Felszín

kétdimenziós sokaság, amely lehet euklideszi térbe nem ágyazott absztrakt felület is

Felszínnek nevezzük a testek egyik jellemzőjét. Hétköznapi értelemben a test határfelületeinek összes területét értjük alatta, ilyen módon a soklapok (poliéderek) testhálójával áll szoros kapcsolatban. Sok természeti folyamat is a megfelelő testek felszínével áll kapcsolatban.

Definíció

szerkesztés

A felszín definíciója több irányból is megközelíthető, ezek azonban ugyanarra az eredményre kell vezessenek. Matematikai értelemben a felszínt valójában függvénynek kell tekinteni,[* 1] mivel az egyes testekhez számértéket egyértelműen rendel.

Elemi meghatározás

szerkesztés

Ha a testről a határait "leválasztjuk", és azt síkidomba terítjük, az így kapott ponthalmaz területét nevezzük a test felszínének. Ez az eljárás poliéderek és egyes görbe felületű testek esetén működőképes, azonban sok test felszínének meghatározására kevéssé alkalmas.[* 2]

A meghatározás előnye, hogy rendkívül szemléletes, és megfelel a technikai alkalmazásoknak. Hátránya éppen a fent említett korlátozottság.

Geometriai megközelítés

szerkesztés
  1. Poliéderek esetén a határoló síklapok területének összegét értjük a test felszíne alatt. Ez megfelel a testháló, mint síkidom területének.
  2. Ha a test síkba fejthető (van testhálója), akkor a megfelelő síkidom területét értjük felszín alatt.
  3. Egyéb esetekben a testet belülről és kívülről burkoló poliédersereg felszínének határértékét tekintjük a test felszínének, amennyiben a kettő létezik és megegyezik.[* 3]

Utóbbi esetet a gömb felszínének meghatározásakor szokás legjellemzőbben alkalmazni.

Analitikus értelmezés

szerkesztés

A felszín naiv fogalmából az analízis segítségével igen precíz definíció alkotható meg. Testnek tekintjük az Rn-beli zárt, egyszeresen összefüggő halmazt. Ennek határpontjai alkotják a test felszínét, mint halmazt, és a halmaz mértékét nevezzük a test felszínének. Ez alapján a test felszíne általában integrálással határozható meg.

Kiszámítása

szerkesztés

Egyszerű testek

szerkesztés

Egyszerű testeknek tekintjük a poliédereket és a egyenes szakaszokból származtatható forgástesteket, valamint a gömböt. Ezek esetében könnyen kezelhető, megjegyezhető képletek állnak rendelkezésre a felszín meghatározásához.

Az egyszerű testekből, azok összeillesztésével, néhány további testnek is számítható a felszíne.

Általános számítás

szerkesztés

Ha a testet az F(x,y,z) függvény írja le, akkor a felszínét az F(x,y,z)=0 egyenlet, amit átrendezve a z(x,y)=0 egyenletet kapjuk. Ennek integrálja lesz a felszín:

  az általános képlet és
  a konkrét érték.

Az integrál ilyen formában történő kiszámítása sok esetben nehezen kivitelezhető, ilyenkor érdemes a változókat megfelelő módon paraméterezni.

Speciálisan a forgástestek felszíne egyszerűbben is számolható, feltéve, hogy a tengelyüket a koordináta-rendszer x-tengelye alkotja. Ekkor ugyanis az y(x) függvény ívhosszát kell tudnunk kiszámolni, mivel ennek forgatása jelenti a test felszínét.[* 4] Ekkor a felszínt az alábbi integrál írja le:

 

Néhány test felszíne

szerkesztés
Test Jellemző paraméter(ek) Felszín meghatározása
Kocka e élhossz S=6e2
Téglatest w szélesség
l hosszúság
h magasság
S=2(wh+hl+lw)
Henger r sugár
h magasság
S=2πr(r+h)
Egyenes körkúp c alkotó
r alapkör sugara
Sr(r+c)
Gömb r sugár S=4πr2

Mértékegység

szerkesztés

A felszín az SI mértékegységrendszerben a hosszúságból leszármaztatott mennyiség, dimenziója hosszúság2: dim(S)=L2. Ennek megfelelően a mértékegysége [S]=m2.

A kisebb és nagyobb egységek esetén a szülő dimenzió átváltási arányának négyzete az átváltási arány, hogy ez a matematikai eszközök használata közben ne okozzon problémát. A váltási arányok SI esetén:

km2 m2 cm2 mm2
km2= 1 1 000 000 10 000 000 000 1 000 000 000 000
m2= 0 1 10 000 1 000 000
cm2= 0 0,0001 1 100
mm2= 0,000000000001 0,000001 0,01 1

Megjegyzések

szerkesztés
  1. Nagyon precízen fogalmazva funkcionál.
  2. Egészen pontosan a síkkal azonosítható felületek esetén az eljárás kivitelezhető.
  3. Ez egyben átvezet az analízis tárgykörébe is.
  4. Esetlegesen a záró körlapokat is hozzá kell vennünk, de ez mindössze technikai jellegű probléma
  • Dr. Pelle Béla. Geometria. Tankönyvkiadó vállalat (1979). ISBN 963-17-4467-1 
  • I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, D. Musiol, H. Mühlig. Matematikai kézikönyv. Typotex (2000). ISBN 963-913-259-4 

További információ

szerkesztés