Hatványközepek közötti egyenlőtlenség

A hatványközepek közötti egyenlőtlenség azt állítja, hogy ha $a_{1},\dots ,a_{n}$ nemnegatív valós számok, akkor $p<q$ esetén p-edik hatványközepük legfeljebb akkora, mint a q-adik, azaz

$K_{p}\leq K_{q}$

ahol $p>0$-ra

$K_{p}=\left({\frac {a_{1}^{p}+\cdots +a_{n}^{p}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}.$

Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha $a_{1}=\cdots =a_{n}$.

A $p=0$ értékre is definiálhatjuk a $K_{p}$ mennyiséget, ugyanis

$\lim _{p\to 0}K_{p}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}},$

a mértani közép. Az egyenlőtlenségből határátmenettel adódik $K_{0}\leq K_{1}$, azaz a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség.

Bizonyítás

Alább általánosabban, súlyozott hatványközepekre látjuk be a tételt.

Legyenek $a_{1},\ldots ,a_{n}$ nemnegatív valósok, és $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ pozitív súlyok, melyekre $\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1$, valamint $0<p<q$, hogy $q=p\cdot r$.

Ekkor az $x^{r}$ szigorú konvexitása miatt a Jensen-egyenlőtlenség szerint

$\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}^{p}\right)^{r}\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left(a_{i}^{p}\right)^{r}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}^{q}$,

ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha $a_{1}=\cdots =a_{n}$;

$q$-adik gyököt vonva, kihasználva a gyökvonás szigorú monotonitását

$\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}$,

ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha $a_{1}=\cdots =a_{n}$.

Ha $p<q<0$, a bizonyítás igen hasonlóan megy.

Ha $p<0<q$, akkor az előzőleg belátott monotonitásokat felhasználva, és figyelembe véve, hogy $\lim _{p\to 0}\left({\frac {\lambda _{1}a_{1}^{p}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}^{p}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}$ létezik, adódik, hogy

$\sup _{p<0}\left(\sum \lambda _{i}a_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\lim _{p\to 0}\left({\frac {\lambda _{1}a_{1}^{p}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}^{p}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}=\inf _{q>0}\left(\sum \lambda _{i}a_{i}^{q}\right)$ , ahonnan $\left(\sum \lambda _{i}a_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum \lambda _{i}a_{i}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}$.

Kiterjesztés függvény intervallumon vett hatványközepére

Ha $f\,$ függvény $[a,b]\,$ intervallumon Riemann-integrálható, akkor

$\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {b-a}{n}}f^{q}\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)=\int _{a}^{b}f^{q}(x)dx$

ahonnan, ha $p<q\,$ az előzőek szerint:

$\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f^{p}(x)dx\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}f^{p}\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {b-a}{n}}f^{q}\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\right)^{\frac {1}{q}}=\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f^{q}(x)dx\right)^{\frac {1}{q}}$