Főmenü megnyitása
RechtwKugeldreieck.svg

A gömbi geometria a geometria egy ágazata, ami a gömbfelületet írja le. Felfogható nemeuklideszi geometriaként is.

Tekintsünk egy egységsugarú, középpontú gömböt. (Elegendő az egységsugarú gömbökkel foglalkoznunk, hiszen bármely két gömb hasonló.) A gömbök síkmetszetei körök, melyek közül azok a legnagyobbak, melyek síkja átmegy a gömb középpontján. A maximális sugarú körök a gömbön a főkörök. Tehát az euklideszi geometriában megjelenő egyenesek szerepét a gömbi geometriában a főkörök veszik át. Gömbi szakaszoknak nevezzük a gömb -nél nem hosszabb főköríveit. Gömbi egyeneseknek nevezzük a gömb főköreit. Ha és a gömb két nem átellenes pontja, akkor az sík kimetsz a gömbből egy főkört. Ennek az és közé eső rövidebb íve a két pontot összekötő egyetlen gömbi szakasz. Ha és átellenes pontok, akkor végtelen sok hosszúságú gömbi szakasz köti össze őket.

Az és pontok gömbi távolsága, melyet -vel jelölünk, az őket összekötő gömbi szakasz(ok) hossza.

Az ábrán látható főkörök síkjainak hajlásszöge, a körök érintőinek hajlásszöge.

A gömbfelület két pontjától egyenlő távolságra lévő pontok a két pont főkörívének felező merőleges főkörén helyezkednek el.

Gömbkétszög:

A gömbkétszög felülete: .

Tartalomjegyzék

GömbháromszögSzerkesztés

 
A gömbháromszög szögeinek összege nem egyenlő 180 fokkal

Ha az   pontok nincsenek egy főkörön, akkor közülük semelyik kettő sem átellenes, így páronként egyértelműen meghatároznak egy-egy gömbi szakaszt. A három gömbi szakasz a gömböt két részre vágja. A két rész közül a kisebbiket nevezzük az   gömbháromszögnek. Az   gömbháromszög csúcsai az  ,  ,   pontok, oldalszakaszai az   pontokat páronként összekötő gömbi szakaszok. Az oldalak hosszait a szokásos módon jelöljük:  ,   és  . Az   gömbháromszög szögeit definiálhatjuk az általános szabály szerint: legyen BAC szög =   az   és   főkörívek  -beli érintő félegyeneseinek szöge. Ez persze egyenlő az   egyenes által határolt,  -t, illetve  -t tartalmazó félsíkok által bezárt szöggel. Hasonlóan adhatjuk meg az ABC szög =  és BCA szög =   szögeket. Az   euklideszi háromszög   csúcsnál lévő szöge általában különbözik az   gömbháromszög   szögétől.

Tulajdonságai: Ha két szög egyenlő, akkor a szemközti oldalak is egyenlőek, egyébként a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál, a gömbi geometriában az oldal az ívhossznak megfelelő. (csakúgy, mint az Euklideszi síkban) Felület:  . Gömbi felesleg:  .

A gömbi geometriában is hasonlóan érvényesek a trigonometriai azonosságok: a szinusz-, koszinusz-tétel, illetve a Pitagorasz-tétel.

Gömbi szinusz-tételSzerkesztés

 

Bizonyítás1.: Legyen az   pont merőleges vetülete az   síkra  , és legyen   vetülete az  , illetve   egyenesekre   és  . Ekkor nyilván  -re és  -re. Viszont   szög =   és   szög =  , tehát   =   és   =  , ezért   =  . Azonban   szög =  , így  . Hasonlóan  , tehát  .

Bizonyítás2.:  

 

másrészt:  

 

 

 

Gömbi koszinusz-tétel oldalakraSzerkesztés

 

Bizonyítás:   másrészt: 

   

Gömbi koszinusz-tétel szögekreSzerkesztés

 

Bizonyítás: oldalakra vonatkozó koszinusz-tételt alkalmazzuk a polár gömbháromszögre

 

 

 

 

 

 

Gömbi Pitagorasz-tételSzerkesztés

 

speciális esete az oldalakra vonatkozó koszinusz-tételnek, ahol  

Polár gömbháromszögSzerkesztés

Válasszuk az   pontot a gömbön úgy, hogy az   vektor az   síknak azon egységnormálisa legyen, mely a síknak az  -t nem tartalmazó félterébe mutat. Hasonlóan definiáljuk  -ot és  -ot. Az   gömbháromszög az   gömbháromszög poláris gömbháromszöge. A poláris gömbháromszög oldalait és szögeit a szokásos módon az  ,  ,   és   ,  ,   betűkkel jelöljük.

gömbháromszög oldalai:

 szög =  

 szög =  

 szög =  

szögekkel való összefüggések:

  szög =  

  szög =  

  szög =  

polár gömbháromszög vektorai:

 

 

 

polár gömbháromszög oldalainak hossza:

  szög =  szög =  

  szög =  szög =  

  szög =  szög =  

polár gömbháromszög polár gömbháromszöge:

megegyezik az eredeti polár gömbháromszöggel