Főmenü megnyitása
A kocka

A kocka (vagy szabályos hexaéder) egy térbeli geometriai alakzat, egy speciális téglatest. 6 négyzet alakú lapja és 12 egyenlő hosszúságú éle van, amelyek 8 csúcsban találkoznak. A négyzet térbeli megfelelője. Hasáb, szabályos test.

Matematikai összefüggésekSzerkesztés

Egy   élű kocka esetén

felszíne  
térfogata  
beírható gömb sugara  
köréírható gömb sugara  
éleit érintő gömb sugara  

SzimmetriáiSzerkesztés

A kockának

  • három négyfogású forgástengelye (szemben fekvő oldalak középpontjain át)
  • négy háromfogású forgástengelye (testátlók)
  • hat kétfogású forgástengelye (élfelező pontokon át)
  • kilenc szimmetriasíkja
  • egy szimmetriaközéppontja (középpont)

van.

Az identitást leszámítva a négyfogású tengelyek három-három, a háromfogású tengelyek két-két szimmetriát adnak. Összesen a kocka szimmetriacsoportjának 48 eleme van. Ez a kocka- vagy oktaédercsoport.

Descartes-koordinátákSzerkesztés

Egy origó közepű, 2 élhosszú, a tengelyekkel párhuzamos élű kocka csúcsainak koordinátái:(±1, ±1, ±1), aminek belsejét azok az (x0, x1, x2) pontok alkotják, ahol −1 < xi < 1.

Egyenlet R3-benSzerkesztés

A koordináta-geometriában az (x0, y0, z0) közepű és 2a élhosszú kocka azokat az (x, y, z) pontokat tartalmazza, amelyekre:

 

Mértani arányokSzerkesztés

 
A kocka testhálói

A kockának 11 lényegesen különböző testhálója van. A lapok színezéséhez legalább 3 szín kell.

A kocka az egyetlen szabályos test, amivel a tér hiánytalanul kitölthető. A szabályos poliéderek között egyedül neki vannak páros oldalszámú lapjai, így az egyetlen platóni test, ami zonoéder, vagyis aminek minden lapja középpontosan szimmetrikus.

Kocka kontra oktaéderSzerkesztés

A kocka és az oktaéder segítségével további testek konstruálhatók, amiknek szintén az oktaédercsoport a szimmetriacsoportja:

A rektifikált kocka kuboktaéder.

Kocka és oktaéder egyesítéseként kapható

  • a rombododekaéder 14 csúccsal és 12 rombuszlappal
  • Az egységnyi élhosszú kocka duális oktaéderének élhossza  .
Uniform oktaéderes poliéderek
Szimmetria: oktaéderes [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{4,3}
s{31,1}
     
 
 
 
 
 
 
 
           
 
Az uniform poliéderek duálisai
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
                     

A Dih4 diéderszimmetriával a kocka topológiai kapcsolatban áll a 4.2n.2n uniform poliéderekkel és parkettázásokkal, amelyek a hiperbolikus síkon folytatódnak:

A 4.2n.2n csonkított poliéderek és parkettázások családja
Szimmetria
*n42
[n,4]
Gömbi Euklideszi Hiperbolikus...
*242
[2,4]
D4h
*342
[3,4]
Oh
*442
[4,4]
P4m
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
Csonkított
alakzatok
 
4.4.4
 
4.6.6
 
4.8.8
 
4.10.10
 
4.12.12
 
4.14.14
 
4.16.16
 
4.∞.∞
Uniform duális alakzatok
n-kisz
alakzatok
 
V4.4.4
 
V4.6.6
 
V4.8.8
 
V4.10.10
 
V4.12.12
 
V4.14.14
 
V4.16.16
 
V4.∞.∞

Mindezek oktaéderes szimmetriájúak.

