Forgástest
Forgástest olyan geometriai test, mely egy síkidom síkjában fekvő, azt nem metsző egyenes, mint tengely körüli megforgatásából származtatható. A forgástest az a test, melyet a síkidom forgatása közben súrolt felület és az alapkörlap, valamint a fedőkörlap határol.
Szigorúbb definíció szerint forgástestek a hengerszimmetrikus testek. Forgásszimmetrikusnak az olyan alakzatot nevezik, melynél van olyan elforgatás, mely az alakzatot önmagába viszi át. A teljes forgásszimmetria esetén az alakzat helyzetét a forgástengely körül végrehajtott semmilyen elforgatás nem változtatja meg. Ezt térbeli alakzatnál hengerszimmetrikus alakzatnak nevezik. A hengerszimmetrikus testek a forgástestek.
A számítógéppel segített tervezőrendszerek (CAD) forgástestnek nevezik azokat a geometriai testeket is, melyeket egy síkidom tetszőleges szöggel való, tehát nem teljes megforgatásakor súrol. Ezek a szigorúbb definíció szerint nem forgástestek.
A forgástest olyan síkmetszetét, mely tartalmazza a szimmetriatengelyt, meridiánmetszetnek nevezik.
A forgástest térfogata
szerkesztésLegyen a meridiángörbe egy f(x) folytonos, nem negatív függvény az a≤x≤b tartományban. Ha a forgástengely az x tengely, akkor a keletkező forgástest térfogata:
A forgástest felszíne
szerkesztésAz f(x): , az [a;b]-n folytonos függvény esetén a
integrál adja az f(x) függvény x tengely körüli elforgatásával kapott forgástest palástjának területét. (Így a forgásfelület felszínét is meghatározhatjuk tehát.)
A Pappus–Guldin-tételek
szerkesztésA forgástestek térfogatát és felszínét a Pappus–Guldin-tételek segítségével a következőképpen lehet kiszámolni: Ezek szerint a felszín egyenlő a származtató síkidom s kerületének és annak C súlypontja rs.2π útjának a szorzatával:
A forgástest térfogata pedig egyenlő a származtató síkidom (meridiánmetszet) A területének és a meridiánmetszet CA súlypontja Rs.2π útjának szorzatával:
Példák forgástestekre:
Források
szerkesztés- Hajós György: Bevezetés a geometriába Kilencedik kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. ISBN 963 18 31736
- J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091