Nullvektor

A nullvektor a matematikában a vektorterek egy speciális vektora, ami a vektorösszeadás neutrális eleme. Néhány példa nullvektorra: a nulla szám, a nullmátrix és a nullfüggvény. Skalárszorzatos vektorterekben a nullvektor minden vektorra ortogonális. Normált térben az egyetlen nulla normájú vektor. Egy lineáris tér minden altere tartalmazza a tér nullvektorát, ami önmagában is alteret alkot. A nullvektort használják a lineáris algebra több fontos fogalmának definiálásához, mint a lineáris függetlenség, bázis és magtér. Fontos szerepet játszik lineáris egyenletrendszerek megoldásában.

Definíció

szerkesztés

Egy   vektortér nullvektora az a   vektor, amire

 

minden   esetén. Tehát ez az elem a vektorok összeadásának neutrális eleme.

A nullvektor jelölése

szerkesztés

A magyar szakirodalomban a nullvektor jelölése egy aláhúzott nulla. Általában meg kell különböztetni az alaptest nullelemétől; csak egydimenziós vektorterekben tekinthetők megegyezőknek. Kezdő- és végpontja egybeesik, irányt nem lehet neki tulajdonítani.

  • A valós számok   fölötti vektorterében a nulla szám nullvektor.
  • A komplex számok   vektorterében a   szám a nullvektor, ami szintén megfelel a nulla skalárnak.
  • A   koordinátatérben a nullvektor a   n-es, ahol az összes koordináta a test nulleleme.
  • A   mátrixtérben a nullelem a nullmátrix, ami az alaptest nullelemével van kitöltve.
  • A sorozatok   vektorterében a   sorozat a nullvektor. Nem tévesztendő össze az analízisben használt nullsorozattal.
  • Adva legyen egy   halmaz, és egy   vektortér. Tekintjük azokat a függvényeket, melyek az   halmazból a   vektortérbe mennek. Ezek a függvények vektorteret alkotnak, melynek nullvektora az   függvény, ahol   a célvektortér nullvektora.

Tulajdonságok

szerkesztés

Egyértelműség

szerkesztés

Egy vektortér nullvektora egyértelmű. Ha egy vektortérben adva van két nullvektor, akkor vizsgálhatjuk az összegüket:

 

ebből azonnal adódik a vektorok egyenlősége.

Skalárral szorzás

szerkesztés

Minden   skalárra teljesül, hogy:

 

és hasonlóan, a vektortér minden   vektorára:

 ,

ami közvetlenül adódik a két disztributivitásból az  , illetve   helyettesítésekből. Ezzel együtt teljesül, hogy:

  vagy  ,

mivel abból, hogy   következik, hogy   vagy  , továbbá  .

Speciális terek

szerkesztés

Normált vektorterekben a nullvektor normája nulla, és a nullvektor az egyetlen ilyen vektor. Ez következik a norma definitségéből és abszolút homogenitásából. Félnormával ellátott terekben több vektor is lehet nulla normával.[1]

Skalárszorzatos vektorterekben a nullvektor ortogonális a tér összes vektorára, vagyis minden   esetén

 ,

ami következik a skalárszorzat linearitásából, illetve szemilinearitásából. Speciálisan, a nullvektor ortogonális önmagára, és - a skalárszorzat definitsége miatt - az egyetlen ilyen vektor a vektortérben.

Egy további speciális eset a pszeudoskalárszorzatos vektortereké, melyekben a pszeudoskalárszorzat egy nem feltétlenül pozitív definit bilineáris, komplex terekben szeszkvilineáris forma. Ezt az elméleti fizikában metrikának nevezik. A nulla normájú vektorok alkotják a tér nullkúpját.[2] Fizika szempontjából fontos a Minkowski-tér, ahol ezek a vektorok fényszerűek,[1] és a nullkúp a fénykúp hiperfelülete.

Egy nem feltétlenül pozitív definit   kvadratikus alakkal ellátott valós vektortérben izotrópnak nevezik azokat a   vektorokat, ahol  . Az izotróp vektorok halmaza izotróp kúp, vagy nullkúp. A   mennyiséget szintén nevezik pszedudoskalárszorzatnak.[3]

Vektoriális szorzás

szerkesztés

A háromdimenziós   euklideszi vektortérben tetszőleges vektor és a   nullvektor vektoriális szorzata szintén nulla:

 .

Speciálisan, a nullvektor vektoriális szorzata önmagával:

 

A Jacobi-azonosság is teljesül, azaz három vektorból páronként ciklikusan képzett skalárszorzatok összege a nullvektor:

 .

Alkalmazások

szerkesztés

Lineáris kombinációk

szerkesztés

Egy   vektorcsalád, ahol   indexhalmaz, a nullvektor kifejezhető lineáris kombinációként:

 

A vektorcsalád, illetve elemei lineárisan függetlenek, ha a nullvektor csak egyféleképpen fejezhető ki lineáris kombinációként, mégpedig úgy, hogy   minden   indexre. Mivel a nullvektor lineárisan függ önmagától, ezért nem lehet lineárisan független vektorcsalád eleme, így nem tartalmazhatja bázis sem.

Egy vektortér alterei mindig tartalmazzák a nullvektort; a legkisebb altér egyedül a nullvektorból áll, ez a nullvektortér. Ennek a bázisa az üres halmaz, mivel vektorok üres összege definíció szerint a nullvektor:

 .

Lineáris leképezések

szerkesztés

Legyenek  ,   vektorterek ugyanazon   test fölött! Ekkor, ha   lineáris leképezés, akkor a nullvektort a nullvektorra képezi le:

 .

A   vektortér nullvektorára a   vektortér több vektora is leképeződhet. Ezek a vektorok alteret alkotnak, a lineáris leképezés magterét. Egy lineáris leképezés injektív, ha magtere csak a nullvektorból áll.

Lineáris egyenletrendszerek

szerkesztés

Egy homogén lineáris egyenletrendszer:

 

mindig megoldható, hiszen   mindig megoldás. Ezt a megoldást triviálisnak nevezzük. Csak a triviális megoldás létezik, ha a   lineáris leképezés magja csak a nullvektor.

Ezzel szemben egy inhomogén lineáris egyenletrendszernek:

 ,  

sosem megoldása a nullvektor. Egyértelmű megoldása akkor van, ha a hozzá tartozó homogén lineáris egyenletrendszernek csak a triviális megoldása létezik. Ez következik a szuperpozíciós tulajdonságból.

  1. a b What is the difference between zero vector and null vector?. Auf: stackexchange.com (Mathematichs)
  2. Der Nullkegel NK(s) [einer Form/Metrik s]. Auf: matheplanet.com (Matroids Matheplanet).
  3. Hermann Dinges: Geometrie für Anfänger – WS 2009/10. Universität Frankfurt/Main, 24. April 2010.
  • Gilbert Strang. Lineare Algebra. Berlin u. a.: Springer (2003. július 4.) 

Fordítás

szerkesztés
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Nullvektor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.