Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, amely szerint nemnegatív valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok mértani középértéke; egyenlőség is csak akkor állhat fenn, ha a szóban forgó számok megegyeznek.

A tétel megfogalmazása

Bármely $a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} \,(n\in \mathbb {N} )$ nemnegatív valós számok esetén

${\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}$

és egyenlőség csak abban az esetben áll fenn, ha $a_{1}=\cdots =a_{n}$.

A tétel bizonyításai

Az n = 2 eset bizonyításai

Algebrai bizonyítás

Ekvivalens átalakításokkal

${\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}\geq {\sqrt {a_{1}a_{2}}}$

$(a_{1}+a_{2})^{2}\geq 4a_{1}a_{2}$

$a_{1}^{2}-2a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}\geq 0$

$(a_{1}-a_{2})^{2}\geq 0$

ami mindig teljesül.

Geometriai bizonyítás

Az egymás mögé illesztett $\,a_{1}$ és $\,a_{2}$ hosszúságú szakaszok, mint átmérő fölé, rajzoljunk félkörívet! Ennek sugara a két szám számtani közepe lesz. A két szám mértani közepének megfelel a szakaszok érintkezési pontjába állított és a körívig húzott merőlegesnek a hossza. Az ábráról leolvasható, hogy az utóbbi csak abban az esetben éri el a sugár hosszát, ha $\,a_{1}=a_{2}$.

Bizonyítások teljes indukcióval

1. bizonyítás

a.) A tételt $\,n=2$ esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha $\,n$-re igaz az állítás, akkor $\,2n$-re is igaz. Osszuk ugyanis fel a tetszőlegesen rögzített $\,2n$ számot két darab $\,n$-es csoportra; alkalmazzuk ezekre külön-külön az $\,n$-re vonatkozó indukciós feltevést; majd második lépésben alkalmazzuk az $\,n=2$ esetre már bizonyított tételt:

${\frac {a_{1}+\cdots +a_{2n}}{2n}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}+{\frac {a_{n+1}+\cdots +a_{2n}}{n}}\right)\geq {\frac {1}{2}}({\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}+{\sqrt[{n}]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}})\geq {\sqrt[{2n}]{a_{1}\cdots a_{2n}}}$

Ezzel bizonyítottuk az állítást minden olyan esetre, amikor a tagok száma 2-hatvány ($\,n=2^{k}$).

c.) Amennyiben $\,n$ nem 2-hatvány ($\,2^{k-1}<n<2^{k}$), akkor az $a_{1},\dots ,a_{n}$ nemnegatív valós számokhoz vegyük hozzá az $a_{n+1}=\cdots =a_{2^{k}}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}=A_{n}$ elemeket, és alkalmazzuk az így kapott $a_{1},\dots ,a_{2^{k}}$ számokra a már bizonyított állítást:

$A_{n}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}+A_{n}+...+A_{n}}{2^{k}}}\geq {\sqrt[{2^{k}}]{a_{1}\cdots a_{n}A_{n}^{(2^{k}-n)}}}$

Ekvivalens átalakításokkal:

$A_{n}^{2^{k}}\geq a_{1}\cdots a_{n}A_{n}^{(2^{k}-n)}$

$A_{n}^{n}\geq a_{1}\cdots a_{n}$

$A_{n}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}$

amit bizonyítani kellett.

d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét.
$a_{1}=\dots =a_{n}=a$ esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor ${\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}=a={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}$
Tegyük fel most, hogy például $a_{1}\neq a_{2}$ ! Felhasználva, hogy ebben az esetben ${\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}>{\sqrt {a_{1}a_{2}}}$ :

${\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}{n}}={\frac {{\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}+{\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}+a_{3}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{\left({\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}\right)^{2}a_{3}\cdots a_{n}}}>{\sqrt[{n}]{({\sqrt {a_{1}a_{2}}})^{2}a_{3}\cdots a_{n}}}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}$

tehát egyenlőség nem állhat fenn.

