A halmazelméletben egy halmaz valamely elemeinek a halmazát, összességét az adott halmaz részhalmazának nevezzük, beleértve azt az esetet is, amikor az adott halmaz összes elemét kiválasztjuk és azt is, amikor a halmazból egyetlen elemet sem választottunk ki. Az így értelmezett részhalmaz fogalma a halmazelmélet egyik alapvető fogalma.

A részhalmaza B-nek, azaz B tartalmazza A-t.

DefinícióSzerkesztés

Legyenek   és   tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy   részhalmaza a   halmaznak, és így jelöljük  ,[1] ha az a   halmaz összes elemét tartalmazza a   halmaz, azaz  .
Ha  , de  , azaz  -nek van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme  -nak, akkor azt mondjuk, hogy   valódi részhalmaza  -nek, és ezt így jelöljük:  .[1]

JelölésekSzerkesztés

A részhalmazok mai jelölését először Ernst Schröder használta 1890-ben „Algebra der Logik“ című művében.[2]

A patkó jelölést fordított irányban is szokták használni. A patkó a tartalmazó halmaz irányába nyitott. Mivel a halmazelméleti tartalmazás kapcsolódik a logikai implikációhoz, azért a patkót az implikáció jelölésére is használják. Néhány szerző a   és   jelek helyett a   és   jeleket használja, és nem vezet be külön jelölést a valódi részhalmazra;[3][4] sőt, nem is használja a valódi részhalmaz fogalmat.

A legtöbb szerző rendre a   és   jeleket használja a valódi részhalmaz és a valódi tartalmazó halmaz számára   és   helyett.[2] Ez hasonló a   és   jelekhez. Mivel ezeket akkor használják, ha ez a különbségtétel fontos, az   és   jelek ritkán kerülnek elő.

A   jel változatai  ,   és  . Hogyha   nem részhalmaza  -nek, akkor használható   is. Megfelelői   és  ,   és  , illetve  , és   a nem tartalmazó halmazra.

A megfelelő Unicode szimbólumok: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇, ⊄, ⊅, ⊈, ⊉, ⊊, ⊋.

TulajdonságokSzerkesztés

  • Minden halmaz önmagának részhalmaza (de nem valódi részhalmaza), azaz tetszőleges   halmazra teljesül, hogy  .
  • Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza (de nem valódi részhalmaza), azaz tetszőleges   halmazra teljesül, hogy  .
  • Ha   és  , akkor  .
  • Ha   és  , akkor  .
  •   pontosan akkor áll fenn, ha  .
  •   pontosan akkor áll fenn, ha  .
  •   pontosan akkor áll fenn, ha  .
  • A karakterisztikus függvényre:
 
  • Két halmaz megegyezik, ha mindkettő része a másiknak:
 
Ezt gyakran használják két halmaz egyenlőségének belátására.
  • A komplementerképzés megfordítja a tartalmazást:
 

PéldákSzerkesztés

 
A {trombita, kártya} része a {gitár, kártya, digitális kamera, trombita} halmaznak
 
A szabályos sokszögek a sokszögek részhalmaza
  • {1, 2} valódi részhalmaza az {1, 2, 3} halmaznak.
  • {1, 2, 3} nem valódi részhalmaza az {1, 2, 3} halmaznak.
  • {1, 2, 3, 4} nem részhalmaza az {1, 2, 3} halmaznak.
  • {1, 2, 3} nem részhalmaza az {2, 3, 4} halmaznak.
  • {} nem valódi részhalmaza az {1, 2} halmaznak.
  • {1, 2, 3} valódi tartalmazó halmaza az {1, 2} halmaznak.
  • {1, 2} nem valódi tartalmazó halmaza az {1, 2} halmaznak.
  • {1} nem tartalmazó halmaza az {1, 2} halmaznak.
  • A prímszámok halmaza valódi részhalmaza a természetes számok halmazának (a természetes számok számelmélete szerint).
  • A racionális számok halmaza valódi részhalmaza a valós számok halmazának.

A számhalmazok kapcsolataSzerkesztés

  •   = természetes számok halmaza  
  •   = egész számok halmaza  
  •   = racionális számok halmaza (  alakú számok, ahol  )
  •   = irracionális számok halmaza (olyan számok, amelyek nem írhatók fel   alakban)
  •   = valós számok halmaza (a racionális és irracionális számok összessége ( ))

Ekkor:  , továbbá  .

Tartalmazási relációSzerkesztés

A tartalmazási reláció reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív:

 
 
 ,

ahol is   azt jelenti, hogy   és  . Ezért a tartalmazási reláció részben rendezés.

Ha   halmazok halmaza (halmazrendszer), akkor   részben rendezett.

Speciális halmazrendszerekSzerkesztés

 
Ha A ⊆ B és B ⊆ C, akkor A ⊆ C

Ha   halmazrendszer, és   bármely elemére teljesül, hogy tartalmazza a rendszer egy elemét, vagy a rendszer egy eleme tartalmazza, akkor   tartalmazási lánc. Ilyen például a balról nem korlátos nyílt valós intervallumok halmaza,  .

Megkülönböztetünk felszálló és leszálló tartalmazási láncokat:

  felszálló tartalmazási lánc
  leszálló tartalmazási lánc

Egy halmazrendszer lamináris, ha bármely két elemére teljesül a kettő közül valamelyik:

  • Az egyik tartalmazza a másikat
  • A két halmaz diszjunkt.

Ezzel szemben a Sperner-rendszerekben nincs két olyan egymástól különböző halmaz, amelyek egyike tartalmazza a másikat. Például egy alaphalmaz összes adott elemszámú részhalmaza Sprener-rendszert alkot.

Részhalmazok mérete és számaSzerkesztés

  • Véges halmazok összes részhalmaza véges, és méretükre teljesül, hogy:
     
     
  • Végtelen halmazt tartalmazó halmaz is végtelen. Végtelen halmaz esetén a méretre tejesül, hogy:
     
  • Végtelen halmazok esetén lehet a részhalmaz mérete ugyanakkora, mint a tartalmazó halmazé. Például a természetes számok és az egész számok halmaza is megszámlálható végtelen.
  • Cantor tétele szerint, ha   halmaz, akkor hatványhalmazának számossága nagyobb, mint az   halmaz számossága:

 

  • Egy véges,   elemű halmaz hatványhalmazának   eleme van.
  • Egy véges,   elemű halmaz   elemszámú részhalmazainak számát az   binomiális együttható adja meg.

Lásd mégSzerkesztés

További információkSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. a b A részhalmaz jelölése a szakirodalomban nem egységes, használatos még az   jelölés is. Utóbbi esetben a valódi részhalmazt a következőképpen jelöljük:  .
  2. a b Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, 33. oldal
  3. Set theory. In: Encyclopedia of Mathematics.
  4. Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller: Vieweg Mathematik Lexikon. Vieweg, 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 190.

HivatkozásokSzerkesztés

  • Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
  • Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
  • Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 3. kiadás, (1994) ISBN 963-18-5998-3
  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5
  • John L. Kelley. General Topology. Berlin / Heidelberg / New York: Springer-Verlag (1975) 

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Teilmenge című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Külső hivatkozásokSzerkesztés