Ikozidodekaéder

Szabályos ikozidodekaéder

Az ikozidodekaéder egy arkhimédeszi (félszabályos) test, és kvázireguláris poliéder. Felületét 12 ötszög és 20 háromszög alkotja. 60 éle és 30 csúcsa van. Minden csúcsában két háromszög és két ötszög találkozik, és minden élt egy háromszög- és egy ötszöglap határol. Duálisa a rombikus triakontaéder.

Szimmetriacsoportja a dodekaédercsoport. Csúcsait konvencionálisan a (0,0,±τ), (±1/2, ±τ/2, ±(1+τ)/2) koordináták ciklikus permutációival adják meg, ahol τ=(1+√5)/2 az aranymetszés aránya egyforma.

A Johnson-poliéderek nevezéktana szerint pentagonális gyrobirotunda, mivel összerakható két egymáshoz képest elforgatott pentagonális rotundából, amik szintén Johnson-poliéderek.

Végtelen nagyságú, élilleszkedésű dodekaéderekből álló szerkezet építhető többek között ikozidodekaéderek és dodekaéderek csúcsaiba helyezett egyforma dodekaéderes szerkezetek, ikozi-ikozaéderek segítségével. A szerkezetet az Almássy-féle ikozaéder segítségével ismerhetjük meg.

Geometriai viszonyokSzerkesztés

A csonkított dodekaédert tovább csonkítva (csúcsait levágva) a tízszögek ötszögekre változnak , a háromszögek maradnak. A csonkítás folytatása ezen a soron vezet keresztül:

Kép  
Dodekaéder
 
Csonkított dodekaéder
 
Ikozidodekaéder
 
Csonkított ikozaéder
 
Ikozaéder
Coxeter-Dynkin diagram                              

Felszín és térfogatSzerkesztés

Az ikozidodekaéder felszíne (A) és térfogata (V) az él (a) függvényében:

 
 

Rokon Johnson-poliéderekSzerkesztés

Az ikozidodekaéder kettévágható két pentagonális rotundára, amiket elforgatás nélkül, tükörképszerűen összeilletve egy újabb Johnson-poliédert, pentagonális ortobirotundát kapunk.

 
(Kettészelés)
 
Ikozidodekaéder
(pentagonal gyrobirotunda)
 
Pentagonális ortobirotunda
 
Pentagonális rotunda

CsillagpoliéderekSzerkesztés

Az ikozidodekaéder csúcsaira nyolc csillagpoliéder illeszthető. Ezek közül két csillagpoliéder élei is megegyeznek az ikozidodekaéder éleivel. Ezek a kis ikozihemidodekaéder, és a kis dodekahemidodekaéder. A csúcsok kifeszítenek öt oktaédert és öt tetrahemihexaédert is.

 
Ikozidodekaéder
 
Kis ikozihemidodekaéder
 
Kis dodekahemidodekaéder
 
Nagy ikozidodekaéder
 
Nagy dodekahemidodekaéder
 
Nagy ikozihemidodekaéder
 
Dodekadodekaéder
 
Kis dodekahemikozaéder
 
Nagy dodekahemikozaéder
 
Öt oktaéder egyesítése
 
Öt tetrahemihexaéder egyesítése

ForrásokSzerkesztés

  • Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Icosidodecahedron című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.