Felszín
Felszínnek nevezzük a testek egyik jellemzőjét. Hétköznapi értelemben a test határfelületeinek összes területét értjük alatta, ilyen módon a soklapok (poliéderek) testhálójával áll szoros kapcsolatban. Sok természeti folyamat is a megfelelő testek felszínével áll kapcsolatban.
Definíció
szerkesztésA felszín definíciója több irányból is megközelíthető, ezek azonban ugyanarra az eredményre kell vezessenek. Matematikai értelemben a felszínt valójában függvénynek kell tekinteni,[* 1] mivel az egyes testekhez számértéket egyértelműen rendel.
Elemi meghatározás
szerkesztésHa a testről a határait "leválasztjuk", és azt síkidomba terítjük, az így kapott ponthalmaz területét nevezzük a test felszínének. Ez az eljárás poliéderek és egyes görbe felületű testek esetén működőképes, azonban sok test felszínének meghatározására kevéssé alkalmas.[* 2]
A meghatározás előnye, hogy rendkívül szemléletes, és megfelel a technikai alkalmazásoknak. Hátránya éppen a fent említett korlátozottság.
Geometriai megközelítés
szerkesztés- Poliéderek esetén a határoló síklapok területének összegét értjük a test felszíne alatt. Ez megfelel a testháló, mint síkidom területének.
- Ha a test síkba fejthető (van testhálója), akkor a megfelelő síkidom területét értjük felszín alatt.
- Egyéb esetekben a testet belülről és kívülről burkoló poliédersereg felszínének határértékét tekintjük a test felszínének, amennyiben a kettő létezik és megegyezik.[* 3]
Utóbbi esetet a gömb felszínének meghatározásakor szokás legjellemzőbben alkalmazni.
Analitikus értelmezés
szerkesztésA felszín naiv fogalmából az analízis segítségével igen precíz definíció alkotható meg. Testnek tekintjük az Rn-beli zárt, egyszeresen összefüggő halmazt. Ennek határpontjai alkotják a test felszínét, mint halmazt, és a halmaz mértékét nevezzük a test felszínének. Ez alapján a test felszíne általában integrálással határozható meg.
Kiszámítása
szerkesztésEgyszerű testek
szerkesztésEgyszerű testeknek tekintjük a poliédereket és a egyenes szakaszokból származtatható forgástesteket, valamint a gömböt. Ezek esetében könnyen kezelhető, megjegyezhető képletek állnak rendelkezésre a felszín meghatározásához.
Az egyszerű testekből, azok összeillesztésével, néhány további testnek is számítható a felszíne.
Általános számítás
szerkesztésHa a testet az F(x,y,z) függvény írja le, akkor a felszínét az F(x,y,z)=0 egyenlet, amit átrendezve a z(x,y)=0 egyenletet kapjuk. Ennek integrálja lesz a felszín:
- az általános képlet és
- a konkrét érték.
Az integrál ilyen formában történő kiszámítása sok esetben nehezen kivitelezhető, ilyenkor érdemes a változókat megfelelő módon paraméterezni.
Speciálisan a forgástestek felszíne egyszerűbben is számolható, feltéve, hogy a tengelyüket a koordináta-rendszer x-tengelye alkotja. Ekkor ugyanis az y(x) függvény ívhosszát kell tudnunk kiszámolni, mivel ennek forgatása jelenti a test felszínét.[* 4] Ekkor a felszínt az alábbi integrál írja le:
Néhány test felszíne
szerkesztésTest | Jellemző paraméter(ek) | Felszín meghatározása |
---|---|---|
Kocka | e élhossz | S=6e2 |
Téglatest | w szélesség l hosszúság h magasság |
S=2(wh+hl+lw) |
Henger | r sugár h magasság |
S=2πr(r+h) |
Egyenes körkúp | c alkotó r alapkör sugara |
S=πr(r+c) |
Gömb | r sugár | S=4πr2 |
Mértékegység
szerkesztésA felszín az SI mértékegységrendszerben a hosszúságból leszármaztatott mennyiség, dimenziója hosszúság2: dim(S)=L2. Ennek megfelelően a mértékegysége [S]=m2.
A kisebb és nagyobb egységek esetén a szülő dimenzió átváltási arányának négyzete az átváltási arány, hogy ez a matematikai eszközök használata közben ne okozzon problémát. A váltási arányok SI esetén:
km2 | m2 | cm2 | mm2 | |
---|---|---|---|---|
km2= | 1 | 1 000 000 | 10 000 000 000 | 1 000 000 000 000 |
m2= | 0,000001 | 1 | 10 000 | 1 000 000 |
cm2= | 0,0000000001 | 0,0001 | 1 | 100 |
mm2= | 0,000000000001 | 0,000001 | 0,01 | 1 |
Megjegyzések
szerkesztés- ↑ Nagyon precízen fogalmazva funkcionál.
- ↑ Egészen pontosan a síkkal azonosítható felületek esetén az eljárás kivitelezhető.
- ↑ Ez egyben átvezet az analízis tárgykörébe is.
- ↑ Esetlegesen a záró körlapokat is hozzá kell vennünk, de ez mindössze technikai jellegű probléma
Források
szerkesztés- Dr. Pelle Béla. Geometria. Tankönyvkiadó vállalat (1979). ISBN 963-17-4467-1
- I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, D. Musiol, H. Mühlig. Matematikai kézikönyv. Typotex (2000). ISBN 963-913-259-4