Gábriel harsonája

Gábriel harsonája egy végtelen felszínű, de véges térfogatú test, amelyet Evangelista Torricelli olasz matematikus fedezett fel.

A Harsona
Térbeli modell

Matematikai jellemzőkSzerkesztés

A test az   görbe   részének háromdimenziós, x tengely körüli elforgatásával keletkezik. A kürt felszínének és térfogatának 1 és   közé eső része integrálszámítás segítségével (lásd improprius integrál) kiszámítható:

FelszínSzerkesztés

A felszín 1 és   között:

 

  tetszőlegesen nagy lehet, így:

 

TérfogatSzerkesztés

Résztérfogat:

 

 :

 

azaz végtelenbe tartva a térfogat  -hez konvergál, viszont a felszínre nincs felső korlát.

Felfedezésekor paradoxonnak tartották, hogy egy végtelen területet az x tengely körül forgatva véges térfogat kapható.

Festési paradoxonSzerkesztés

Az intuíciónk számára úgy fordítható ez le egyszerűen a paradoxon, hogy a harsona megtölthető véges mennyiségű festékkel, ugyanakkor a lefestéséhez végtelen mennyiségre lenne szükség, ami azért meglepő, hiszen a megtöltés során gyakorlatilag lefestettük. A paradoxon feloldása az, hogy a két esetben a festék más minőségű: a feltöltéshez 3 dimenziós festéket használtunk, viszont a felszín lefestését 2 dimenziós festékkel végeznénk el.

MagyarázatSzerkesztés

Amikor a görbét x tengely körül elforgatva térfogatot és felszínt számolunk, az olyan mintha a keresztmetszeti körök területét és kerületét összegeznénk, a területekből a térfogat, a kerületekből a felszín adódik.

 

Azaz ahogy x tart a végtelenbe, a   kifejezés nagyságrendekkel gyorsabban csökken, mint a  

IrodalomSzerkesztés

További információkSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés