Gömb

A gömb egy geometriai alakzat, mely jelenthet egy felületet (pontosabb megnevezése gömbhéj, esetleg üres gömb) és egy (tömör) testet egyaránt. A (héj)felület esetén egy adott ponttól a térben egyenlő távolságra lévő pontok, míg test esetén a legfeljebb az adott távolságra lévő pontok halmazát értjük rajta.

A gömb perspektivikus négyszöghálója

A gömböt tekinthetjük a kör általánosításának is.

Definíció szerkesztés

 
A Föld közel gömb alakú, egész pontosan geoid

Gömbnek nevezzük a térben azon pontok halmazát, melyek egy adott P ponttól legfeljebb egy rögzített r távolságra vannak. Ekkor P-t a gömb középpontjának, r értékét pedig a gömb sugarának nevezzük. A P ponttól pontosan r távolságra lévő pontokat együttesen a gömb felületének, vagy felszínének nevezzük. Ha r = 1, akkor egységgömbről beszélünk.

Egyenletek szerkesztés

Az analitikus geometriában, az (x0, y0, z0) középpontú és r sugarú gömböt azok az (x, y, z) pontok alkotják, melyekre fennáll az alábbi egyenlőtlenség:

 

Az egyenlőség a felületi pontokban teljesül:

 

A belső pontokban szigorú egyenlőtlenség áll fenn:

 

Az r sugarú gömb felületi pontjai paraméterezhetőek a gömbi koordináták segítségével is:

 
Gömbi koordináták
 
 
 

Az origó középpontú, tetszőleges sugarú gömbfelület a következő differenciálegyenlettel írható le:

 

Az egyenlet jól visszatükrözi a tényt, hogy a gömbfelületen mozgó pont helyvektora és sebességvektora mindig merőleges egymásra.

Vektortérben szerkesztés

Legyen   egy (nem feltétlenül véges dimenziós) vektortér valamely   normával. Ekkor a   középpontú   sugarú gömbfelület megfogalmazható a következőképpen:

 

Észrevehető, hogy háromdimenziós esetben a klasszikus gömbfelülethez, kétdimenzióban a körhöz jutunk az euklideszi normával.

A gömb belső pontjainak halmaza, más szóval a   pont   sugarú környezete, szintén a háromdimenziós eset általánosításaként adható meg.

 

Metrikus térben szerkesztés

Legyen   metrikus tér. Ekkor a   középpontú   sugarú gömbfelület megfogalmazható a következőképpen:

 

A gömb belső pontjai pedig egyenlőtlenség segítségével:

 

Utóbbit nevezik nílt gömbnek is, a   halmazt pedig zárt gömbnek. Ezeknek lényeges analízisbeli alkalmazásaik vannak.

Forgástestként szerkesztés

A gömb úgy is definiálható, hogy az a test, ami egy kört átmérője körül megforgatva keletkezik. Ha a kört ellipszissel helyettesítjük, akkor az eredmény forgásellipszoid lesz.

Terminológia szerkesztés

Egy egyenes, ami metszi a gömböt, legfeljebb két pontban metszi. Ha a gömb egy pontpárján átmenő egyenes tartalmazza a gömb középpontját, akkor a pontpár egyik eleme a másik átellenes vagy antipodális pontja. Egy kör a gömb főköre, ha teljes egészében rajta van a gömbön, és középpontja megegyezik a gömb középpontjával.

Bár a Föld nem pontosan gömb, vagy forgásellipszoid alakú, gömbök esetén gyakran alkalmazzuk a Földre és más csillagászati testekre megszokott terminológiát. Ha egy gömbi pontot Északi-sarknak nevezünk, akkor átellenes pontja a Déli-sark, az egyenlítő pedig a pontpár két tagjától egyenlő távolságra húzódó főkör. A két sarkot összekötő körök a hosszúsági körök, vagy meridiánok. Az egyenlítővel párhuzamos körök a szélességi körök.

