Hatványközepek közötti egyenlőtlenség

A hatványközepek közötti egyenlőtlenség azt állítja, hogy ha nemnegatív valós számok, akkor esetén p-edik hatványközepük legfeljebb akkora, mint a q-adik, azaz

ahol -ra

Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha .

A értékre is definiálhatjuk a mennyiséget, ugyanis

a mértani közép. Az egyenlőtlenségből határátmenettel adódik , azaz a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség.

BizonyításSzerkesztés

Alább általánosabban, súlyozott hatványközepekre látjuk be a tételt.

Legyenek   nemnegatív valósok, és   pozitív súlyok, melyekre  , valamint  , hogy  .

Ekkor az   szigorú konvexitása miatt a Jensen-egyenlőtlenség szerint

 ,

ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha  ;

 -adik gyököt vonva, kihasználva a gyökvonás szigorú monotonitását

 ,

ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha  .

Ha  , a bizonyítás igen hasonlóan megy.

Ha  , akkor az előzőleg belátott monotonitásokat felhasználva, és figyelembe véve, hogy   létezik, adódik, hogy

  , ahonnan  .

Kiterjesztés függvény intervallumon vett hatványközepéreSzerkesztés

Ha   függvény   intervallumon Riemann-integrálható, akkor

 

ahonnan, ha   az előzőek szerint: