Gömb
Ennek a szócikknek a megírásához egyetlen vagy kevés forrást használtak fel, ezért a szócikk tartalma egyoldalú is lehet. |
A gömb egy geometriai alakzat, mely jelenthet egy felületet (pontosabb megnevezése gömbhéj, esetleg üres gömb) és egy (tömör) testet egyaránt. A (héj)felület esetén egy adott ponttól a térben egyenlő távolságra lévő pontok, míg test esetén a legfeljebb az adott távolságra lévő pontok halmazát értjük rajta.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7e/Sphere_wireframe_10deg_6r.svg/220px-Sphere_wireframe_10deg_6r.svg.png)
A gömböt tekinthetjük a kör általánosításának is.
Definíció
szerkesztésGömbnek nevezzük a térben azon pontok halmazát, melyek egy adott P ponttól legfeljebb egy rögzített r távolságra vannak. Ekkor P-t a gömb középpontjának, r értékét pedig a gömb sugarának nevezzük. A P ponttól pontosan r távolságra lévő pontokat együttesen a gömb felületének, vagy felszínének nevezzük. Ha r = 1, akkor egységgömbről beszélünk.
Egyenletek
szerkesztésAz analitikus geometriában, az (x0, y0, z0) középpontú és r sugarú gömböt azok az (x, y, z) pontok alkotják, melyekre fennáll az alábbi egyenlőtlenség:
Az egyenlőség a felületi pontokban teljesül:
A belső pontokban szigorú egyenlőtlenség áll fenn:
Az r sugarú gömb felületi pontjai paraméterezhetőek a gömbi koordináták segítségével is:
Az origó középpontú, tetszőleges sugarú gömbfelület a következő differenciálegyenlettel írható le:
Az egyenlet jól visszatükrözi a tényt, hogy a gömbfelületen mozgó pont helyvektora és sebességvektora mindig merőleges egymásra.
Vektortérben
szerkesztésLegyen egy (nem feltétlenül véges dimenziós) vektortér valamely normával. Ekkor a középpontú sugarú gömbfelület megfogalmazható a következőképpen:
Észrevehető, hogy háromdimenziós esetben a klasszikus gömbfelülethez, kétdimenzióban a körhöz jutunk az euklideszi normával.
A gömb belső pontjainak halmaza, más szóval a pont sugarú környezete, szintén a háromdimenziós eset általánosításaként adható meg.
Metrikus térben
szerkesztésLegyen metrikus tér. Ekkor a középpontú sugarú gömbfelület megfogalmazható a következőképpen:
A gömb belső pontjai pedig egyenlőtlenség segítségével:
Utóbbit nevezik nílt gömbnek is, a halmazt pedig zárt gömbnek. Ezeknek lényeges analízisbeli alkalmazásaik vannak.
Forgástestként
szerkesztésA gömb úgy is definiálható, hogy az a test, ami egy kört átmérője körül megforgatva keletkezik. Ha a kört ellipszissel helyettesítjük, akkor az eredmény forgásellipszoid lesz.
Terminológia
szerkesztésEgy egyenes, ami metszi a gömböt, legfeljebb két pontban metszi. Ha a gömb egy pontpárján átmenő egyenes tartalmazza a gömb középpontját, akkor a pontpár egyik eleme a másik átellenes vagy antipodális pontja. Egy kör a gömb főköre, ha teljes egészében rajta van a gömbön, és középpontja megegyezik a gömb középpontjával.
Bár a Föld nem pontosan gömb, vagy forgásellipszoid alakú, gömbök esetén gyakran alkalmazzuk a Földre és más csillagászati testekre megszokott terminológiát. Ha egy gömbi pontot Északi-sarknak nevezünk, akkor átellenes pontja a Déli-sark, az egyenlítő pedig a pontpár két tagjától egyenlő távolságra húzódó főkör. A két sarkot összekötő körök a hosszúsági körök, vagy meridiánok. Az egyenlítővel párhuzamos körök a szélességi körök.
Felszín és térfogat
szerkesztésA gömb felszíne:
- ,
a térfogata pedig:
- .
