Főmenü megnyitása
A részhalmaza B-nek, azaz B tartalmazza A-t.

A halmazelméletben egy halmaz valamely elemeinek a halmazát, összességét az adott halmaz részhalmazának nevezzük, beleértve azt az esetet is, amikor az adott halmaz összes elemét kiválasztjuk és azt is, amikor a halmazból egyetlen elemet sem választottunk ki. Az így értelmezett részhalmaz fogalma a halmazelmélet egyik alapvető fogalma.

DefinícióSzerkesztés

Legyenek   és   tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy   részhalmaza a   halmaznak, és így jelöljük  [1], ha az a   halmaz összes elemét tartalmazza a   halmaz, azaz  .
Ha  , de  , azaz  -nek van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme  -nak, akkor azt mondjuk, hogy   valódi részhalmaza  -nek, és ezt így jelöljük:  .[1]

TulajdonságokSzerkesztés

  • Minden halmaz önmagának részhalmaza, azaz tetszőleges   halmazra teljesül, hogy  .
  • Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza, azaz tetszőleges   halmazra teljesül, hogy  .
  • Ha   és  , akkor  .
  • Ha   és  , akkor  .
  •   pontosan akkor áll fenn, ha  .
  •   pontosan akkor áll fenn, ha  .
  •   pontosan akkor áll fenn, ha  .

A számhalmazok kapcsolataSzerkesztés

  • N = természetes számok halmaza (0, 1, 2, …)
  • Z = egész számok halmaza (…,-3, -2, -1, 0, 1, 2,…)
  • Q = racionális számok halmaza (z1 / z2 alakú számok, ahol z1, z2 ∈ Z z2 ≠ 0)
  • Q' = irracionális számok halmaza (olyan számok, amelyek nem írhatók fel z1/z2 alakban, ahol (z1,z2)=1, tehát relatív prímek)
  • R = valós számok halmaza (a racionális és irracionális számok összessége (Q ∪ Q'))

Ekkor: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, továbbá Q' ⊂ R.

Lásd mégSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. a b A részhalmaz jelölése a szakirodalomban nem egységes, használatos még az   jelölés is. Utóbbi esetben a valódi részhalmazt a következőképpen jelöljük:  .

HivatkozásokSzerkesztés

  • Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
  • Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
  • Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 3. kiadás, (1994) ISBN 963-18-5998-3

Külső hivatkozásokSzerkesztés