A gradiens a matematikában egy skalármezőkre alkalmazható differenciáloperátor . A gradiens a függvények deriválásának általánosítása többváltozós függvényekre. Ennek vektormező az eredménye, ami azt mutatja meg, hogy hogyan változik a függvény, és megadja a skalármező legnagyobb megváltozását (irányát és nagyságát).
Két skalármező szürkeárnyalatosan ábrázolva (a sötétebb árnyalat nagyobb függvényértéknek felel meg). A kék nyilak a gradienseket jelzik.
Példaként tekintsünk egy térképet, amely megadja a magasságokat a h(x,y) függvénnyel: h(x,y) a magasság az (x,y) pontban. Ekkor h(x,y) gradiense a legnagyobb meredekség irányába mutat, és hossza a legnagyobb meredekség.
A gradiens a szintvonalakra merőleges, normája pedig a skalármezőnek, mint függvénynek a gradiens iránya menti deriváltja.
A gradienst a divergenciával és a rotációval együtt a vektoranalízis vizsgálja.
A
φ
(
r
→
)
{\displaystyle \varphi \left({\vec {r}}\right)}
skalármező gradiensét a parciális deriváltak vektoraként definiálják. Csak azokban a pontokban értelmezhető, ahol az összes parciális derivált létezik. Jelölése
∇
φ
{\displaystyle \nabla \varphi }
vagy
grad
φ
{\displaystyle \operatorname {grad} \varphi }
. Itt
∇
{\displaystyle \nabla }
a nabla szimbóluma, és
grad
{\displaystyle \operatorname {grad} }
a gradiens függvényszimbóluma.
A háromdimenziós euklideszi térben a
φ
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \varphi (x,y,z)}
skalármező gradiense derékszögű koordináta-rendszerben
grad
φ
=
∇
φ
=
∂
φ
∂
x
e
→
x
+
∂
φ
∂
y
e
→
y
+
∂
φ
∂
z
e
→
z
=
(
∂
φ
∂
x
∂
φ
∂
y
∂
φ
∂
z
)
{\displaystyle \operatorname {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\\{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\end{pmatrix}}}
Hengerkoordinátákban
V
=
V
(
r
;
φ
;
z
)
{\displaystyle V=V\left({r;\varphi ;z}\right)}
grad
V
=
∇
V
=
∂
V
∂
r
e
→
r
+
1
r
∂
V
∂
φ
e
→
φ
+
∂
V
∂
z
e
→
z
{\displaystyle \operatorname {grad} \,V=\nabla V={\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }+{\frac {\partial V}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}}
Gömbi koordinátákban
V
=
V
(
r
;
ϑ
;
φ
)
{\displaystyle V=V\left({r;\vartheta ;\varphi }\right)}
grad
V
=
∇
V
=
∂
V
∂
r
e
→
r
+
1
r
∂
V
∂
ϑ
e
→
ϑ
+
1
r
sin
ϑ
∂
V
∂
φ
e
→
φ
{\displaystyle \operatorname {grad} \,V=\nabla V={\frac {\partial V}{\partial r}}{\vec {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial \vartheta }}{\vec {e}}_{\vartheta }+{\frac {1}{r\sin \vartheta }}{\frac {\partial V}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }}
Az n dimenziós euklideszi térben
grad
φ
=
∇
φ
=
∂
φ
∂
x
1
e
→
1
+
⋯
+
∂
φ
∂
x
n
e
→
n
=
(
∂
φ
∂
x
1
⋮
∂
φ
∂
x
n
)
{\displaystyle \operatorname {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}{\vec {e}}_{1}+\cdots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}{\vec {e}}_{n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}}
A gradiens sor- és oszlopvektorként is írható, a további felhasználásnak megfelelően.
A képletekben
e
→
i
{\displaystyle {\vec {e}}_{i}}
az
i
{\displaystyle i}
koordinátának megfelelő irányú egység hosszú vektort jelöli.
Egy skalármező gradiense egy pontban megadja a legnagyobb meredekség irányát és a legnagyobb meredekség nagyságát. Egy lokális minimumban, egy lokális maximumban vagy egy nyeregpontban a gradiens nulla, feltéve, hogy ezek a pontok az értelmezési tartomány belsejében vannak.
A gradiens segítségével tetszőleges irányú meredekség meghatározható. Ez a meredekség éppen az irány menti derivált.
Az iránymenti derivált az adott irány által kimetszett függvény deriváltja. Közelebbről
D
v
→
φ
=
∂
φ
∂
v
→
=
lim
t
→
0
φ
(
r
→
+
t
v
→
)
−
φ
(
r
→
)
t
.
