Főmenü megnyitása

Ekvivalenciareláció

reflexív, szimmetrikus és tranzitív reláció

A matematikában ekvivalenciareláció (vagy röviden ekvivalencia) alatt olyan relációt értünk, amely egyszerre reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

DefinícióSzerkesztés

Legyen   tetszőleges reláció az   halmazon. Azt mondjuk, hogy a   reláció ekvivalenciareláció, ha az alábbi három feltétel teljesül:

  • a   reláció reflexív, azaz minden   esetén   teljesül,
  • a   reláció szimmetrikus, azaz minden   esetén ha   teljesül, akkor   is teljesül,
  • a   reláció tranzitív, azaz minden   esetén ha   és   teljesül, akkor   is teljesül.

TulajdonságokSzerkesztés

  • Minden   ekvivalenciareláció egyértelműen meghatároz egy osztályozást azon az   halmazon, amelyen a reláció definiálva van: az   elemek pontosan akkor kerülnek egy osztályba ebben az osztályozásban, ha   teljesül.
  • Fordítva: valamely   halmaz minden osztályozása egyértelműen meghatároz egy ekvivalenciarelációt az adott halmazon. Ennél az ekvivalenciarelációnál pontosan azok az elemek állnak relációban egymással, amelyek az osztályozásnak ugyanabban az osztályában vannak.

PéldákSzerkesztés

HivatkozásokSzerkesztés

  • Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest, 1954
  • Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged, 1994

További információkSzerkesztés