Kapcsolatai más poliéderekkelSzerkesztés

 
Kocka és duálisa
 
A félkocka egy szabályos projektív test
  • A kocka egy tetszőleges csúcsát összekötve az ebben a csúcsban összefutó négyzetlapok nem szomszédos csúcsaival, szabályos tetraédert kapunk. Egy ilyen tetraéder térfogata a kocka térfogatának egyharmadát teszi ki. A maradék négy egybevágó, nem szabályos gúla (szintén tetraéder) térfogata egyenként a kocka térfogatának hatoda.
  • A kocka csúcsai ily módon két, egymáshoz képest középpontosan szimmetrikus szabályos tetraédert határoznak meg. (Ezek metszete oktaéder.)
  • A kocka hat négyzet alapú gúlára osztható úgy, hogy szimmetriaközéppontját a csúcsokkal összekötő szakaszok mentén szétvágjuk. Ha ezeket egy másik kocka lapjaihoz illesztjük, akkor rombododekaédert kapunk.

A kocka dodekaéderbe írható úgy, hogy a kocka csúcsai a dodekaéder csúcsaira illeszkednek, és a kocka élei a dodekaéder lapátlói.

  • Az antipodális leképezés egy félkockát ad, ami egy projektív poliéder.

A kocka több általánosabb poliédernek is speciális esete:

Név Egyenlő élhosszak Egyenlő élek Derékszögek
Kocka igen igen igen
Romboéder igen igen nem
Kuboid nem igen igen
Paralelepipedon nem igen nem
Általános négyszöglapú hexaéder nem nem nem

A kocka topológiai kapcsolatban áll a 3 csúcsalakzatú gömbi poliéderekkel és parkettázásokkal:

Gömbi
poliéderek
Szabályos poliéderek Euklideszi Hiperbolikus parketták
 
{2,3}
 
{3,3}
 
{4,3}
 
{5,3}
 
{6,3}
 
{7,3}
 
{8,3}
...  
(∞,3)

A kocka kapcsolódik a négyzetes parkettázásokhoz is, amelyek a hiperbolikus síkon folytathatók: {4,p}, p=3,4,5...

 
{4,3}
 
{4,4}
 
{4,5}
 
{4,6}
 
{4,7}
 
{4,8}
...  
{4,∞}

A kocka a rombikus poliéderek és csempézések azon sorozatába is beletartozik, amelynek szimmetriája az [n,3] Coxeter-csoport. A kocka tekinthető rombikus hexaédernek, ahol a rombuszok négyzetek.

A 3.n.3.n félig szabályos poliéderek és csempézések családja
Szimmetria
*n32
[n,3]
Gömbi Euclidean Hiperbolikus parketta
*332
[3,3]
Td
*432
[4,3]
Oh
*532
[5,3]
Ih
*632
[6,3]
p6m
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*∞32
[∞,3]
Félig szabályos
alakzatok
Konfiguráció]
 
3.3.3.3
 
3.4.3.4
 
3.5.3.5
 
3.6.3.6
 
3.7.3.7
 
3.8.3.8
 
3.∞.3.∞
Duaális
(rombikus)
alakzatok
Konfiguráció
 
V3.3.3.3
 
V3.4.3.4
 
V3.5.3.5
 
V3.6.3.6
 
V3.7.3.7
 
V3.8.3.8
 
V3.∞.3.∞

A kocka négyzet alapú hasáb:

Az uniform hasábok családja
Szimmetria 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Kép                    
Gömbi poliéderként
Kép    
 
   
 
   
 
 
 

Trigonális trapezoéderként a kocka beletartozik a hatszöges diéderszimmetriájú poliéderek családjába.

