Főmenü megnyitása

A Hölder-egyenlőtlenség a következő állítás: ha nemnegatív valós számok, , továbbá teljesül, akkor

Egyenlőség akkor teljesül, ha valamelyik sorozat konstansszorosa a másiknak, tehát például van olyan , hogy minden i-re.

A tétel p=q=2-re vonatkozó esete a Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség.

BizonyításaSzerkesztés

Legyen

 

továbbá

 

Ekkor tehát   és azt kell igazolnunk, hogy

 

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség súlyozott formája miatt minden i-re

 

ezeket összeadva azt kapjuk, hogy

 

Egyenlőség akkor van, ha   minden i-re, azaz  , ahol  .

TörténeteSzerkesztés

Először Rogers igazolt egy ekvivalens állítást 1888-ban, majd Hölder, szintén különböző, de ekvivalens formában, 1889-ben. Mai formájában Riesz Frigyes mondta ki 1910-ben.