Egyenes

egydimenziós végtelen mértani objektum

Az egyenes a pont és a sík mellett a geometria egyik alapfogalma. Leírása (és nem definíciója) szerint mindkét irányban végtelen, végtelenül keskeny vonal. Két pont közötti legrövidebb út szakasz.

A modern axiomatikus elméletekben az egyenes belső tulajdonságok nélküli objektum; csak a más egyenesekkel, pontokkal és síkokkal való kapcsolata érdekes.

Az analitikus geometriában az egyenes ponthalmaz. Pontosabban, az affin geometriában az egyenes egydimenziós altér.

Az egyenes definiálhatóságárólSzerkesztés

Euklidész Kr. e. 300 körül megjelent művében, az Elemekben először a vonalat definiálta:

A vonal szélesség nélküli hosszúság

és csak ezután következik az egyenes:

Egyenes vonal az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik.[1]

Ez a megfogalmazás Eukleidész azon törekvéséből fakad, hogy mindent, amivel foglalkozik, pontosan meghatározzon, minden logikai rést lefedjen. Manapság az egyenest az elemi geometria axiomatikus tárgyalásában (például a Hilbert-féle axiómarendszerben) alapfogalomnak tekintjük, azaz nem vezetjük vissza további definícióval más fogalmakra.

Másrészt az elemi geometria modelljeiben természetesen meg kell adnunk az egyenesnek megfelelő entitások halmazát, például a koordinátamodellben mint egy háromdimenziós vektortér egydimenziós altereinek eltoltjainak halmazát.

TulajdonságaiSzerkesztés

Habár nincs definiálva, mindenkiben él egy kép az egyenesről, amely szerint az egyenes egy pontokból álló 1 dimenziós objektum, azaz például a tér egy irányában végtelen hosszú, a többiben kiterjedés nélküli. A geometriában az egyenes következő tulajdonságait használjuk ki:

  • Két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest, amiből következik, hogy két különböző egyenesnek nem lehet egynél több közös pontja.
  • Ha egy síknak és egy egyenesnek legalább két közös pontja van, akkor az egyenes illeszkedik az adott síkra.
  • Ha   egy egyenes pontjai és   az   és   pontok között fekszik, akkor egyszersmind a   pont a   és   pontok között is fekszik.
  • Ha   egy egyenes pontjai, akkor létezik olyan   pontja az egyenesnek, amely az   és   pontok között fekszik, és egyszersmind létezik olyan   pontja, hogy a   pont az   és   pontok között is fekszik.
  • Az egyenes tetszőleges három pontja közül pontosan egy olyan pont van, amely a másik két pont között fekszik.

A projektív geometriában él a dualitás tétele (egyes rendszerek szerint axiómája). Ez egy szimmetriaelv, hogy ha egy   dimenziós térben állítunk valamit a   dimenziós és az   dimenziós alterek illeszkedési tulajdonságairól, akkor az állítás igazságtartalma megmarad, ha a   dimenziós alterek helyett  , az   dimenziós altereket   dimenziósakra cseréljük, az illeszkedési relációt pedig megtartjuk. Speciálisan, projektív síkokon az egyenesek és pontok duálisak. Így projektív síkokon képzelhető a pont végtelen hosszúnak, és az egyenes minden irányból végtelenül kicsinek. Három dimenziós projektív terekben a pontok és a síkok duálisak egymással, az egyenesek pedig egyenesekkel duálisak.

Egyenes megadása az analitikus geometriábanSzerkesztés

Az analitikus geometriában a geometriai tér egy  -dimenziós vektortér a valós számok felett. Az egyenes egydimenziós affin altér, azaz egy  -1 dimenziós lineáris altér mellékosztálya.

Három dimenzióban az analitikus geometria eleget tesz a Hilbert-féle axiómarendszernek; így az analitikus geometria egyenesei megfelelnek a Hilbert-féle axiómarendszereinek.

Egy egyenes egyenlete
olyan egyenlet, melyet az egyenes minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van az egyenesen.
  • A síkban az egyenes egyenletének általában háromféle alakját használjuk (Descartes-féle koordináta-rendszerben):
    • Ha adott az egyenes egy pontja   és egy   normálvektora:[2]  .[3]
    • Ha az egyenesnek egy pontja   és a meredeksége (vagy iránytangense)[4]   adott:  , ahol a b konstansra   teljesül.
    • Adva legyen az egyenes   pontja, és az   tengellyek bezárt szöge,  . Ha az egyenes nem függőleges, akkor egyenlete  . Ha függőleges, akkor egyenlete  .
    • Ha adott az egyenes két pontja   és  , akkor az egyenes bármely   pontja meghatározható az  összefüggés szerint.
    • Legyenek  ,   az egyenes különböző pontjai. Ekkor az egyenes pontjaira teljesül, hogy   ahol  , így az egyenes egyenlete  .
  • A térben már kevésbé szép, ekkor egyenletrendszerekkel írhatjuk le:
    • Ha adott az egyenes egy pontja   és egy   irányvektora:[5]  , ahol a t valós paraméter.
    • Kicsit átalakítva az előző egyenletrendszert (amennyiben  , azaz az irányvektor egyik koordinátája sem 0, nem párhuzamos egyik koordináta-tengellyel sem):  
  • Az n dimenziós térben az egyenest egy n változós egyenletrendszer adja meg, amiben van egy független paraméter
    • Legyen   helyvektor,   irányvektor. Ekkor a   ponton átmenő   irányú egyenes egyenlete:
 .
    • Legyenek   helyvektorok úgy, hogy  . Ekkor egyértelműen létezik egy egyenes, ami mindkettőre illeszkedik, és egyenlete:
 .

