Kúp

A matematikában a kúp (idegen szóval kónusz) gúlaszerű térbeli test. A kúp alapja egy tetszőleges síkidom, palástját a csúcsot az alap határpontjaival összekötő egyenes szakaszok, az alkotók uniója alkotja. Megkülönböztethetünk egyenes és ferde kúpokat aszerint, hogy a csúcs merőleges vetülete az alapra egybeesik-e az alap középpontjával, ha utóbbi értelmezett. Kúp alatt leggyakrabban az egyenes, kör alapú kúpokat értik. A kúpot az alapjával párhuzamos síkkal elmetszve csonkakúpot kapunk.

Egyenes és ferde kúp

Képletek szerkesztés

A kúpoknak létezik térfogata és felszíne.[1]

Térfogat szerkesztés

Jelölje   a kúp alapjának a területét, s legyen   a magassága. Ekkor a térfogat az alábbiak szerint számítható:

 

Speciálisan, ha a kúp kör alapú, akkor  -rel jelölve a kör sugarát, így részletezhető a formula:

 

A másik esetben, ha az alap elliptikus, akkor pedig az ellipszis sugarait   és   szimbólumokkal jelölve a következőképpen:

 

Felszín szerkesztés

A kúp felszíne az alap és a palást területének összege. Az egyenes, köralapú kúp esetében erre adható egyszerű képlet:

 

ahol   a kúp egy alkotójának hossza, képlete:

 

Ez a Pitagorasz-tétel egyenes következménye.

Beírható gömb sugara szerkesztés

Az egyenes körkúpba írható gömb ρ sugarának képlete:

 

ahol A jelöli a kúp felszínét, V pedig a térfogatát.[2]

Egyenletek szerkesztés

 
Kúp paramétervonalakkal

A   magasságú és   fél nyílásszögű kúp, aminek forgástengelye a   tengely, csúcsa az origó, így paraméterezhető:

 

ahol   rendre a  ,  , és   intervallumokba esik.

Ugyanez a test implicit az

 

egyenlőtlenségekkel adható meg, ahol

 

Általánosabban a   vektorral párhuzamos forgástengelyű origó csúcsú körkúp, aminek fél nyílásszöge   az   vektoregyenlettel adható meg, ahol

    vagy    

ahol  , és   skalárszorzat.

Az egyenes körkúp mint forgástest szerkesztés

Az egyenes körkúp forgástestként is generálható egy AB szakaszt elforgatva annak pontosan egy végpontján áthaladó egyenes körül. Ebben az esetben az AB szakaszt nevezik a kúp alkotójának is. Ekkor fennáll az alábbi egyenlőség:

 
Az egyenes körkúp konstrukciója forgástestként
 

Lineáris algebra szerkesztés

A lineáris algebrában vektorok egy halmaza kúp, ha zárt a nemnegatív számmal való szorzásra.

Egy kúp végesen generált, ha minden pontja előáll véges sok vektor lineáris kombinációjaként. Egy kúp metszetkúp, ha előáll véges sok féltér metszeteként. Ebből azonnal következik, hogy metszetkúp mindig konvex. Megmutatható, hogy metszetkúp mindig generált kúp, továbbá ha egy végesen generált kúp konvex, akkor metszetkúp.

A térfogat- és felszínképletek bizonyítása szerkesztés

Térfogat szerkesztés

Az elemi geometriában gyakran a Cavalieri-elvet használják: veszünk egy ugyanakkora alapterületű és magasságú gúlát. Az alappal párhuzamosan szeletelve a két testet középpontos hasonlósággal adódik, hogy az ugyanolyan magasságú szeletek területe egyenlő. Ezért a két test térfogata egyenlő.

A T alapterületű és h magasságú gúla térfogata

 

Ez alapján a kúp térfogata

 .

A kúp alapterülete növekvő oldalszámú sokszögekkel is közelíthető.

Egy másik bizonyítás az integrálszámítást hívja segítségül. A derékszögű koordináta-rendszerben a kúp csúcsát az origóba, és az alapkör középpontját a (h,0) pontba teszi. Ezután a kúpot, mint végtelen sok lapos, dx magasságú hengerből összetett forgástestet tekinti. A párhuzamos szelők tételével:

Egy infinitezimális henger sugara:

 

Egy infinitezimális henger térfogata:

 

A forgáskúp térfogata megegyezik ezeknek a hengereknek a térfogatösszegével. Ezt határozott integrállal számítja ki, ahol a határok 0 és h:

 
 
 
 

Így jut az ismert

 

képlethez.

A kúppalást felszíne szerkesztés

Az egyenes körkúp palástja görbült, de kiteríthető körcikké. Ennek sugara megegyezik a kúp alkotójának hosszával (a). A körcikk α középponti szöge arányegyenlettel számítható: a középponti szög úgy aránylik a teljesszöghöz, mint az alapkör 2πr kerülete az a sugarú kör teljes kerületéhez:

 

ahol   a kúp alkotója és a körcikk sugara.

A kúppalást felszíne eszerint a körcikk területképletéből adódóan

 


Jegyzetek szerkesztés

  1. Hajós, György. Bevezetés a geometriába, 6. kiadás, Budapest: Tankönyvkiadó (1979). ISBN 9631747360 
  2. Strohmajer János: Geometriai példatár II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1982. 21. oldal 38-as feladat.

Források szerkesztés

Külső hivatkozások szerkesztés