Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, amely szerint nemnegatív valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok mértani középértéke; egyenlőség is csak akkor állhat fenn, ha a szóban forgó számok megegyeznek.

A tétel megfogalmazásaSzerkesztés

Bármely   nemnegatív valós számok esetén

 

és egyenlőség csak abban az esetben áll fenn, ha  .

A tétel bizonyításaiSzerkesztés

Az n = 2 eset bizonyításaiSzerkesztés

Algebrai bizonyítás

Ekvivalens átalakításokkal

 

 

 

 

ami mindig teljesül.

Geometriai bizonyítás

Az egymás mögé illesztett   és   hosszúságú szakaszok, mint átmérő fölé, rajzoljunk félkörívet! Ennek sugara a két szám számtani közepe lesz. A két szám mértani közepének megfelel a szakaszok érintkezési pontjába állított és a körívig húzott merőlegesnek a hossza. Az ábráról leolvasható, hogy az utóbbi csak abban az esetben éri el a sugár hosszát, ha  .

Bizonyítások teljes indukcióvalSzerkesztés

1. bizonyítás

a.) A tételt   esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha  -re igaz az állítás, akkor  -re is igaz. Osszuk ugyanis fel a tetszőlegesen rögzített   számot két darab  -es csoportra; alkalmazzuk ezekre külön-külön az  -re vonatkozó indukciós feltevést; majd második lépésben alkalmazzuk az   esetre már bizonyított tételt:

 

Ezzel bizonyítottuk az állítást minden olyan esetre, amikor a tagok száma 2-hatvány ( ).

c.) Amennyiben   nem 2-hatvány ( ), akkor az   nemnegatív valós számokhoz vegyük hozzá az   elemeket, és alkalmazzuk az így kapott   számokra a már bizonyított állítást:

 

Ekvivalens átalakításokkal:

 

 

 

amit bizonyítani kellett.

d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét.
  esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor  
Tegyük fel most, hogy például   ! Felhasználva, hogy ebben az esetben   :

 

tehát egyenlőség nem állhat fenn.

2. bizonyítás

a.) A tételt   esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha  -re igaz az állítás, akkor  -re is igaz, a már látott módon.

c.) Egyfajta fordított irányú indukciót alkalmazva igazoljuk, hogy ha  -re igaz az állítás, akkor  -re is teljesül, és így minden természetes számra fennáll. Az   nemnegatív valós számokhoz vegyük ugyanis hozzá  -dik elemként a számok számtani középértékét, az   számot. Az indukciós feltevésből kiindulva, ekkor, ekvivalens átalakításokkal:

 

 

 

 ,

amit bizonyítani kellett.

d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.

3. bizonyítás

a.) A tételt   esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha  -re igaz az állítás, akkor  -re is igaz. Legyen ugyanis   és  , ekkor az indukciós feltevés miatt

 

Mivel  , elegendő megmutatni, hogy

 

Ekvivalens átalakításokkal:

 

 

 

 

 ,

ami mindig teljesül, mert   esetén a bal oldalon két pozitív,   esetén pedig két negatív szám szorzata szerepel.

c.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.

4. bizonyítás

a.) A tételt   esetre már bizonyítottuk.

b.) Igazoljuk, hogy ha  -re igaz az állítás, akkor  -re is igaz. Indukcióval feltehetjük, hogy  -re igaz az állítás és   szám van adva:   és  . Jelöljük  -val az   számok számtani közepét. Az indukciós hipotézis miatt tudjuk, hogy  . Be kell látnunk, hogy

 

teljesül minden   számra. Az indukció miatt már tudjuk, hogy  , ezért azt kell belátni, hogy   azaz

 

teljesül.  polinom, ami 0-ban pozitív,  -ban nulla, végtelenben pedig végtelenhez tart. Így van minimuma, ahol deriváltja nulla. Kiszámolva:

 

ahonnan  .

