Sík (geometria)

A sík a geometriában, azon belül tipikusan a kétdimenziós síkgeometriában és a háromdimenziós térgeometriában fontos fogalom. Leírása, és nem definíciója szerint végtelenül kiterjedt, kétdimenziós objektum. Ha egy egy sík egy egyenes két pontját tartalmazza, akkor a sík a teljes egyenest tartalmazza.

Konkrétabban a matematika különböző részterületei különböző objektumokat tekintenek síknak.

DefiníciójaSzerkesztés

Euklidész az Elemekben (az egyeneshez hasonlóan) előbb a felületet definiálja: Felület az, aminek csak hosszúsága és szélessége van, és csak ezután határozza meg a síkot: Síkfelület az, amelyik a rajta levő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik. Ma már a síkot is alapfogalomnak tekintjük a geometriában, tehát nem definiáljuk.

JellemzéseSzerkesztés

Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai:

  • Kétdimenziós objektum,[1] azaz két, egymástól különböző irányban végtelen, a harmadik irányban 0 a kiterjedése.
  • Három nem kollineáris[2] pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
  • Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik.

Önálló objektumSzerkesztés

 
A legkisebb projektív sík (hét pont, hét egyenes)
 
A legkisebb affin sík (négy pont, hat egyenes)

Klasszikus síkfogalomSzerkesztés

A klasszikus geometriában az (euklideszi) sík geometriai vizsgálatok tárgya, például abból a szempontból, hogy milyen alakzatok szerkeszthetők meg körzővel és vonalzóval. A sík (ebben az összefüggésben határozott névelővel, mint ami nincs magasabb dimenzióba ágyazva) a rajzlap absztrakciója, ami végtelenül lapos és végtelenül kiterjedt; ahogy az egyenes a ceruzával vagy más eszközzel meghúzott vonal végtelenül vékony és végtelenül hosszú absztrakciója. A modern geometriát a Hilbert-féle axiómarendszer írja le.

Descartes óta a sík azonosítható a valós számok rendezett párosaival,  -tel. Más szóval,   a Hilbert-féle geometria modellje. Ezt a valós vektorteret is nevezik síknak.

Projektív síkSzerkesztés

A projektív sík megkapható úgy, hogy egyeneseinek párhuzamos nyalábjaihoz hozzáveszünk egy-egy végtelen távoli pontot, és ezek halmazát a sík végtelen távoli egyenesének tekintjük.

Az így kapott projektív sík is leírható algebrailag: homogén valós számhármasokat veszünk. Itt a homogén szó azt jelenti, hogy ha egy számhármas minden tagját ugyanazzal a nullától különböző valós számmal szorozzuk, akkor az új hármas ugyanazt a pontot adja meg, mint a régi. Ugyanezek a hármasok írják le   egydimenziós altereit; azaz a projektív sík pontjai azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő egyeneseivel. A projektív sík egyenesei hasonlóan azonosíthatók a háromdimenziós tér origóján átmenő síkjaival.

ÁltalánosításokSzerkesztés

Ha gyengítjük a Hilbert-féle axiómákat, például lehetővé tesszük a végességet, akkor véges struktúrákhoz jutunk, melyeket affin vagy projektív síkoknak nevezünk. A legkisebb projektív sík hét pontot és hét egyenest tartalmaz. Tetszőleges egyenes és annak pontjainak eltávolításával affin síkhoz jutunk, négy ponttal és hat egyenessel.

A Descartes-féle modell általánosításában ahelyett, hogy a valós számokkal koordinátáznánk a síkot, egy tetszőleges   testet használunk. Így jutunk a   kétdimenziós vektorterekhez, melyek affin síkokat írnak le. A   affin terek segítségével pedig projektív síkok írhatók le. Azonban belátható, hogy nem minden projektív sík írható le ezzel a módszerrel.

Ha  , akkor meg kell jegyeznünk, hogy a komplex számok valós értelemben már maguk kétdimenziós teret alkotnak. Így a komplex egyenes kétdimenziós, a komplex sík négydimenziós, azonban csak kétdimenziós komplex vektortér. Ha   véges, akkor véges síkokhoz jutunk. Ha például  , akkor a fent leírt legkisebb projektív, illetve affin síkokhoz jutunk.

Topológiai értelemben a sík csak   esetén felület. A   esetben komplex felület.

