Szimmetrikus közepek közötti egyenlőtlenség

A szimmetrikus közepek közötti egyenlőtlenség szerint, ha nemnegatív valós számok, akkor szimmetrikus közepeik csökkenő sorrendben helyezkednek el:

ahol -re

továbbá a k-adik elemi szimmetrikus polinom, azaz

a számainkból készíthető összes k-tényezős szorzat összege.

Ha a számok pozitívak, akkor egyenlőség csak akkor van, ha minden szám egyenlő, más szóval, ha van két különböző értékű, akkor

Mivel és az egyenlőtlenség egyszerűen a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség.

BizonyításaSzerkesztés

Két speciális esetSzerkesztés

Egyszerűen beláthatjuk az   és az  egyenlőtlenségeket.

Az utóbbihoz vegyük szemügyre  -et. Ez egy n tagú összeg, aminek tagjai az  -ből készíthető összes  -tényezős szorzatok. Számaink mindegyike pontosan  -szer szerepel, ezért szorzatuk

 

Ha alkalmazzuk ezekre a szorzatokra a számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenséget, akkor azt kapjuk, hogy

 

azaz

 

és itt a bal oldal  , a jobb oldal  .

Nézzük a másik egyenlőtlenséget,  -t! Ez négyzetreemelve és felszorozva az

 

alakra hozható. Legyen  . Ekkor

 

amit a fenti egyenlőtlenségbe beírva

 

adódik. Ha ezt rendezzük, akkor azt kapjuk, hogy

 

azaz

 

ami nem más, mint a számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség.

Az általános esetSzerkesztés

A tételt általában n-re vonatkozó indukcióval igazoljuk. A fenti esetek megadják a tételt n=2-re és n=3-ra. Tegyük fel, hogy   és tudjuk a tételt n-1-re. Adott   számainkból készítsük el a

 

polinomot, ennek tehát (multiplicitással számolva) pontosan n gyöke van. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések miatt p(x) szokásos polinomformájában

 

alakú. Deriváltja

 

A Rolle-tétel egy következménye miatt  -nek (multiplicitással számolva) n-1 valós gyöke van,  , ezek az  -k legkisebbike és legnagyobbika közé esnek, tehát nemnegatívak. Ezekkel   így írható fel:

 

ahol   a   számok elemi szimmetrikus polinomjai. Együttható-összehasonlítással adódik    -re. Mivel n-1-re már tudjuk a tétel állítását,

 

teljesül  -re. Viszont

 

mivel

 

és ez adja  -et  -re. A megmaradó,   esetet a fentiekben már beláttuk.

A fenti bizonyítás adja az

 

egyenlőtlenséget is. Ebből ismét levezethető a tétel, hiszen,  -t fentebb láttuk, ezután indukcióval adódik  : ha  -re tudjuk akkor a fentiek szerint  , innen

 

Innen a kívánt eredmény  -edik gyökvonással adódik.