Binomiális együttható

A matematikában az binomiális együttható a binomiális tételben előforduló együttható, ami a matematika különböző ágaiban bír jelentőséggel. Az kifejezést a magyarban így olvassák: „n alatt a k”.

Algebrai megközítésben az kifejtésében az együtthatója. A kombinatorikában egy n elemű halmaz k elemű részhalmazainak a száma, ami azt mutatja meg, hányféleképpen választható ki k elem n különböző elem közül.

Az jelölést Andreas von Ettingshausen vezette be 1826-ban,[1] habár a számokat már századokkal előtte is ismerték (lásd Pascal-háromszög). Alternatív jelölések a , , , melyek mindegyikében a C betű a kombinációkra utal.

Definíció

szerkesztés

Az n és k természetes számoknál, az   binomiális együtthatót az egytagú   együtthatójaként lehet leírni az   kifejezésben. Ugyanez az együttható fordul elő, ha k ≤ n a binomiális tételben.

 ,

ami megmagyarázza a „binomiális együttható” nevet.

A binomiális együttható jelöli a kombinatorikában azt a számot, ahányféleképpen ki tudunk választani n különböző elemből k darabot, feltéve, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít és minden elem legfeljebb egyszer választható (n elem k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma); ezzel ekvivalens, hogy egy n-elemű halmazban a k-elemű részhalmazok (vagy k-kombinációk) számát is a binomiális együttható adja meg.

Rekurzív képlet

szerkesztés

Van egy rekurzív képlete a binomiális együtthatóknak.

 

ezekkel a kezdőértékekkel:

 
 

A képlet vagy megszámolja a kitevőket Xk-ig (1 + X)n−1(1 + X)-ben, vagy a {1, 2, ..., n} k'-kombinációit számolja meg, külön-külön azt, ami tartalmazza az n-et és ami nem. Ebből adódik, hogy   amikor k > n, és   minden n-re, hogy az ilyen eseteknél a rekurzió megállhasson. Ez a rekurzív képlet lehetővé teszi a Pascal-háromszög szerkesztését.

Szorzási képlet

szerkesztés

Egy, egyedi binomiális együtthatók kiszámítására alkalmazott, hatékonyabb módot ez a képlet jeleníti meg:

 

Ezt a képletet legkönnyebb megérteni a binomiális együttható kombinatorikai értelmezéséhez. A számláló megadja a k eltérő tárgyak számsorának n tárgyak halmazából való kiválasztásához szükséges eljárások számát, megőrizve a kiválasztás sorrendjét. A nevező megszámolja az eltérő számsorok számát, amik ugyanazt a k-kombinációt határozzák meg, amikor nem vesszük figyelembe a sorrendet.

Faktoriális képlet

szerkesztés

Végül, van egy faktoriálisokat használó könnyen megjegyezhető képlet:

 

ahol n! az n faktoriálisát fejezi ki. Ez a képlet a fenti szorzási képletből adódik a számláló és nevező (nk)!-sal való megszorzásával; következményképpen a számláló és nevező sok közös tényezőjét magában foglalva. Kevésbé praktikus nyílt számításra, hacsak nem iktatjuk ki a közös tényezőket először (mivel a faktoriális értékek nagyon gyorsan nőnek). A képlet egy szimmetriát is mutat, ami nem annyira nyilvánvaló a szorzási képletből (habár a definíciókból jön)

 

Tulajdonságai

szerkesztés

A binomiális együtthatók összege

szerkesztés
 

Ez éppen egy n elemű halmaz részhalmazait számolja le elemszám szerint. Az összegzési képlet levezethető a binomiális tételből az   helyettesítéssel.

Alternáló összeg

szerkesztés
  minden  .

Kombinatorikai jelentése: egy halmaznak ugyanannyi páros, mint páratlan elemszámú részhalmaza van. A képlet páratlan n-re azonnal következik a szimmetriából. Tetszőleges n-re belátható a binomiális tétellel és az   és   (vagy   és  ) helyettesítéssel.

Eltolt összeg

szerkesztés
 

Vandermonde-azonosság

szerkesztés
 

Az állítás kombinatorikai érveléssel belátható:

Vegyük gömbök n+m elemű halmazát, amiben m gömb piros. Leszámláljuk a gömbök k elemű részhalmazait aszerint, hogy mennyi piros gömböt tartalmaznak.

Egy másik bizonyítás az   felbontásból és az együtthatók összehasonlításából adódik.

Alkalmazásai

szerkesztés

A binomiális együtthatóknak több különféle alkalmazása van.

A kombinatorikában

szerkesztés

A binomiális együtthatók központi szerephez jutnak a leszámláló kombinatorikában, ahol is   az n elemű halmaz k elemű részhalmazainak száma, vagyis ennyiféleképpen lehet n elem közül kiválasztani k-t a sorrend figyelembe vétele nélkül.

Szemléletesen, kiszámítjuk az összes n hosszú sorozatot, majd kiválasztunk k helyet, és azt akarjuk tudni, hogy hányféleképpen tölthetők fel ezek a helyek. Mivel az elemek sorrendje nem játszik szerepet, ezért osztani kell k!-sal; és mivel az érdektelen elemek sorrendje szintén nem fontos, ezért osztunk (n-k)!-sal is.

Az analízisben

szerkesztés

Binomiális sorok

szerkesztés

Ha  ,   és   akkor

 ,

amely binomiális sor a mértani sorok általánosítása.

Hogyha  ,   és  , akkor a

 

binomiális sor szintén konvergál.

A bétafüggvény

szerkesztés

Teljes indukcióval bizonyítható minden  -re, hogy

 ,

a szimmetria miatt

 

A bétafüggvény kiterjeszthető a komplex számok halmazára, ha  ,   és  

 .

A gammafüggvény

szerkesztés

Minden  -re:

 .

  esetén a törtek felírhatók integrálokként

 

a hatványokat a binomiális képlet szerint összegezve

 ,

ahol az utolsó integrálban t-t helyettesítünk t/n-be. Be kell még látni, hogy a helyettesítések elvégezhetők, és a főbb tulajdonságok megmaradnak. Így az egyenlőtlenség a

 

alakot nyeri, ahol a   határátmenet éppen a Gauss-féle

 ,

alakot adja.[2]

A digamma és az Euler-Mascheroni konstans

szerkesztés

Minde  -re, amire  

 ,

ami  szerinti indukcióval belátható. Az   speciális esetre az egyenlet

 .

Az összeget a sorral helyettesítve

 

ahol   Euler-Mascheroni-konstans és  a digammafüggvény, interpolálja a   sorozatot.

Általánosításai

szerkesztés

A binomiális együtthatónak több általánosítása is létezik.

A szorzási képlet alapján általánosítható valós a-kra és egész k-kra:

 

Minden a-ra és k=0-ra az értéke 1, és minden a-ra és negatív k-kra az értéke 0.

A multinomiális együtthatók az (x1+x2+ … + xm)n alakú polinomok együtthatói. A faktoriális képlet általánosításával számíthatók:

 

ahol minden ki nemnegatív, és összegük egyenlő n-nel.

Kapcsolódó szócikkek

szerkesztés

Fordítás

szerkesztés
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Binomialkoeffizient című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.