2. bizonyítás

a.) A tételt $\,n=2$ esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha $\,n$-re igaz az állítás, akkor $\,2n$-re is igaz, a már látott módon.

c.) Egyfajta fordított irányú indukciót alkalmazva igazoljuk, hogy ha $\,n+1$-re igaz az állítás, akkor $\,n$-re is teljesül, és így minden természetes számra fennáll. Az $a_{1},\dots ,a_{n}$ nemnegatív valós számokhoz vegyük ugyanis hozzá $\,(n+1)$-dik elemként a számok számtani középértékét, az $a_{n+1}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}=A_{n}$ számot. Az indukciós feltevésből kiindulva, ekkor, ekvivalens átalakításokkal:

$A_{n}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}+A_{n}}{n+1}}\geq {\sqrt[{n+1}]{a_{1}\cdots a_{n}A_{n}}}$

$A_{n}^{n+1}\geq a_{1}\cdots a_{n}A_{n}$

$A_{n}^{n}\geq a_{1}\cdots a_{n}$

$A_{n}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}$,

amit bizonyítani kellett.

d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.

3. bizonyítás

a.) A tételt $\,n=2$ esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha $\,n$-re igaz az állítás, akkor $\,(n+1)$-re is igaz. Legyen ugyanis $A={\sqrt[{n(n+1)}]{a_{1}\cdots a_{n}}}$ és $B={\sqrt[{n+1}]{a_{n+1}}}$, ekkor az indukciós feltevés miatt

${\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}+a_{n+1}}{n+1}}\geq {\frac {n{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}+a_{n+1}}{n+1}}={\frac {nA^{n+1}+B^{n+1}}{n+1}}$

Mivel ${\sqrt[{n+1}]{a_{1}\cdots a_{n+1}}}=A^{n}B$, elegendő megmutatni, hogy

${\frac {nA^{n+1}+B^{n+1}}{n+1}}\geq A^{n}B$

Ekvivalens átalakításokkal:

${\frac {nA^{n+1}+B^{n+1}}{n+1}}\geq A^{n}B$

$nA^{n+1}+B^{n+1}\geq A^{n}B(n+1)=nA^{n}B+A^{n}B$

$nA^{n+1}-nA^{n}B-A^{n}B+B^{n+1}\geq 0$

$nA^{n}(A-B)+B(B^{n}-A^{n})\geq 0$

$(A-B)(nA^{n}-A^{n-1}B-\dots -AB^{n-1}-B^{n})\geq 0$,

ami mindig teljesül, mert $\,A>B$ esetén a bal oldalon két pozitív, $\,A<B$ esetén pedig két negatív szám szorzata szerepel.

c.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.

4. bizonyítás

a.) A tételt $\,n=2$ esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha $\,n$-re igaz az állítás, akkor $\,(n+1)$-re is igaz. Indukcióval feltehetjük, hogy $\,n$-re igaz az állítás és $\,(n+1)$ szám van adva: $a_{1},\dots ,a_{n}$ és $\,x$. Jelöljük $\,A$-val az $a_{1},\dots ,a_{n}$ számok számtani közepét. Az indukciós hipotézis miatt tudjuk, hogy $a_{1}\cdots a_{n}\leq A^{n}$. Be kell látnunk, hogy

$a_{1}\cdots a_{n}x\leq \left({\frac {An+x}{n+1}}\right)^{n+1}$

teljesül minden $x\geq 0$ számra. Az indukció miatt már tudjuk, hogy $a_{1}\cdots a_{n}\leq A^{n}$, ezért azt kell belátni, hogy $A^{n}x\leq \left({\frac {An+x}{n+1}}\right)^{n+1}$ azaz

$f(x)=\left({\frac {An+x}{n+1}}\right)^{n+1}-A^{n}x\geq 0$

teljesül. $\,f(x)$polinom, ami 0-ban pozitív, $\,A$-ban nulla, végtelenben pedig végtelenhez tart. Így van minimuma, ahol deriváltja nulla. Kiszámolva:

$f'(x)={\frac {(An+x)^{n}}{(n+1)^{n}}}-A^{n}=0$

ahonnan $\,x=A$.

