Főmenü megnyitása

SokszögekSzerkesztés

Egy sokszögre nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy konvex sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a konkáv sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak.

Egy n oldalú sokszögnek mindegyik csúcsából indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával:

(n − 3) × n,

viszont mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így az átlók száma:

 

HosszaSzerkesztés

A két szomszédos csúcs közötti átló d hossza a koszinusztétellel számítható:

 

ahol s0 és s1 a két szomszédos oldal, és φ a közrezárt szög.

A távolabbi csúcsok közötti átlók hossza a koszinusztétel többszöri alkalmazásával számítható, ha adottak az oldalhosszak, és a szomszédos oldalak által közrezárt szögek.

  • A két oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
 
  • A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
 
  • Az n-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
 

Speciális esetekSzerkesztés

Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek.

 

és

 .
 .
 .
  • Az a oldalú szabályos ötszög átlója:
 .
  • Az a oldalú szabályos hatszögben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza
 .
A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza
 .

PoliéderekSzerkesztés

 
Kocka egyik lapátlója (AC), illetve testátlója (AC').

A geometriában megkülönböztetik a poliéderek lapátlóját és testátlóját.

  • Egy poliéder lapátlója a poliéder egy lapjának átlója.
  • Egy poliéder testátlója egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza.

A testátlók számaSzerkesztés

A testátlók száma ezzel a képlettel számítható:

 ,

.ahol C a csúcsok száma, E az éleké, L a lapoké, és az i-edik lap éleinek száma Ni

Például a paralelepipedonokra:

 :
 
 

A poliéder átlóinak hosszaSzerkesztés

Egy lapátló hossza az adott lap átlójának hosszaként számítható.

  • Egy a, b és c élű téglatest testátlójának hossza  .
  • Speciális esetként adódik a kocka testátlója:  .
Általános esetben a testátló hossza is a koszinusztétel többszöri alkalmazásával kapható meg.

MátrixokSzerkesztés

A négyzetes mátrixoknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a mátrixban levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek vektora.

Az egységmátrixban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll:

 

Ebben a mátrixban a mellékátlón állnak egyesek, a többi helyen nullák vannak:

 

Sokszor egyszerűen átlónak hívják a főátlót, és a vele párhuzamos diagonálisokra eső elemek vektorait, például az alkalmazásokban gyakran megjelenő sávos mátrixok esetén. Nem négyzetes mátrixok esetén nem beszélnek mellékátlóról.

A különböző speciális mátrixoknál a főátló kitüntetett szerephez jut. Egyszerűbb vele meghatározni az egyes típusokat.

A főátlóra eső elemek összege a mátrix nyoma, ami egyenlő a mátrix sajátértékeinek összegével.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  • Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás
  • Stoyan Gisbert – Takó Galina: Numerikus módszerek 1.