Főmenü megnyitása

A háromszög-egyenlőtlenség a geometria egyik legalapvetőbb tétele, megállapítható segítségével, hogy három szakaszból lehet-e háromszöget szerkeszteni.

Az egyenlőtlenség tovább általánosítható valós és komplex számokra, összegzésekre, integrálokra és különböző terekre. Itt a hosszak szerepét abszolútértékek és különféle normák veszik át. Leginkább becslésekben használják a matematika több területén is.

A tételSzerkesztés

A háromszög bármely oldalának hossza kisebb a másik két oldal hosszának összegénél. Azaz:  ,   és  .

A tétel ekvivalens alakja:  ,   és  

Bizonyítás:

 

  -t elég bizonyítani. Hosszabbítsuk meg az   oldalt, és felmérjük a   távolságot a meghosszabbított félegyenesre, így kapjuk a   szakaszt.   háromszög egyenlő szárú, ekkor   szög =   szög.   az   szög belsejében halad, ekkor   szög >   szög =   szög, így  . Ez viszont éppen a tételben szereplő  .

Metrikus interpretációSzerkesztés

A háromszög-egyenlőtlenség biztosítja, hogy a kétdimenziós (általánosabban, az n dimenziós) euklideszi tér tetszőleges három A,B,C pontjára igaz legyen, hogy bármely kettő pár egymástól mért távolságainak összege nagyobb, mint a harmadik pár közt mért távolsága:

AB+BC≥AC
BC+CA≥BA
CA+AB≥BC

Ezt a tényt úgy is interpretálhatjuk, hogy "két pont között a legrövidebb út az egyenes", mert a háromszög-egyenlőtlenség egy speciális esete e kijelentésnek, míg utóbbi következménye az előbbinek.

A háromszög-egyenlőtlenség e változata megenged elfajult háromszögeket, amikor is néhány háromszögcsúcs vagy -oldal illeszkedik egymásra.

A tétel általánosításaiSzerkesztés

Valós számokraSzerkesztés

Valós számokra:  

Bizonyítás:

Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala nem negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:

 

Mindkét oldalból kivonva az azonos tagokat:

 

és ez mindig teljesül, mert

  minden  -re.

Valós számokra önállóan is belátható a háromszög-egyenlőtlenség kivonásos alakja:

Nyilván  

Az

 

helyettesítéssel

 

Viszont, ha

 

akkor

 

Az előző két egyenlőtlenséget összetéve

 

y helyére -y-t téve

 

Összefoglalva

  minden  -re.

Komplex számokraSzerkesztés

Komplex számokra a háromszög-egyenlőtlenség:

 

Bizonyítás:

Mivel egyik oldal sem lehet negatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás:

 

ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A két oldalról eltávolítva az egyenlő tagokat, és a   helyettesítést elvégezve

 

A z komplex szám algebrai alakja legyen  . Ezzel

 

és

 

ami   és a valós négyzetgyökfüggvény monotóniája miatt mindig fennáll.

A valós esethez hasonlóan látható be a kivonásos alak is

  minden  -re.

Összegekre és integrálokraSzerkesztés

A háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával és teljes indukcióval

 

ahol az   számok lehetnek valósak, vagy komplexek.

Integrálokra: Legyen az   függvény Riemann-integrálható, ahol   egy intervallum!

Ekkor

 .[1]

Hasonlók teljesülnek komplex értékű függvényekre is:

 .[2]

Ekkor ugyanis van egy komplex   úgy, hogy   és  .

Mivel

 

valós, ezért   szükségképpen egyenlő nullával.

Emellett

 ,

összetéve tehát

 .

VektorokraSzerkesztés

Vektorokra:

 .

Négyzetre emeléssel:

 ,

és a Cauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség felhasználásával:

 .

Innen, mint a valós esetben:

 

és

 

GömbháromszögekreSzerkesztés

 
Két általános gömbháromszög

A gömbháromszögek körében a háromszög-egyenlőtlenség azokra a háromszögekre korlátozódik, amiknek egyik oldala sem nagyobb egy fél főkörívnél, azaz a < π, b < π és c < π. Általános gömbháromszögekre a tétel nem igaz.

Ahogy az ábra mutatja:

 

de  , ahol még az is igaz, hogy  

Normált terekbenSzerkesztés

Az   normált térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:

 

és megkövetelik, hogy a tér az adott normával ezt az egyenlőtlenséget azonossággal teljesítse.

Ebből

 

és

  minden  -re.

Speciálisan, az Lp-terekben a háromszög-egyenlőtlenséget Minkowski-egyenlőtlenségnek nevezik, és a Hölder-egyenlőtlenséggel bizonyítják.

Metrikus terekbenSzerkesztés

Az   metrikus térben a háromszög-egyenlőtlenség ezt az alakot ölti:

 

és megkövetelik, hogy a tér az adott d távolságfüggvénnyel ezt az egyenlőtlenséget azonossággal teljesítse.

Innen következik

 

és

 

a tér tetszőleges elemeire.

ForrásokSzerkesztés

  1. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. kiadás. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 85.1
  2. Walter Rudin: Real and Complex Analysis. MacGraw-Hill 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem 1.33
  • Obádovics J. Gyula: Matematika