Főmenü megnyitása
A háromszög magasságpontja

A háromszög magasságvonalán a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest értjük.

MagasságpontSzerkesztés

A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ez a magasságpont.

Bizonyítás:

Az   háromszögben az   csúcshoz tartozó magasság  ,  -hez tartozó pedig  . Húzzunk a háromszög csúcsain keresztül párhuzamosakat a szemközti oldallal, így egy új   háromszöget kapunk, amiben  ,  ,   négyszögek paralelogrammák. Az eredeti   háromszög oldalai az   háromszög középvonalai, mivel   felezőpontja  ,   felezőpontja  ,   felezőpontja pedig  .   háromszög származtatása miatt   az   oldalfelező merőlegese,   az   felezőmerőlegese,   pedig  -nek. Mivel ezek egy pontban metszik egymást, így a magasságvonalak is egy pontban metszik egymást.

A magasságpont tulajdonságaiSzerkesztés

  • A magasságpont rajta van az Euler-egyenesen
  • A magasságpontot a háromszög oldalainak felezőpontjára tükrözve a képpontok a háromszög köré írt körre illeszkednek
  • Baricentrikus koordinátái:  
  • Trilineáris koordinátái:  
  • A háromszög magasságainak szeleteinek szorzatára:

AM·MTa=BM·MTb=CM·MTc

Magasság talppontja és talpponti háromszögSzerkesztés

 
Talpponti háromszög

A magasság talppontja a magasságvonal és az arra vonatkozó oldal metszéspontja.

A talpponti háromszög a háromszög magasságainak talppontjai által meghatározott háromszög. Egy hegyesszögű háromszögbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb; a hegyesszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszög beírt körének középpontja, és tompaszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszögének hozzáírt körének a középpontja (a háromszög leghosszabb oldalából származó oldalhoz írva), ugyanis a magasságvonalak felezik a talpponti háromszög szögeit, vagy külső szögeit.

A háromszög magasságainak talppontjai rajta vannak a háromszög Feuerbach-körén.

MagasságtételSzerkesztés

A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre bontja (p és q), és az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe, vagyis  .

Bizonyítás:

Legyen az   derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az   (  szög megegyezik, derékszögek, merőleges szárú szögek). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik, vagyis  , ami ekvivalens az állítással.

BefogótételSzerkesztés

Egy derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe, azaz  .

Bizonyítás:

Legyen az   derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának talppontja T. Az   (  szög közös, derékszögek, az egyik oldal megegyezik). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik:  , ami éppen a tételben szereplő azonosság.

Lásd mégSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  • Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 210. oldal
  • Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 184-185. és 198-199. oldal.
  • Reiman István: Geometria és határterületei
  • H. Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2, S.50