Két különböző vektor affin burka egyenes:

 , ahol  ,   a vektorok.

Egyenesek kölcsönös helyzeteSzerkesztés

  • Párhuzamosság: A két egyenes eltolással átvihető egymásba. A párhuzamosság ekvivalenciareláció.
    • Egybeesés: A két egyenes összes pontja ugyanaz, azaz ponthalmazként megegyeznek. Nullvektorral való eltolással vihetők egymásba-
    • Valódi párhuzamosság: A két egyenes nem esik egybe, de irányuk megegyezik. Nullvektortól különböző vektorral való eltolással átvihetők egymásba.
  • Metszők: Az egyeneseknek egy közös pontja van.
  • Kitérők: Az egyeneseknek nincs közös pontjuk, és nem vihetők eltolással egymásba. Csak legalább háromdimenziós térben lehetséges.

Metszéspont a síkbanSzerkesztés

 
Metsző, illetve nem metsző szakaszok a síkban

A síkban két,   egyenlettel adott, metsző egyenes metszéspontjának számításához a Cramer-szabály nyújt segítséget:

 

Ha  , akkor az egyenesek párhuzamosak.

Ha az egyenesek két-két pontjukkal adottak, azaz az első egyenes a   és   pontokkal, a második pedig a   és   pontokkal, akkor ki kell számítani az egyenesek egyenleteit. Így az   metszéspontra adódik, hogy

 
és
 .

Szemben az egyenesekkel, a síkban a nem párhuzamos szakaszok nem feltétlenül metszik egymást. Legyen a két szakasz   és  . Ekkor a szakaszok paraméteres egyenlettel írhatók le:

 ,
 

ahol  . Ha létezik az   metszéspont, akkor vannak olyan   paraméterek, hogy

 
 

Ahogy a fenti esetben, úgy most is a Cramer-szabály segít nekünk. Ezután még azt is vizsgálnunk kell, hogy  . Ha ez teljesül, akkor a paraméterek behelyettesítésével megkapjuk a szakaszok metszéspontjának koordinátáit.

Legyenek például a szakaszok   és  . Ekkor az egyenletrendszer

 
 

így  , és a szakaszok metszik egymást. A metszéspont koordinátái  .

Két ponttal adott egyenesek metszéspontja is számítható ugyanígy, ám ekkor nem kell vizsgálni, hogy  .

Egyenesek szöge a síkbanSzerkesztés

Ha egy egyenes egyenlete   formában adott, akkor irányszögére,  -ra teljesül, hogy:

 ,

ami következik a tangens definíciójából. Alkalmazva a tangens inverz függvényét, az árkusz tangenst:

 

Ha ezek az egyenletek nincsenek definiálva, akkor  , az egyenes függőleges. A tangensfüggvénynek pólusa van a   és az   helyen.[6]

Legyenek   és a   egyenesek a síkban, és legyenek adva az   és   egyenletekkel adva úgy, hogy   és   helyvektorok, és   és   lineárisan független irányvektorok! Ekkor a két egyenes által bezárt   szögre teljesül, hogy:

 

Az egyenesek merőlegesek, más szóval, ortogonálisak akkor, ha derékszöget zárnak be, azaz  . Ez pontosan akkor teljesül, ha az irányvektorok skaláris szorzata nulla, azaz  .[7]

Ha az egyenesek egyenlete   és   alakban adott, akkor az általuk közrezárt szög,   irányszögeik különbsége:

 

A tangensfüggvény addíciós tételeivel:

 

Mivel   és  , következik, hogy:

 

Végeredményben

 

Alkalmazva a tangens inverz függvényét kapjuk, hogy:

 

Az egyenesek pontosan akkor merőlegesek, ha a nevező nulla, azaz  . Ekkor a fenti egyenletek nincsenek értelmezve, mivel a tangensfüggvénynek pólusa van a   és az   helyen.[8]

Távolságok a síkbanSzerkesztés

Adva legyen a   pont, és az   egyenletű egyenes. Távolságuk:

 

Az egyenes   ponthoz legközelebbi pontjának koordinátái:

 

Ha az egyenes két pontjával van adva, akkor   alakú egyenletének együtthatói:

 
 
 

és ezek az együtthatók helyettesíthetők be a képletekbe.[9]

Távolságok a térbenSzerkesztés

A   pont és az  , illetve   pontokon átmenő egyenes távolsága: [10]

 

Ha az egyik egyenes a   és   pontokon, a másik a   és   pontokon halad át, akkor távolságuk:[11]

 

Lásd mégSzerkesztés

HivatkozásokSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Mayer Gyula fordításában
  2. Olyan vektor, ami merőleges az egyenesre
  3. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz  . Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.
  4. Az egyenes és az x-tengely pozitív fele által bezárt szög (irányszög) tangense. Más megközelítésből: azt mondja meg, hogy az egyenes mennyit halad felfelé (negatív érték esetén lefelé), amíg 1-et megy jobbra. Függőleges egyeneseknél nincs értelmezve.
  5. Olyan vektor, ami párhuzamos az egyenessel
  6. Math Open Reference: Inverse tangent function (arctan)
  7. W3spoint.com: Angle between two lines
  8. Math Open Reference: Inverse tangent function (arctan)
  9. Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--2-Dimensional
  10. Wolfram MathWorld: Point-Line Distance--3-Dimensional
  11. Wolfram MathWorld: Line-Line Distance

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Gerade című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.