Szakasz (matematika)

Nem tévesztendő össze az ívvel.

A geometriában egy egyenes szakasz egy egyenesen levő két különböző pont közötti rész, ami az egyenes minden pontját tartalmazza a két végpont között. Egy zárt egyenes szakaszhoz mindkét végpontja hozzátartozik, egy nyílt egyenes szakaszhoz egyik végpont sem tartozik hozzá; egy félig zárt egyenes szakaszhoz pontosan egy végpont tartozik.

A zárt egyenes szakasz geometriai definíciója: az A pont és attól jobbra levő minden pont és a B pont és attól balra levő minden pont metszete.

Szakaszrajzolás – történelmi ábrázolás (1699)

Egyenes szakaszok például a háromszög vagy a négyzet oldalai. Általánosabban véve, ha a szakasz mindkét végpontja egy sokszög vagy poliéder csúcsa, akkor a szakasz, amennyiben a csúcsok szomszédosak, él (annak a sokszögnek vagy poliédernek az éle), egyébként átló. Ha mindkét végpont egy görbén van, mondjuk egy körön, az egyenes szakaszt húrnak nevezzük (az adott kör húrja).

Valós vagy komplex vektorterekben

Ha V egy vektortér $\mathbb {R}$ vagy $\mathbb {C}$ felett, és L részhalmaza V-nek, akkor L egy egyenes szakasz, amennyiben L a következőképpen paraméterezhető:

$L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}$

valamilyen $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!$ vektorokra, és így az u-t és az u + v-t az L végpontjainak nevezzük.

Bizonyos esetekben különbséget kell tenni nyílt és zárt egyenes szakaszok között. A zárt egyenes szakaszt a fentiek szerint definiáljuk, a nyílt egyenes szakasz pedig az az L részhalmaz, ami a következőképpen paraméterezhető:

$L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}$

valamilyen $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!$ vektorokra.

Ennek megfelelően egy egyenes szakasz két pont konvex burka, így kifejezhető a két végpontjának konvex kombinációjaként.

A geometriában néha úgy definiálják azt, hogy a B pont az A és a C különböző pontok között van, hogy az AB [távolság]ot a BC távolsághoz adva az AC távolsággal egyenlő. Vagyis az $\mathbb {R} ^{2}$-ben az A = (a_x, a_y) és a C = (c_x, c_y) végpontokkal rendelkező egyenes szakasz az alábbi pontok halmaza:

$\{(x,y)|{\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}\}$.

Paraméteres ábrázolás

Az analitikus geometriában a pontokat helyvektorukkal írjuk le. Legyen ${\vec {a}}$ és ${\vec {b}}$ rendre az $A$ és $B$ pontok helyvektora. Ekkor az $[AB]$ zárt szakasz pontjainak ${\vec {x}}$ helyvektora

${\vec {x}}={\vec {a}}+t\,({\vec {b}}-{\vec {a}})$  , ahol   $0\leq t\leq 1$

alakú, és $t$ valós paraméter. A nyílt $(AB)$ szakasz nem tartalmazza a végpontokat, így a paraméter tartománya $0<t<1$. Hasonlóan parametrizálhatók az $[AB)$ és az $(AB]$ szakaszok, rendre a $0\leq t<1$ és $0<t\leq 1$ paramétertartománnyal.

Baricentrikus koordinátákkal az $[AB]$ zárt szakasz paraméterezése:

${\vec {x}}=s\,{\vec {a}}+t\,{\vec {b}}$   ahol   $s,t\geq 0,s+t=1$.

Itt az $s$, $t$ valós paraméterek nem függetlenek egymástól, hiszen fennáll az $s$ und $t$ összefüggés. A nyílt $(AB)$ szakasz esetén $s,t>0$, a félig nyílt $[AB)$ és $(AB]$ szakaszok esetén rendre $s>0,t\geq 0$, illetve $s\geq 0,t>0$ teljesül.

