Részhalmaz
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. |
A halmazelméletben egy halmaz valamely elemeinek a halmazát, összességét az adott halmaz részhalmazának nevezzük, beleértve azt az esetet is, amikor az adott halmaz összes elemét kiválasztjuk és azt is, amikor a halmazból egyetlen elemet sem választottunk ki. Az így értelmezett részhalmaz fogalma a halmazelmélet egyik alapvető fogalma.
Definíció
szerkesztésLegyenek és tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy részhalmaza a halmaznak, és így jelöljük ,[1] ha az a halmaz összes elemét tartalmazza a halmaz, azaz .
Ha , de , azaz -nek van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme -nak, akkor azt mondjuk, hogy valódi részhalmaza -nek, és ezt így jelöljük: .[1]
Jelölések
szerkesztésA részhalmazok mai jelölését először Ernst Schröder használta 1890-ben „Algebra der Logik“ című művében.[2]
A patkó jelölést fordított irányban is szokták használni. A patkó a tartalmazó halmaz irányába nyitott. Mivel a halmazelméleti tartalmazás kapcsolódik a logikai implikációhoz, azért a patkót az implikáció jelölésére is használják. Néhány szerző a és jelek helyett a és jeleket használja, és nem vezet be külön jelölést a valódi részhalmazra;[3][4] sőt, nem is használja a valódi részhalmaz fogalmat.
A legtöbb szerző rendre a és jeleket használja a valódi részhalmaz és a valódi tartalmazó halmaz számára és helyett.[2] Ez hasonló a és jelekhez. Mivel ezeket akkor használják, ha ez a különbségtétel fontos, az és jelek ritkán kerülnek elő.
A jel változatai , és . Hogyha nem részhalmaza -nek, akkor használható is. Megfelelői és , és , illetve , és a nem tartalmazó halmazra.
A megfelelő Unicode szimbólumok: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇, ⊄, ⊅, ⊈, ⊉, ⊊, ⊋.
Tulajdonságok
szerkesztés- Minden halmaz önmagának részhalmaza (de nem valódi részhalmaza), azaz tetszőleges halmazra teljesül, hogy .
- Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza (de nem valódi részhalmaza), azaz tetszőleges halmazra teljesül, hogy .
- Ha és , akkor .
- Ha és , akkor .
- pontosan akkor áll fenn, ha .
- pontosan akkor áll fenn, ha .
- pontosan akkor áll fenn, ha .
- A karakterisztikus függvényre:
- Két halmaz megegyezik, ha mindkettő része a másiknak:
- Ezt gyakran használják két halmaz egyenlőségének belátására.
- A komplementerképzés megfordítja a tartalmazást:
Példák
szerkesztés- {1, 2} valódi részhalmaza az {1, 2, 3} halmaznak.
- {1, 2, 3} nem valódi részhalmaza az {1, 2, 3} halmaznak.
- {1, 2, 3, 4} nem részhalmaza az {1, 2, 3} halmaznak.
- {1, 2, 3} nem részhalmaza az {2, 3, 4} halmaznak.
- {} nem valódi részhalmaza az {1, 2} halmaznak.
- {1, 2, 3} valódi tartalmazó halmaza az {1, 2} halmaznak.
- {1, 2} nem valódi tartalmazó halmaza az {1, 2} halmaznak.
- {1} nem tartalmazó halmaza az {1, 2} halmaznak.
- A prímszámok halmaza valódi részhalmaza a természetes számok halmazának (a természetes számok számelmélete szerint).
- A racionális számok halmaza valódi részhalmaza a valós számok halmazának.
A számhalmazok kapcsolata
szerkesztés- = természetes számok halmaza
- = egész számok halmaza
- = racionális számok halmaza ( alakú számok, ahol )
- = irracionális számok halmaza (olyan számok, amelyek nem írhatók fel alakban)
- = valós számok halmaza (a racionális és irracionális számok összessége ( ))
Ekkor: , továbbá .
Tartalmazási reláció
szerkesztésA tartalmazási reláció reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív:
- ,
ahol is azt jelenti, hogy és . Ezért a tartalmazási reláció részben rendezés.
Ha halmazok halmaza (halmazrendszer), akkor részben rendezett.
Speciális halmazrendszerek
szerkesztésHa halmazrendszer, és bármely elemére teljesül, hogy tartalmazza a rendszer egy elemét, vagy a rendszer egy eleme tartalmazza, akkor tartalmazási lánc. Ilyen például a balról nem korlátos nyílt valós intervallumok halmaza, .
Megkülönböztetünk felszálló és leszálló tartalmazási láncokat:
- felszálló tartalmazási lánc
- leszálló tartalmazási lánc
Egy halmazrendszer lamináris, ha bármely két elemére teljesül a kettő közül valamelyik:
- Az egyik tartalmazza a másikat
- A két halmaz diszjunkt.
Ezzel szemben a Sperner-rendszerekben nincs két olyan egymástól különböző halmaz, amelyek egyike tartalmazza a másikat. Például egy alaphalmaz összes adott elemszámú részhalmaza Sprener-rendszert alkot.
Részhalmazok mérete és száma
szerkesztés- Véges halmazok összes részhalmaza véges, és méretükre teljesül, hogy:
- Végtelen halmazt tartalmazó halmaz is végtelen. Végtelen halmaz esetén a méretre tejesül, hogy:
- Végtelen halmazok esetén lehet a részhalmaz mérete ugyanakkora, mint a tartalmazó halmazé. Például a természetes számok és az egész számok halmaza is megszámlálható végtelen.
- Cantor tétele szerint, ha halmaz, akkor hatványhalmazának számossága nagyobb, mint az halmaz számossága:
- Egy véges, elemű halmaz hatványhalmazának eleme van.
- Egy véges, elemű halmaz elemszámú részhalmazainak számát az binomiális együttható adja meg.
Lásd még
szerkesztésTovábbi információk
szerkesztésJegyzetek
szerkesztés- ↑ a b A részhalmaz jelölése a szakirodalomban nem egységes, használatos még az jelölés is. Utóbbi esetben a valódi részhalmazt a következőképpen jelöljük: .
- ↑ a b Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, 33. oldal
- ↑ Set theory. In: Encyclopedia of Mathematics.
- ↑ Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller: Vieweg Mathematik Lexikon. Vieweg, 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 190.
Hivatkozások
szerkesztés- Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
- Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
- Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 3. kiadás, (1994) ISBN 963-18-5998-3
- Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5
- John L. Kelley. General Topology. Berlin / Heidelberg / New York: Springer-Verlag (1975)
Fordítás
szerkesztésEz a szócikk részben vagy egészben a Teilmenge című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Külső hivatkozások
szerkesztés- Subset a MathWorld oldalán