Richard Rado bizonyítása

Richard Rado indukciós bizonyítása erősebb állítást igazol. Tegyük fel, hogy $\,n+1$ számunk van, ezek számtani és mértani közepe $\,A_{n+1}$ és $\,G_{n+1}$, az első $\,n$ szám számtani illetve mértani közepe pedig $\,A_{n}$ és $\,G_{n}$. Ekkor

$n(A_{n}-G_{n})\leq (n+1)(A_{n+1}-G_{n+1}).$

Ez elég, hiszen ha $A_{n}\geq G_{n}$, akkor a képlet szerint $A_{n+1}\geq G_{n+1}$. A képlet igazolásához $\,G_{n}$-nel osztva, 0-ra redukálva és bevezetve az

$x=\left({\frac {a_{n+1}}{G_{n}}}\right)^{\frac {1}{n+1}}$

új változót, a következő adódik:

$x^{n+1}-(n+1)x+n\geq 0.$

Ezt kell tehát $x\geq 0$-ra igazolni. Ezt $\,n$-re való indukcióval bizonyítjuk. Az $\,n=0$ eset igaz. Ha pedig $\,n-1$-re igaz, akkor $\,n$-re

$x^{n+1}-(n+1)x+n=\left(x^{n}-nx+(n-1)\right)x+n(x-1)^{2}\geq 0.$

Pólya György bizonyítása

Pólya György bizonyítása, ami az analízis mély fogalmait használja.

Tegyük fel tehát, hogy adottak az $a_{1},\dots ,a_{n}$ nemnegatív számok, számtani közepük $\,A$.

Ha $A=0$, akkor $a_{i}=0$, ($i=1,...n$) tehát az egyenlőség teljesül:

${\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$

Tegyük fel, hogy a számok pozitívok: $a_{i}>0,\quad i=1,...,n$

Ekkor $A>0$.

Legyen $f(x):=e^{x}-x-1,\quad x\in \mathbb {R}$

$f$ függvény első deriváltja:

$f'(x)=e^{x}-1$

$f$ második deriváltja:

$f''(x)=e^{x}$

A második derivált mindenhol pozitív:

$f''(x)=e^{x}>0,\quad x\in \mathbb {R}$

A $0=f'(x)=e^{x}-1$ egyenlet egyetlen megoldása: $x=0$

Ezekből az következik, hogy $f$ függvénynek csak $x=0$ helyen van szélsőértéke és ott minimuma van. Továbbá $f(0)=e^{0}-0-1=0$.

Összefoglalva: Minden $x\in \mathbb {R}$ esetén $f(x)\geq 0$ és $f(x)=0$ pontosan akkor igaz, ha $x=0$.

Kifejtve:

$e^{x}-x-1\geq 0$

$e^{x}\geq 1+x$ és az egyenlőség csak akkor áll, ha $x=0$.

Írjuk fel az említett egyenlőtlenséget az ${\frac {a_{i}}{A}}-1$ ($i=1,\dots ,n$) számokra:

$e^{{\frac {a_{i}}{A}}-1}\geq {\frac {a_{i}}{A}}$

Összeszorozva ezeket azt kapjuk, hogy

$e^{{\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{A}}-n}\geq {\frac {a_{1}\cdots a_{n}}{A^{n}}}.$

A bal oldal $a_{1}+\cdots +a_{n}=nA$ miatt így alakítható:

$\,e^{n-n}=1$

és ezzel azt kaptuk, hogy $a_{1}\cdots a_{n}\leq A^{n}$, tehát készen vagyunk. Egyenlőség csak akkor áll, ha ${\frac {a_{1}}{A}}=\cdots ={\frac {a_{n}}{A}}=1$, azaz a számok egyenlőek. Ezt a bizonyítást Pólya György álmában találta.

Riesz Frigyes bizonyítása

Riesz Frigyes bizonyítása a következő:

Továbbra is feltesszük, hogy $a_{i}\geq 0,\quad i=1,...,n$

1. Az összes szám megegyezik

$a_{1}=\dots =a_{n}$ esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor $A:={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}\qquad (1)$.

2. A számok nem egyenlőek

Mivel nem lehet minden szám nulla, továbbá $a_{i}\geq 0$ ($i=1,...,n$), ezért a számtani középérték nyilván pozitív: $A>0$.

Ha bármelyik $a_{i}=0$, akkor a mértani középérték nulla, így az egyenlőtlenség teljesül:

$0={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}<A\qquad (2)$

A továbbiakban tegyük fel, hogy az összes szám pozitív: $a_{i}>0,\quad i=1,...,n$

A mértani középértéket jelöljük $B_{1}$-el:

$B_{1}:={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

Amennyiben a számok nem egyenlőek, feltehető, hogy létezik közöttük legkisebb és legnagyobb elem. Az általánosság elvesztése nélkül tegyük fel, hogy ezek az $a_{1}$ és $a_{2}$ elemek:

$a_{1}=\min\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$

$a_{2}=\max\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$

Nyilván igaz a következő egyenlőtlenség:

$a_{1}<A<a_{2}\qquad (3)$

Az eredeti sorozat alapján állítsunk elő egy második sorozatot, melynek első két tagja $A$ és $(a_{1}+a_{2}-A)$:

$A,\;a_{1}+a_{2}-A,\;a_{3},...,a_{n}$

A második sorozat számtani középértéke nem változik:

${\frac {A+(a_{1}+a_{2}-A)+a_{3}+\cdots +a_{n}}{n}}=A$

A második sorozat mértani középértéke:

$B_{2}:={\sqrt[{n}]{A(a_{1}+a_{2}-A)a_{3}\cdots a_{n}}}$

A második mértani középértékben lévő szorzat az első mértani közép szorzatától az első két tényezőben különbözik, ezért ezeket hasonlítjuk össze:

$A(a_{1}+a_{2}-A)-a_{1}a_{2}=Aa_{1}+Aa_{2}-A^{2}-a_{1}a_{2}=(a_{1}-A)(A-a_{2})$

$(3)$-ból következik:

$a_{1}-A<0$

$A-a_{2}<0$

Ezek alapján:

$(a_{1}-A)(A-a_{2})>0$

$A(a_{1}+a_{2}-A)-a_{1}a_{2}=(a_{1}-A)(A-a_{2})>0$

A mértani középértékekben lévő szorzatok összehasonlítása:

$A(a_{1}+a_{2}-A)a_{3}\cdots a_{n}>a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$

Kihasználtuk, hogy minden elem pozitív: $a_{i}>0$, $i=1,...,n$

Megmutattuk, hogy a módosított sorozat mértani középértéke nagyobb, mint az eredeti sorozat mértani középértéke:

$B_{2}={\sqrt[{n}]{A(a_{1}+a_{2}-A)a_{3}\cdots a_{n}}}>B_{1}$

A módosított sorozatban legalább egyszer megjelenik $A$.

Ezt az eljárást véges sokszor ismételve egy olyan számsorozathoz jutunk, aminek minden eleme $A$. Legyen ez a $p$-ik sorozat:

$B_{p}:={\sqrt[{n}]{A^{n}}}=A$

Fent beláttuk, hogy a mértani középértékek monoton növekvő sorozatot alkotnak:

$B_{1}<B_{2}<...<B_{p}$

Ebből következik:

$B_{1}<B_{p}=A$

Tehát

$B_{1}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}<A\qquad (4)$

$(1)$, $(2)$ és $(4)$ figyelembevételével kijelenthetjük, hogy

${\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\leq {\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$

Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha az összes szám megegyezik.

.

A tétel fontosabb alkalmazásai

Pozitív valós szám és reciprokának összege nem kisebb 2-nél

A tétel segítségével bebizonyítható, hogy ha $a>0,a\in \mathbb {R}$, akkor $a+{\frac {1}{a}}\geq 2$. Ugyanis ${\frac {a+{\frac {1}{a}}}{2}}\geq {\sqrt {a\cdot {\frac {1}{a}}}}$ egyenlőtlenség a tétel miatt igaz, hiszen a bal oldalon $a$ és ${\frac {1}{a}}$ számtani, míg a jobb oldalon a mértani közepük van. A jobb oldalon a gyök alatt 1 van, és mivel ${\sqrt {1}}=1$, ezért ${\frac {a+{\frac {1}{a}}}{2}}\geq 1$, és 2-vel szorozva $a+{\frac {1}{a}}\geq 2$. QED

