíciójú   állapotot, akkor szokás a Dirac-normálás választása

 

azaz érvényes az analóg

 .

összefüggés.

ForrásokSzerkesztés

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

Nézd meg a hullámfüggvény címszót a Wikiszótárban!

További információkSzerkesztés