Tulajdonságai

• Az egyenes szakasz egy összefüggő, nem üres halmaz.
• Ha V egy topologikus vektortér, akkor egy zárt egyenes szakasz egy zárt halmaz V-ben. Viszont egy nyílt egyenes szakasz akkor és csak akkor nyílt halmaz V-ben, ha V egydimenziós.
• A fentieknél általánosabban lehet definiálni az egyenes szakasz fogalmát a rendezett geometriában.
• Két egyenes szakaszra egy igaz az alábbiak közül: egymást metszők, párhuzamosak, kitérőek, vagy egyik sem. A legutolsó egy olyan eset, ahol az egyenes szakaszok különböznek az egyenesektől: ha két nem párhuzamos egyenes egyazon euklideszi síkban van, akkor metszeniük kell egymást, míg ez nem feltétlenül igaz szakaszoknál.
• Ha mást nem mondunk, akkor az egyenes szakasz nem irányított, azaz

$[AB]=[BA]$   és   $(AB)=(BA)$.

• A szakasz hossza megegyezik végpontjainak távolságával. Jelölése ${\overline {AB}}$, $|AB|$ vagy $|{\overline {AB}}|$.
• A zárt szakasz minden pontjára teljesül, hogy a végpontoktól mért távolságainak összege minimális. Mivel az ellipszisre teljesül, hogy a fókuszpontjaitól mért távolságok összege állandó, azért a szakasz tekinthető elfajult ellipszisnek.
• Két pontot összekötő folytonos görbék ívhosszai közül az egyenes szakaszé minimális.

Lineáris algebra

Ha $V$ vektorért a valós vagy a komplex számok fölött, akkor az $S\subseteq V$ részhalmaz egyenes szakasz, ha parametrizálható úgy, mint

$S=\{\mathbf {u} +t\,(\mathbf {v} -\mathbf {u} )\mid t\in [0,1]\}$

Itt az $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$ vektorok, melyekre $\mathbf {u} \neq \mathbf {v}$ az $S$ szakasz végpontjai.

Alternatívan, a zárt egyenes szakasz végpontjainak konvex burkaként is jellemezhető:

$S=\{s\,\mathbf {u} +t\,\mathbf {v} \mid s,t\geq 0,s+t=1\}$

A paramétertartomány fentiekhez hasonló korlátozásával előállítható a többi intervallum is.

• Az $\mathbf {u} \neq \mathbf {v}$ kikötés miatt a szakasz nem üres.
• Ha $V$ topologikus vektortér, akkor minden zárt szakasza összefüggő, kompakt, zárt részhalmaza $V$-nek.
• Ezzel szemben a nyílt szakaszok akkor és csak akkor nyíltak $V$-ben, ha $V$ egydimenziós.

Bizonyításokban

A geometriára axiomatikusan tekintve, a közöttiségre úgy gondolnak, hogy azt feltételezik, hogy bizonyos számú axiómának eleget tesz, vagy egy egyenes egybevágóságával kapcsolatban definiálják (koordináta-rendszerként használva).

Más elméletekben is fontos szerepet játszik a szakasz. Például egy halmaz konvex, ha bármely két pontját összekötő szakasz a halmazon belülre esik. Ez azért fontos, mert így a konvex halmazokkal kapcsolatos elemzések egy része áttevődik az egyenes szakaszokra. A szakaszok összeadásának posztulátuma használható arra, hogy egybevágó szakaszt vagy egyforma hosszú szakaszokat adjunk egy másik kifejezéshez és ebből következően más szakaszokat helyettesítsünk, és így szakaszokat egybevágóvá tegyünk.

Elfajult ellipszisként

Az egyenes szakaszra tekinthetünk úgy, mint az ellipszis egy elfajult esetére, amikor a fél kistengely hossza nulla, a fókuszpontok a végpontokba tolódnak, és az excentricitás 1. Az ellipszis, alapvető definíciója szerint, azon pontok halmaza, amiknek a két fókuszponttól mért távolságaik összege állandó; ha ez az állandó egyenlő a fókuszpontok közötti távolsággal, egy egyenes szakaszt kapunk. Ennek az ellipszisnek a teljes körüljárása során kétszer haladunk végig a szakaszon. Ez egy elfajult pálya, így egy sugárirányú elliptikus pályagörbe.