Ezeket többféleképpen, integrálszámítással, közelítő poliéderekkel vagy a Cavalieri-elv segítségével lehet belátni.
A gömbnek van a legkisebb felülete az adott térfogatú testek közül. Másként fogalmazva, rögzített felület esetén a gömb rendelkezik a testek közül a legnagyobb térfogattal (izoperimetrikus egyenlőtlenség). Ennek folyománya, hogy a szabad folyadékfelszínek a gömbhöz minél inkább közeli alakzatokat igyekszenek felvenni.
Egy adott gömb körülírt hengerének térfogata éppen másfélszerese a gömb térfogatának, és a felszíne is másfélszerese a gömb felszínének. Ezt már Arkhimédész is tudta. Ennek belátásához írjuk fel a henger térfogatát és felszínét is:
- .
Elvégezve az osztásokat kapjuk az eredményt.[* 1]
Gömbi geometria
szerkesztésA gömb felületének pontjai is alkalmasak geometria bevezetésére, ezt gömbi geometriának nevezzük. Ennek a geometriának főleg a távolsági közlekedésben van szerepe, de sok elméleti alkalmazása is van. Ugyanakkor jó néhány meglepő vagy váratlan tulajdonsággal is rendelkezik, ez pedig a szemlélet fejlesztésére is alkalmassá teszi. Az egyik legismertebb ilyen a navigációs paradoxon, ami szerint a "legrövidebb" és "legegyenesebb" útvonalak különböznek.
Például a Földön, mivel jó közelítéssel gömbnek tekinthető, egy objektum helyzetét megadhatjuk a Föld középpontjától való R távolsággal, a λ hosszúsági fokkal,[* 2] és a φ szélességi fokkal.[* 3][1] Sokszor a távolságot nem adják meg, mivel a felszínen közel állandó[* 4], legfeljebb amikor lényeges, a felszíntől mért távolság formájában. Ezen paramétereket földrajzi koordináta-rendszernek is nevezik. Ennek a leképezésnek egyik folyománya, hogy a gömb ekvivalens egy kockával.
Topológia
szerkesztésAz n-gömb olyan topologikus tér, ami homeomorf az n+1 dimenziós golyó határával. Magyarul, homeomorf az euklideszi n-gömbbel.
- A 0-gömb pontpár a diszkrét topológiával
- Az 1-gömb homeomorf a körrel; tehát minden csomó 1-gömb
- A 2-gömb homeomorf a (közönséges) gömbbel. Így minden ellipszoid 2-gömb.
Az n-gömböt Sn-nel jelölik. Ez kompakt topologikus sokaság, aminek nincs határa. Nem feltétlenül differenciálható; ha mégis, akkor lehet, hogy nem diffeomorf az euklideszi gömbbel.
Az euklideszi n-gömb kompaktsága könnyen bizonyítható a Borel–Lebesgue-tétellel:
A gömb egy egypontú halmaz ősképe az ||x|| folytonos függvényre nézve, ezért a gömb zárt. Sn nyilván korlátos is. Tehát korlátos és zárt, így kompakt. Az n-dimenziós gömb térfogata -re -ig növekszik, majd a nullához konvergál.[2]
További információk
szerkesztés- Mathworld honlap (angol)
- További gömbábrázolások a Vidám Matek angol honlapról
- Vetülettan (magyar)
Megjegyzések
szerkesztés- ↑ Ezekre az eredményekre Arkhimédész, mivel a képleteket nem ismerte, közelítő eljárásokkal, többek között az általa felfedezett kimerítéses módszerrrel jött rá.
- ↑ Ez a greenwichi csillagvizsgálón átmenő hosszúsági körtől való eltérés fokokban mérve.
- ↑ Ez pedig az Egyenlítőtől való eltérés fokokban.
- ↑ Kisebb, mint 0,2%.
Források
szerkesztés- ↑ I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig. Földrajzi koordináták, Matematikai Kézikönyv. TypoTeX, 154. o. [1999] (2000). ISBN 963 9132 59 4
- ↑ n-dimenziós gömb térfogata