{\displaystyle D_{\vec {v}}\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {v}}}}=\lim _{t\to 0}{\frac {\varphi ({\vec {r}}+t{\vec {v}})-\varphi ({\vec {r}})}{t}}.}
.
Ha
φ
{\displaystyle \varphi }
differenciálható
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
egy környezetében, akkor az iránymenti derivált az adott irányú normált vektor és a gradiens skalárszorzata:
D
v
→
φ
=
∂
φ
∂
v
→
=
⟨
g
r
a
d
φ
,
v
→
⟩
{\displaystyle D_{\vec {v}}\varphi ={{\partial \varphi } \over {\partial {\vec {v}}}}=\left\langle \mathrm {grad} \varphi {,}{\vec {v}}\right\rangle }
A parciális deriváltak vektora vektor értékű függvényekre is definiálható. Ha
F
→
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle {\vec {F}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}
vektor értékű függvény, és koordinátafüggvényei rendre
F
1
,
…
,
F
m
{\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{m}}
, akkor
F
→
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
(
F
1
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
…
,
F
m
(
x
1
,
…
,
x
n
)
)
{\displaystyle {\vec {F}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\bigl (}F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\bigr )}}
.
Ekkor
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
deriváltja az
F
i
{\displaystyle F_{i}}
(sorvektor) gradiensek oszlopvektoraként definiálható. Ennek a mezőnek a vektorgradiense a Jacobi-mátrix:
J
F
→
=
grad
F
→
=
∇
F
→
=
∂
(
F
1
,
…
,
F
m
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
(
∂
F
1
∂
x
1
⋯
∂
F
1
∂
x
n
⋮
⋱
⋮
∂
F
m
∂
x
1
⋯
∂
F
m
∂
x
n
)
{\displaystyle {\mathcal {J}}_{\vec {F}}=\operatorname {grad} {\vec {F}}=\nabla {\vec {F}}={{\partial (F_{1},\ldots ,F_{m})} \over {\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}}
m
=
n
{\displaystyle m=n}
-re az eredmény egy másodfokú tenzor. Efféle tenzorok írják le például a fizikában a mechanikai feszültséget és az elaszticitást.
Minden
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
konstansra és
u
,
v
:
R
n
→
R
{\displaystyle u,v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
skalármezőre
grad
c
=
0
→
{\displaystyle \operatorname {grad} \,c={\vec {0}}}
linearitás
grad
(
c
⋅
u
)
=
c
⋅
grad
u
{\displaystyle \operatorname {grad} \,(c\cdot u)=c\cdot \operatorname {grad} \,u}
grad
(
u
+
v
)
=
grad
u
+
grad
v
{\displaystyle \operatorname {grad} \,(u+v)=\operatorname {grad} \,u+\operatorname {grad} \,v}
szorzási szabály
grad
(
u
⋅
v
)
=
u
⋅
grad
v
+
v
⋅
grad
u
{\displaystyle \operatorname {grad} \,(u\cdot v)=u\cdot \operatorname {grad} \,v+v\cdot \operatorname {grad} \,u}
Skalármező totális deriváltja
d
φ
=
∂
φ
∂
x
d
x
+
∂
φ
∂
y
d
y
+
∂
φ
∂
z
d
z
=
grad
φ
d
r
→
,
ahol
d
r
→
=
(
d
x
d
y
d
z
)
.
{\displaystyle \mathrm {d} \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\mathrm {d} z=\operatorname {grad} \,\varphi \;\mathrm {d} {\vec {r}},\qquad {\text{ahol}}\quad \mathrm {d} {\vec {r}}={\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}.}
A derékszögű koordinátákban vett gradiens a nabla operátorral:
∇
→
=
∑
a
e
→
q
a
1
h
a
∂
∂
q
a
,
ahol
h
a
=
|
∂
r
→
∂
q
a
|
.
{\displaystyle {\vec {\nabla }}=\sum _{a}{{\vec {e}}_{q_{a}}{\frac {1}{h_{a}}}{\frac {\partial }{\partial {q_{a}}}}},\qquad {\text{ahol}}\quad h_{a}=\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial {q_{a}}}}\right|.}
Ha egy test részei különböző hőmérsékletűek, akkor a melegebb helyről hő áramlik a hidegebb helyek felé. Ha a testen belül a hővezetés képessége állandó, akkor a hőáramlás a hőmérsékleti gradiens konstansszorosa.