Sík megadása az analitikus geometriábanSzerkesztés

 
A sík egyenlete
 
A sík paraméteres egyenlete
 
Két metsző sík

Egy sík egyenlete egy olyan egyenlet, melyet a sík minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van a síkon. Az egyenlet különböző alakokat ölthet, attól függően, hogy mely adatokból számították ki.

Legyen   a sík egy pontja és egy   normálvektor.[3] Ekkor a sík egyenlete:

 

ahol a d konstans a következőképpen adódik:

 

A sík egyenlete a skaláris szorzat fogalmát felhasználva is megfogalmazható:

 

A tengelymetszeti egyenlet alakja:

 

ahol  ,   és   a sík koordinátategelyekkel vett metszéspontjai. Ha a sík párhuzamos valamelyik tengellyel, akkor az egyenletben nem szerepel az annak megfelelő koordinátát tartalmazó term.

A sík paraméteres egyenlete:

       

alakú, ahol   támaszvektor,   és   irányvektorok. A   pont a sík tetszőleges pontja,   és   párhuzamosak a síkkal úgy, hogy nem konstansszorosai egymásnak. Az irányvektorok affin koordinátarendszert feszítenek ki, amiben   a sík pontjainak koordinátái.

A sík hárompontos egyenlete

       

alakú, ahol  ,   és   a sík egymástól különböző pontjai, melyek nincsenek egy egyenesen.

A sík normálegyenlete

 

alakú, ahol   a sík támaszvektora, és   normálvektor. A skaláris szorzat pontosan akkor nulla, ha a normálvektor merőleges a sík pontjának, mint normálvektornak és a támaszpont, mint helyvektornak különbségére. A sík feszítő vektoraira teljesül, hogy  .

A sík Hesse-féle normálegyenlete

 

alakú, ahol   egységnyi hosszú, a sík irányába mutató normálvektor, és   a sík távolsága az origótól.

Magasabb dimenziós terekben a sík lineáris 2-sokaság az    -dimenziós térben. A fenti implicit alakban adott egyenletek ezekben a terekben hipersíkokat írnak le. A síkok egyenletrendszere   egyenletből álló egyenletrendszerrel írható le, mivel ennyi hipersík metszetéből áll elő. Ezeknek a hipersíkoknak egymástól független normálvektorai kellenek, hogy legyenek.

Metszéspontok háromdimenziós térbenSzerkesztés

 
Egyenes és sík metszete

Egyenes és sík metszeteSzerkesztés

A térben az egyeneseket rendszerint   paraméterábrázolással, a síkokat   egyenlettel írják le. Behelyettesítve az egyenes paraméteres ábrázolását a sík egyenletébe adódik az

 

lineáris egyenlet a metszéspont   paraméterére. Ha az egyenletnek nincs megoldása, akkor az egyenes párhuzamos a síkkal. Ha az egyenletnek minden   megoldása, akkor az egyenes a síkban van.[4]

Három sík metszéspontjaSzerkesztés

Ha az egyenes két sík metszeteként van megadva, és keressük a metszéspontját egy síkkal, akkor három sík metszéspontját kell meghatározni.

Legyenek a síkok  ! Ha   normálvektoraik lineárisan függetlenek, akkor a metszéspont

 

A bizonyításhoz vegyük figyelembe, hogy   és a skaláris szorzásra vonatkozó szabályokat.[4]

Pont és sík távolságaSzerkesztés

A   pont és az   egyenletű sík távolsága:

 

Ha a sík adott a  ,  ,   pontokkal, akkor a távolság számítható a

 

képlettel, ahol   jelöli a vektoriális szorzatot,   a skaláris szorzatot, és   egy vektor hosszát. Alternatív módszerként el lehet végezni az

 
 
 
 

helyettesítést.[5]

JegyzetekSzerkesztés

  1. Az n-dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az (n–1)-dimenziós hipersíkok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Lásd: a hipersík két dimenzióban a hagyományos egyenes → egyenlete   alakú!
  2. Nem egy egyenesre illeszkedő.
  3. Olyan vektor, ami merőleges a síkra. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz  . Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.
  4. a b CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt)
  5. Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance

ForrásokSzerkesztés

  • Steffen Goebbels, Stefan Ritter. Mathematik verstehen und anwenden. Springer (2011) 
  • Lothar Papula. Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer (2009) 
  • Thomas Westermann. Mathematik für Ingenieure. Springer (2008) 

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ebene (Mathematik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ebenengleichung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Lásd mégSzerkesztés