Skalártér

(Skalármező szócikkből átirányítva)

A fizikában a skalártér, más néven skalármező egy-egy skalármennyiséget rendel a tér minden pontjához (ld. függvény). Ha a skalármennyiség nem valódi skalár, hanem pszeudoskalár, akkor a teret pszeudoskalártérnek nevezzük. A tér lehet a szokásos euklideszi tér (másképpen hármastér), de Minkowski-tér (a fizikában másképpen ez a négyestér) is. Például minden ponthoz hozzárendelik az ottani hőmérséklet értékét. A skalármezők a vektoranalízisben is fontosak.

A P(x, y) ↦ x²+y² függvénnyel megadott skalármező ábrázolása

Definíció

szerkesztés

Ha a φ(P) függvény a tér vagy egy térrész minden pontjához egy számot (skalárt) rendel, akkor φ(P) skalármező. Matematikai szempontból a skalármező értelmezési tartománya vektortér, vagy annak egy része, de a fizikai alkalmazásokban nem foglalkoznak ezzel.

 
 
 

Speciálisan n = 2-re:

 
 
 

Speciálisan n = 3-ra:

 
 
 

Fizikai példák skalártérre

szerkesztés

Szintfelületek

szerkesztés
 
A P(x, y) ↦ x²+y² függvénnyel megadott skalármező szintvonalai koncentrikus körök

A szintfelületek (nívóhalmazok) azoknak a pontoknak a halmaza, ahol a skalármező értéke állandó. Síkon ( ) értelmezett skalármező esetén inkább szintvonalakról (nívóvonalakról) beszélnek. A skalármező értelmezési tartományának minden pontján áthalad egy, és csak egy szintfelület. A szintfelületek merőlegesen metszenek minden rajtuk áthaladó felületi görbét.

Példák:

Operátorok

szerkesztés

A skalártérre a következő differenciáloperátorok alkalmazhatók:

A skalármezőnek felületi integrálja van. Ez az integrál így számítható:

 

ahol φ a skalármező és S a felület.

Green-formula

szerkesztés

A skalármezők a Green-formulában is megjelennek.

S egyszerű zárt felület, kifelé irányított normálvektorral. Jelölje V az S által körülzárt térrészt, és legyenek a φ, ψ vektormezők kétszer folytonosan differenciálhatók! Ekkor

 

ahol   a Laplace-operátor.

Más típusú terek

szerkesztés
A Wikimédia Commons tartalmaz Skalártér témájú médiaállományokat.