Főmenü megnyitása

A középvonal a matematikában a háromszögekkel és a trapézokkal kapcsolatban használt fogalom. A háromszög középvonalai a két-két oldalának felezőpontját összekötő szakaszok, amik négy egybevágó, az eredeti háromszöghöz hasonló részre osztják a háromszöget. A trapéz középvonala a szárainak felezőpontját összekötő szakasz, ami párhuzamos az alapokkal, és felezi a trapéz magasságát. Hossza megegyezik az alapok hosszának számtani közepével. Ha a trapéz paralelogramma, akkor bármelyik párhuzamos oldalpár tekinthető szárnak, ezért a paralelogrammáknak két középvonaluk van.

Tétel a háromszög középvonalárólSzerkesztés

Tétel: A háromszög középvonala párhuzamos a háromszög harmadik oldalával, és hossza annak a fele.

Bizonyítás:

Az ABC háromszögben legyen   az  ,   pedig a   oldal felezőpontja. Az   háromszög hasonló az   háromszöghöz, mivel van egy közös szögük (  szög), e szöget közrefogó két oldal aránya megegyezik (1:2). Így a hasonlóság miatt egyrészt   az   oldal fele, másrészt   párhuzamos  -vel (a szögek egyenlősége miatt).

Következmények:

  • A háromszög középvonalai a háromszöget négy, az eredeti háromszöghöz hasonló háromszögre osztják.
  • A súlyvonalak tétele: a súlyvonalak egy pontban metszik, és harmadolják egymást.

Tétel a trapéz középvonalárólSzerkesztés

Tétel:

A trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal, és hossza egyenlő azok hosszának számtani közepével.

Bizonyítás:

A paralelogramma középvonalának tulajdonságain alapul.

Ha a trapézt az egyik szár felezőpontjára tükrözzük, akkor az eredeti és a tükörképként kapott trapézt összetéve paralelogrammát kapunk. Tekintjük ennek a középvonalát. Ez párhuzamos és egyenlő hosszú a paralelogramma megfelelő oldalpárjával, amely hossz egyenlő a trapéz alapjainak hosszának összegével. Ez megegyezik a trapéz középvonalának hosszának kétszeresével.

Tétel a paralelogramma középvonalárólSzerkesztés

Tétel:

A paralelogramma egy párhuzamos oldalpárjának felezőpontjait összekötő középvonal párhuzamos, és egyenlő hosszú a másik oldalpárral.

Bizonyítás:

Legyenek a paralelogramma csúcsai rendre A, B, C, és D. Jelölje F1 az AD, F2 a BC oldal felezőpontját. AD és BC párhuzamos, és egyenlő hosszú, ezért AF1 párhuzamos, és egyenlő hosszú BF2-vel. Tehát AF1F2B paralelogramma.

ForrásokSzerkesztés