Főmenü megnyitása

Egyenes

egydimenziós végtelen mértani objektum

Az egyenes a pont és a sík mellett a geometria egyik alapfogalma.

Az egyenes definiálhatóságárólSzerkesztés

Euklidész Kr. e. 300 körül megjelent művében, az Elemekben először a vonalat definiálta:

A vonal szélesség nélküli hosszúság

és csak ezután következik az egyenes:

Egyenes vonal az, amelyik a rajta levő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik.[1]

Ez a megfogalmazás Eukleidész azon törekvéséből fakad, hogy mindent, amivel foglalkozik, pontosan meghatározzon, minden logikai rést lefedjen. Manapság az egyenest az elemi geometria axiomatikus tárgyalásában (például a Hilbert-féle axiómarendszerben) alapfogalomnak tekintjük, azaz nem vezetjük vissza további definícióval más fogalmakra.

Másrészt az elemi geometria modelljeiben természetesen meg kell adnunk az egyenesnek megfelelő entitások halmazát, például a koordinátamodellben mint egy háromdimenziós vektortér egydimenziós altereinek eltoltjainak halmazát.

TulajdonságaiSzerkesztés

Habár nincs definiálva, mindenkiben él egy kép az egyenesről, amely szerint az egyenes egy pontokból álló 1 dimenziós objektum, azaz például a tér egy irányában végtelen hosszú, a többiben kiterjedés nélküli. A geometriában az egyenes következő tulajdonságait használjuk ki:

  • Két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest, amiből következik, hogy két különböző egyenesnek nem lehet egynél több közös pontja.
  • Ha egy síknak és egy egyenesnek legalább két közös pontja van, akkor az egyenes illeszkedik az adott síkra.
  • Ha   egy egyenes pontjai és   az   és   pontok között fekszik, akkor egyszersmind a   pont a   és   pontok között is fekszik.
  • Ha   egy egyenes pontjai, akkor létezik olyan   pontja az egyenesnek, amely az   és   pontok között fekszik, és egyszersmind létezik olyan   pontja, hogy a   pont az   és   pontok között is fekszik.
  • Az egyenes tetszőleges három pontja közül pontosan egy olyan pont van, amely a másik két pont között fekszik.

Egyenes megadása az analitikus geometriábanSzerkesztés

Egy egyenes egyenlete
olyan egyenlet, melyet az egyenes minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van az egyenesen.
  • A síkban az egyenes egyenletének általában háromféle alakját használjuk (Descartes-féle koordináta-rendszerben):
    • Ha adott az egyenes egy pontja   és egy   normálvektora:[2]  ,[3].
    • Ha az egyenesnek egy pontja   és a meredeksége (vagy iránytangense)[4]   adott:  , ahol a b konstansra   teljesül.
    • Ha adott az egyenes két pontja   és  , akkor az egyenes bármely   pontja meghatározható az  összefüggés szerint.
  • A térben már kevésbé szép, ekkor egyenletrendszerekkel írhatjuk le:
    • Ha adott az egyenes egy pontja   és egy   irányvektora:[5]  , ahol a t valós paraméter.
    • Kicsit átalakítva az előző egyenletrendszert (amennyiben  , azaz az irányvektor egyik koordinátája sem 0, nem párhuzamos egyik koordináta-tengellyel sem):  
  • Az n dimenziós térben az egyenest egy n változós egyenletrendszer adja meg, amiben van egy független paraméter

Lásd mégSzerkesztés

HivatkozásokSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Mayer Gyula fordításában
  2. Olyan vektor, ami merőleges az egyenesre
  3. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz  . Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.
  4. Az egyenes és az x-tengely pozitív fele által bezárt szög (irányszög) tangense. Más megközelítésből: azt mondja meg, hogy az egyenes mennyit halad felfelé (negatív érték esetén lefelé), amíg 1-et megy jobbra. Függőleges egyeneseknél nincs értelmezve.
  5. Olyan vektor, ami párhuzamos az egyenessel