Egyéb geometriai alakzatokban

Az egyenes szakaszok amellett, hogy sokszögek és poliéderek élei és átlói lehetnek, számos egyéb helyen megtalálhatóak geometriai alakzatokkal összefüggésben.

Háromszögek

Néhány nagyon gyakran használt szakasz háromszögekben a három magasság (mindegyik csúcsból a szemközti oldalra vagy annak meghosszabbítására egy merőleges állítása), a három súlyvonal (mindegyik csúcs és a szemközti oldal felezőpontjának összekötése), az oldalfelező merőlegesek (minden oldal felezőpontjából egy merőlegest indítva egy másik oldal eléréséig), és a belső szögfelezők (minden csúcs és a szemközti oldal összekötése). Mindegyikre igazak bizonyos egyenlőségek és egyenlőtlenségek (kifejtésük a különböző szakaszok tárgyalásánál található) a hosszukra és más szakaszok hosszára vonatkozóan.

Néhány másik példa nevezetes szakaszokra háromszögekben azok, amik középpontokat kötnek össze, jelesül a beírt kör középpontját, a köré írt kör középpontját, a Feuerbach-kör középpontját, a súlypontot és a magasságpontot.

Négyszögek

Amellett, hogy négyszögek oldalai és átlói lehetnek, fontosabb szakaszok még a két középvonal (a szemközti oldalak felezőpontjait összekötő szakasz) és a négy felezőponthoz tartozó magasság (minden oldal felezőpontjából egy merőlegest indítva egy szemközti oldal eléréséig).

Körök és ellipszisek

Bármely szakaszt, ami egy kör vagy ellipszis két pontját összeköti, húrnak, a körnek azt a húrját, amelyik a leghosszabb, átmérőnek, és bármely szakaszt, ami a kör középpontját (az átmérő felezőpontját) és egy a körvonalon levő pontot összeköti, sugárnak nevezzük.

Ellipszisekben a leghosszabb húr – ami egyben a leghosszabb átmérő – neve nagytengely, a nagytengely felezőpontját (az ellipszis középpontját) és a nagytengely bármely végpontját összekötő szakasz neve pedig fél nagytengely. Ehhez hasonlóan az ellipszis legrövidebb átmérőjének neve kistengely, a felezőpontját (az ellipszis középpontját) és bármely végpontját összekötő szakasz neve pedig fél kistengely. Az ellipszis húrjai közül azokat, amik merőlegesek a nagytengelyre és áthaladnak valamelyik fókuszpontján, latus rectum-nak (tsz.: latera recta), azaz fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húrnak nevezzük. A két fókuszpontot az interfokális szakasz köti össze.

Irányított egyenes szakasz

Ha egy egyenes szakaszhoz irányt (orientációt) rendelünk, ez felveti, hogy eltolás történik, esetleg egy erő törekszik eltolást végezni. A nagyság és az irány egy lehetséges változást jeleznek. Ez a felvetés az euklideszi vektor koncepcióján keresztül került be a matematikai fizikába. Az összes irányított egyenes szakaszt tartalmazó halmaz számossága általában csökkenthető azáltal, hogy „egyenlőnek” tekintjük azon párokat, amelyeknek azonos a hossza és az iránya. Egy ekvivalenciarelációnak effajta alkalmazása 1835-be nyúlik vissza, amikor Giusto Bellavitis bemutatta az irányított egyenes szakaszok egyenlőségének koncepcióját.

Általánosítása

Hasonlóan a fenti egyenes szakaszokhoz, íveket definiálhatunk görbék darabjaiként.