Felszín és térfogat szerkesztés

 
Az ember által alkotott legtökéletesebb gömb, amint visszatükrözi Einstein képét. A gömb nem több mint 40 atommal tér el a szabályostól. Úgy gondolják, hogy csak a neutroncsillagok simábbak

A gömb felszíne:

 ,

a térfogata pedig:

 .

Ezeket többféleképpen, integrálszámítással, közelítő poliéderekkel vagy a Cavalieri-elv segítségével lehet belátni.

A gömbnek van a legkisebb felülete az adott térfogatú testek közül. Másként fogalmazva, rögzített felület esetén a gömb rendelkezik a testek közül a legnagyobb térfogattal (izoperimetrikus egyenlőtlenség). Ennek folyománya, hogy a szabad folyadékfelszínek a gömbhöz minél inkább közeli alakzatokat igyekszenek felvenni.

Egy adott gömb körülírt hengerének térfogata éppen másfélszerese a gömb térfogatának, és a felszíne is másfélszerese a gömb felszínének. Ezt már Arkhimédész is tudta. Ennek belátásához írjuk fel a henger térfogatát és felszínét is:

 .

Elvégezve az osztásokat kapjuk az eredményt.[* 1]

Gömbi geometria szerkesztés

A gömb felületének pontjai is alkalmasak geometria bevezetésére, ezt gömbi geometriának nevezzük. Ennek a geometriának főleg a távolsági közlekedésben van szerepe, de sok elméleti alkalmazása is van. Ugyanakkor jó néhány meglepő vagy váratlan tulajdonsággal is rendelkezik, ez pedig a szemlélet fejlesztésére is alkalmassá teszi. Az egyik legismertebb ilyen a navigációs paradoxon, ami szerint a "legrövidebb" és "legegyenesebb" útvonalak különböznek.

Például a Földön, mivel jó közelítéssel gömbnek tekinthető, egy objektum helyzetét megadhatjuk a Föld középpontjától való R távolsággal, a λ hosszúsági fokkal,[* 2] és a φ szélességi fokkal.[* 3][1] Sokszor a távolságot nem adják meg, mivel a felszínen közel állandó[* 4], legfeljebb amikor lényeges, a felszíntől mért távolság formájában. Ezen paramétereket földrajzi koordináta-rendszernek is nevezik. Ennek a leképezésnek egyik folyománya, hogy a gömb ekvivalens egy   kockával.

Topológia szerkesztés

Az n-gömb olyan topologikus tér, ami homeomorf az n+1 dimenziós golyó határával. Magyarul, homeomorf az euklideszi n-gömbbel.

  • A 0-gömb pontpár a diszkrét topológiával
  • Az 1-gömb homeomorf a körrel; tehát minden csomó 1-gömb
  • A 2-gömb homeomorf a (közönséges) gömbbel. Így minden ellipszoid 2-gömb.

Az n-gömböt Sn-nel jelölik. Ez kompakt topologikus sokaság, aminek nincs határa. Nem feltétlenül differenciálható; ha mégis, akkor lehet, hogy nem diffeomorf az euklideszi gömbbel.

Az euklideszi n-gömb kompaktsága könnyen bizonyítható a Borel–Lebesgue-tétellel:

A gömb egy egypontú halmaz ősképe az ||x|| folytonos függvényre nézve, ezért a gömb zárt. Sn nyilván korlátos is. Tehát korlátos és zárt, így kompakt. Az n-dimenziós gömb térfogata  -re  -ig növekszik, majd a nullához konvergál.[2]

További információk szerkesztés

Megjegyzések szerkesztés

  1. Ezekre az eredményekre Arkhimédész, mivel a képleteket nem ismerte, közelítő eljárásokkal, többek között az általa felfedezett kimerítéses módszerrrel jött rá.
  2. Ez a greenwichi csillagvizsgálón átmenő hosszúsági körtől való eltérés fokokban mérve.
  3. Ez pedig az Egyenlítőtől való eltérés fokokban.
  4. Kisebb, mint 0,2%.

Források szerkesztés

  1. I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig. Földrajzi koordináták, Matematikai Kézikönyv. TypoTeX, 154. o. [1999] (2000). ISBN 963 9132 59 4 
  2. n-dimenziós gömb térfogata