A matematikában a hatványközepek a püthagoraszi közepek – úgy mint számtani, mértani, harmonikus – általánosításai. A hatványközepek további általánosítása a kváziaritmetikai közép, aminek értelmezés

Ha itt f(x) = xp, akkor visszajutunk a hatványközepekhez.

DefinícióSzerkesztés

Legyenek   nemnegatív valós számok. Ekkor ezen számok  -adik hatványközepe:

 

Legyenek emellett   pozitív súlyok, s  , ekkor definiálhatjuk   súlyozott hatványközepét:

 

Egyre normálva:

 , ahol  

Nevezetes hatványközepekSzerkesztés

  minimum
  harmonikus közép
  mértani közép
  számtani közép
  négyzetes közép
  maximum

A hatványközép határértékeiSzerkesztés

Maximum és minimumSzerkesztés

 ,

ugyanis legyen   és  , ekkor

 ,
 .

Mértani középSzerkesztés

 , ahol  .

A L’Hospital-szabály szerint

 ,

kihasználva az exponenciális függvény( ) folytonosságát

 .

HomogenitásaSzerkesztés

A legtöbb középértékhez hasonlóan homogén, azaz, ha  , akkor tetszőleges  -ra

 

BizonyításSzerkesztés

 .

További tulajdonságaiSzerkesztés

  • A hatványközepek mindig az adatok minimuma és maximuma közé esnek.
  • A hatványközepek szimmetrikusak, argumentumaik permutálása nem változtat az értéken.
  • Mivel a hatványközepek kváziaritmetikai közepek, blokkosíthatók:
 

Hatványközepek közti egyenlőtlenségSzerkesztés

A hatványközepek közti egyenlőtlenség kimondja, hogy az   függvény a teljes értelmezési tartományán monoton nő. Azaz, ha  , akkor  .

A fentiek szerint a hatványközepek közti egyenlőtlenség magában foglalja a püthagoraszi közepek közti egyenlőtlenséget.

FelhasználásaSzerkesztés

A hatványközepek nemlineáris mozgóátlagot jelentenek, ami kis p-re a kis értékek felé, nagy p-kre a nagy értékek felé tolódik el. Kis p-kre tömegspektrum bázisvonalának detektálására, nagy p-kre görbék burkológörbéjének meghatározására használják.

Ha adva van a smooth függvény, ami mozgó számtani közepet számol, akkor a mozgó hatványközép definiálható a következő Haskell kóddal:

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p = map (** recip p) . smooth . map (**p)

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Generalized mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.