A rendezési egyenlőtlenség helyettesítése több feladat megoldásában

Ebben a példában az egyenlőtlenség a rendezési egyenlőtlenséget helyettesíti:

Igazoljuk, hogy $a^{8}+b^{8}+c^{8}\geq a^{4}b^{3}c+b^{4}c^{3}a+c^{4}a^{3}b$ (a, b, c poz. valós számok). Bizonyítás: $a^{4}b^{3}c=(a^{32}b^{24}c^{8})^{1/8}=(a^{8}a^{8}a^{8}a^{8}b^{8}b^{8}b^{8}c^{8})^{1/8}\leq {\frac {4a^{8}+3b^{8}+c^{8}}{8}}$. A változók ciklikus permutálásával kapott három egyenlőtlenséget összeadva adódik az igazolandó. Leolvashatjuk az egyenlőség esetét is: a=b=c.

Az ${\sqrt[{n}]{n}}$ sorozat határértéke

Megmutatjuk, hogy $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$. Valóban, hiszen a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

$1\leq {\sqrt[{n}]{n}}={\sqrt[{n}]{{\sqrt {n}}{\sqrt {n}}\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1}}\leq {\frac {2{\sqrt {n}}+n-2}{n}}=1+{\frac {2}{\sqrt {n}}}-{\frac {2}{n}}\to 1.$

Az $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ sorozat korlátos és szigorúan monoton növekedő

Megmutatjuk, hogy $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\leq 4$. Valóban, a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

${\sqrt[{n+2}]{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}\leq {\frac {n\left(1+{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}}{n+2}}=1.$

Ebből $n+2$-edikre emelés és rendezés után adódik a felső korlát. A szigorúan monoton növekedéshez azt kell igazolni, hogy $\left(1+{\frac {1}{n+1}}\right)^{n+1}>\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

${\sqrt[{n+1}]{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\cdot 1}}\leq {\frac {n\left(1+{\frac {1}{n}}\right)+1}{n+1}}=1+{\frac {1}{n+1}}.$

Egyenlőség pedig nem állhat fenn. Hasonlóan igazolható, hogy $\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ is korlátos és szigorúan monoton növekedő, ahol $x$ tetszőleges valós szám.

Azonos kerületű háromszögek

Azonos kerületű háromszögek között a szabályos háromszög területe a legnagyobb. Egy $a,b,c$ oldalú háromszög félkerülete legyen $s={\frac {a+b+c}{2}}$. A Héron-képlet szerint a háromszög területe $t={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},$ vagyis az

$(a,b,c)\mapsto (s-a)(s-b)(s-c)$

függvényt kell maximalizálnunk rögzített $s$ mellett. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

${\sqrt[{3}]{(s-a)(s-b)(s-c)}}\leq {\frac {s-a+s-b+s-c}{3}}={\frac {s}{3}}.$

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha $a=b=c$.

A tétel súlyozott változata

A tétel súlyozott változata a következő. Ha $a_{1},\dots ,a_{n}$ nemnegatív valós számok, $p_{1},\dots ,p_{n}$ pozitív valós számok, amikre $p_{1}+\cdots +p_{n}=1$ teljesül, akkor

$a_{1}^{p_{1}}\cdots a_{n}^{p_{n}}\leq p_{1}a_{1}+\cdots +p_{n}a_{n}.$

Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha $a_{1}=\cdots =a_{n}$. Ennek $p_{1}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}$ speciális esete az eredeti tétel.

A tétel általánosításai

• a hatványközepek közötti egyenlőtlenség
• a szimmetrikus közepek közötti egyenlőtlenség
• a Jensen-egyenlőtlenség

Források

• Dr. Korányi Erzsébet: Matematika a gimnáziumok 10. osztálya számára ISBN 963-8332-84-0
• Besenyei Ádám: A számtani-mértani közép és egyéb érdekességek