Uniform hatszöges gömbi poliéderek
Szimmetria: diéder [6,2], (*622) [6,2]+, (622) [1+,6,2], (322) [6,2+], (2*3)
                   
{6,2} t{6,2} r{6,2} 2t{6,2}=t{2,6} 2r{6,2}={2,6} rr{6,2} tr{6,2} sr{6,2} h{6,2} s{2,6}
Uniform duálisok
                   
V62 V122 V62 V4.4.6 V26 V4.4.6 V4.4.12 V3.3.3.6 V32 V3.3.3.3
A kocka szabályos és uniform összetett testei
 
Három kocka
 
Öt kocka

TérkitöltésekSzerkesztés

A tér 28 konvex uniform rácsszerkezete közül 9 kapcsolódik a kockához:

Kockarács Csonkított négyzetes hasáb térrács Snub négyzetes hasáb térrács Hosszú háromszöges hasáb térrács Forgatva nyújtott háromszöges hasáb térrács
         
Cantellated kockarács Élcsonkított kockarács Runcitruncated kockarács Runcinated alternated kockarács
     
       

Merőleges vetületeiSzerkesztés

A kockának négy merőleges vetülete van, aminek középpontja csúcs, élfelező, lapközéppont és a csúcsalakzatának normálisa. Az első és a harmadik rendre megfelel az A2 és a B2 Coxeter-síkoknak.

Merőleges vetületek
Középpont Lap csúcs
Coxeter-sík B2
 
A2
 
Projektív
szimmetria
[4] [6]
Nézetek    

ÁltalánosításaSzerkesztés

A kocka tetszőleges dimenziós analogonjait szintén kockának nevezik. Ezek is szabályos politópok. Az n dimenziós kockának   darab k dimenziós határoló lapja van. Speciálisan,

  • egydimenziós kocka (szakasz): 2 csúcs, 1 él
  • kétdimenziós kocka (négyzet): 4 csúcs, 4 él, 1 lap
  • négydimenziós kocka (tesszerakt): 16 csúcs, 32 él, 24 lap, 8 térlap
  • n dimenziós kocka:   csúcs,     él,     lap,   térlap, és   oldal

Az n dimenziós kocka egy modellje az Rn vektortérbeli In egységkocka.

Az egységkocka

  •  
  •  , az egységintervallum n-szeres Descartes-szorzata
  • a 2n csupa 0 - 1 koordinátájú pont konvex burka
  • a 2n   és a   alakú féltér metszete

Az egységkocka élhossza 1, élei párhuzamosak a koordinátatengelyekkel, és egyik csúcsa az origó.

A kocka egy másik modellje az a kocka, aminek csúcsai a (±1, ±1,… ±1) Descartes-koordinátájú pontok. Ennek a belseje azokból a pontokból áll, amik összes koordinátájára −1 < x i < 1.

A kocka öt négy dimenziós uniform politópot határol:

Tesszerakt, hiperkocka Cantellated 16-cella Runcinated tesszerakt Cantitruncated 16-cella Runcitruncated 16-cella
         

A kombinatorikábanSzerkesztés

Egy másik fajta kocka a kockagráf. Ennek csúcsai a kocka csúcsainak, élei a kocka éleinek felelnek meg. Általánosítása a hiperkockagráf.

Egy másik általánosítás a háromdimenziós Hamming-gráf. A kockagráf a d = 2 esetnek felel meg. A Hamming-gráfokat és a hiperkocka gráfokat a párhuzamos programozásban használják ahhoz, hogy az egyes processzorok elég jól össze legyenek kötve, és az elméletek számára is könnyen kezelhető architektúrát adjanak.

Legyen S q elemű halmaz, és d pozitív egész. A H(d,q) Hamming-gráf csúcsai az S halmaz elemeinek d-esei. Két csúcs szomszédos akkor és csak akkor, ha egy koordinátában különböznek.

Előfordulása, alkalmazásaiSzerkesztés

 
Dobókockák (K6)
 
Rubik-kocka
  • A kubán nevű szerves vegyület váza kocka alakú. Erről is kapta a nevét (angol: cube).
  • Legismertebb alkalmazása a hagyományos dobókocka. A szerepjátékokban, ahol más dobótesteket is használnak, K6 néven emlegetik.
  • Rubik Ernő világhírű találmánya szintén kocka alakú.
  • A köznyelvben a kétdimenziós, négyzethálós mintát is kockásnak nevezik. Például kockás füzet, kockás ing, kockás piton.

ForrásokSzerkesztés