Illeszkedési axiómák

Az illeszkedési axiómák lehetővé teszik, hogy absztrakt illeszkedésgeometriákban is lehessen szakaszt definiálni, függetlenül a topológiai és a metrikus tulajdonságoktól. Ezt többek között Ernst Kunz mutatta be Ebene Geometrie című tankönyvében.

Egy illeszkedésgeometria egy $({\mathfrak {E}},G)$ páros, ahol ${\mathfrak {E}}$, és $G\subseteq 2^{\mathfrak {E}}$ egyeneshalmaz, továbbá:

• Bármely két ponthoz van rájuk illeszkedő egyenes.
• Bármely ponthoz legfeljebb egy, mindkettőre illeszkedő egyenes van.
• Bármely egyenesre legalább két, egymástól különböző pont illeszkedik.
• Van legalább három, nem egy egyenesre illeszkedő pont.

Az első két axióma az összekötési axióma teljesülését jelenti ki, míg a másik kettő gazdagsági feltételeket mond ki. Az ezeknek eleget tevő $({\mathfrak {E}},G)$ párosokat Kunz síknak nevezi.

A szakaszoktól a következőket követeli meg:

• Bármely két, egymástól nem feltétlenül különböző $A,B\in {\mathfrak {E}}$ ponthoz hozzá van rendelve egy $A$-ból $B$-be menő szakasz, melynek jele $[AB]\subseteq {\mathfrak {E}}$.
• Minden $[AB]$ szakaszra teljesül, hogy $A\in [AB]$.
• Ha $g$ egyenes, és $A,B\in g$, akkor $[AB]\subseteq g$.
• Minden $A,B\in {\mathfrak {E}}$ esetén $[AB]=[BA]$.
• Minden $A,B\in {\mathfrak {E}}$ esetén van $C\in {\mathfrak {E}}$ úgy, hogy $C\neq B$ és $B\in [AC]$.
• Ha $C\in [AB]$ és $C\neq B$, akkor $B\notin [AC]$.
• Ha $A_{1},A_{2},A_{3}\in {\mathfrak {E}}$ három, nem egy egyenesen fekvő pontok, és $g\in G$ egyenes, ami egyiküket sem tartalmazza, akkor $g\cap [A_{1}A_{2}]\neq \emptyset$ esetén $g\cap [A_{2}A_{3}]\neq \emptyset$ vagy $g\cap [A_{1}A_{3}]\neq \emptyset$.

Ha egy sík ezeket is teljesíti, akkor Kunz szakaszokkal ellátott síknak nevezi. A teljesíthetőségre példa az euklideszi sík, ami ezeket a feltételeket mind teljesíti.

Az utolsó axióma a Pasch-axióma, ami kijelenti, hogy ha egy egyenes belép egy háromszögbe, akkor ezt el is kell hagynia. Az elnevezés Moritz Pasch (1843–1930) matematikusra utal, aki megállapította, hogy ez nem vezethető le a többi axiómból, hanem külön meg kell követelni.

Megmutatható, hogy a szakaszaxiómák egyenértékűek a Hilbert rendezési axiómákkal, feltéve az illeszkedési axiómákat. Ehhez a következőt kell belátni:

Legyenek $P,X,Y$ páronként különböző pontok; $P$ akkor van az $X$ és $Y$ pontok között, ha $P\in [XY]$.

Ha az előbbi feltétel teljesül az $P,X,Y$ pontokra, akkor mondjuk a következőt:

A $P$ pont belső pontja az $[XY]$ szakasznak.

Források

• Ernst Kunz. Ebene Geometrie. Axiomatische Begründung der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie. Reinbek bei Hamburg: rororo – Vieweg (1976). ISBN 3-499-27026-9 
• Hans Schupp. Elementargeometrie. Schöningh (1977). ISBN 3-506-99189-2 
• David Hilbert. MR1109913 Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von Dr. Paul Bernays, 11., Stuttgart: Teubner Verlag (1972). ISBN 3-519-12020-8 

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Line segment című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Strecke (Geometrie) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• Vonallánc
• Intervallum
• Szakaszok összeadásának posztulátuma