Richard Rado bizonyításaSzerkesztés

Richard Rado indukciós bizonyítása erősebb állítást igazol. Tegyük fel, hogy   számunk van, ezek számtani és mértani közepe   és  , az első   szám számtani illetve mértani közepe pedig   és  . Ekkor

 

Ez elég, hiszen ha  , akkor a képlet szerint  . A képlet igazolásához  -nel osztva, 0-ra redukálva és bevezetve az

 

új változót, a következő adódik:

 

Ezt kell tehát  -ra igazolni. Ezt  -re való indukcióval bizonyítjuk. Az   eset igaz. Ha pedig  -re igaz, akkor  -re

 

Pólya György bizonyításaSzerkesztés

Pólya György bizonyítása, ami az analízis mély fogalmait használja, az exponenciális függvény következő tulajdonságára épül:   ha   valós, egyenlőség csak akkor áll, ha  . Tegyük fel tehát, hogy adottak az   pozitív számok, számtani közepük  . Írjuk fel az említett egyenlőtlenséget az   ( ) számokra:

 

Összeszorozva ezeket azt kapjuk, hogy

 

A bal oldal   miatt így alakítható:

 

és ezzel azt kaptuk, hogy  , tehát készen vagyunk. Egyenlőség csak akkor áll, ha  , azaz a számok egyenlőek. Ezt a bizonyítást Pólya György álmában találta.

Riesz Frigyes bizonyításaSzerkesztés

Riesz Frigyes bizonyítása a következő:   esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor  . Amennyiben a számok nem egyenlőek, feltehető, hogy létezik közöttük legkisebb és legnagyobb elem, például  . Helyettesítsük ebben az esetben   helyébe az  ,   helyébe pedig az   értéket. Ezzel a helyettesítéssel a számtani középérték nem változott, hiszen

 ,

a mértani középérték viszont

 

értékkel nőtt; továbbá a számok között most már az   elem eggyel többször szerepel. Ezzel az eljárással véges sok lépésben valamennyi elemet  -re cserélhetjük, miközben a számtani közép változatlan marad, a mértani közép pedig fokozatosan nő. Az eljárás végén elérjük a bizonyítás elején már tárgyalt egyenlőséget, és ezzel egyben a tételt is igazoltuk.

A tétel fontosabb alkalmazásaiSzerkesztés

Pozitív valós szám és reciprokának összege nem kisebb 2-nélSzerkesztés

A tétel segítségével bebizonyítható, hogy ha  , akkor  . Ugyanis   egyenlőtlenség a tétel miatt igaz, hiszen a bal oldalon   és   számtani, míg a jobb oldalon a mértani közepük van. A jobb oldalon a gyök alatt 1 van, és mivel  , ezért  , és 2-vel szorozva  . QED

A rendezési egyenlőtlenség helyettesítése több feladat megoldásábanSzerkesztés

Ebben a példában az egyenlőtlenség a rendezési egyenlőtlenséget helyettesíti:

Igazoljuk, hogy   (a, b, c poz. valós számok). Bizonyítás:  . A változók ciklikus permutálásával kapott három egyenlőtlenséget összeadva adódik az igazolandó. Leolvashatjuk az egyenlőség esetét is: a=b=c.

Az   sorozat határértékeSzerkesztés

Megmutatjuk, hogy  . Valóban, hiszen a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

 

Az   sorozat korlátos és szigorúan monoton növekedőSzerkesztés

Megmutatjuk, hogy  . Valóban, a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

 

Ebből  -edikre emelés és rendezés után adódik a felső korlát. A szigorúan monoton növekedéshez azt kell igazolni, hogy  . A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

 

Egyenlőség pedig nem állhat fenn. Hasonlóan igazolható, hogy   is korlátos és szigorúan monoton növekedő, ahol   tetszőleges valós szám.

Azonos kerületű háromszögekSzerkesztés

Azonos kerületű háromszögek között a szabályos háromszög területe a legnagyobb. Egy   oldalú háromszög félkerülete legyen  . A Héron-képlet szerint a háromszög területe   vagyis az

 

függvényt kell maximalizálnunk rögzített   mellett. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján

 

Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha  .

A tétel súlyozott változataSzerkesztés

A tétel súlyozott változata a következő. Ha   nemnegatív valós számok,   pozitív valós számok, amikre   teljesül, akkor

 

Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha  . Ennek   speciális esete az eredeti tétel.

A tétel általánosításaiSzerkesztés

A tétellel kapcsolatos (matematika)történeti érdekességekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés