Főmenü megnyitása

A Laplace-operátor (jele: Δ, ejtsd: delta) a több dimenziós analízis fontos differenciáloperátora, ami megadja egy több dimenziós függvény tiszta második deriváltjainak összegét.

Hasonló operátor a nabla operátor (jele: ∇).

Tartalomjegyzék

ÁltalábanSzerkesztés

Skalármező Laplace-operátora:

 

Vektormezőre:

 

A divergencia (div), a rotáció (rot) és a gradiens (grad) invarianciája miatt ez a definíció független a koordináta-rendszertől. Ha a Laplace-operátort skalármezőre alkalmazzák, akkor skalármezőt ad. Vektormezőre alkalmazva vektormezőt eredményez. n koordinátavektorra a Laplace-operátor így néz ki:

 

a definíció alapján, ahol   a nabla operátor.

Más koordináta-rendszerekben más alakja van; kiszámításához transzformálni kell a derékszögű koordináta-rendszert.

Egy dimenzióbanSzerkesztés

Egy dimenzióban a Laplace-operátor a második deriváltra redukálódik. Az egyváltozós   függvényre tehát formálisan felírható a következő egyenlet:

 .

Két dimenzióbanSzerkesztés

Az   kétváltozós függvényre alkalmazva a Laplace-operátort:

derékszögű koordinátákban:

 

polárkoordinátákban:

 

vagy

 

Három dimenzióbanSzerkesztés

A   háromváltozós függvényre adódik

derékszögű koordináta-rendszerben

 

hengerkoordinátákban

 

az   gömbi koordinátákkal

 

Az egyenlőségjel utáni első tag helyett a következő is írható:   vagy akár   .

A Laplace-operátor Green-függvénye   mit  .

Ekkor teljesül:  , ahol   a delta-disztribúció. Az elektrodinamikában a Green-függvényt a peremérték-probléma megoldásához használják.

MegjegyzésekSzerkesztés

A Laplace-operátor megjelenik például a Laplace-egyenletben:

 

Ennek kétszer folytonosan differenciálható megoldásai a harmonikus függvények.

Mivel a Hesse-mátrix az összes második deriváltból képzett mátrix, azért a Laplace-operátor éppen a Hesse-mátrix nyoma.

Az angol nyelvű szakirodalomban a Laplace-operátor jele  .

A Laplace-operátor az idő szerinti deriválttal együtt a d'Alembert-operátort adja:

 

Ez az operátor a Laplace-operátor általánosításának tekinthető a Minkowski-tereken.

TulajdonságokSzerkesztés

A Laplace-operátor forgásszimmetrikus, azaz ha   kétszer differenciálható és   forgatómátrix, akkor

 ,

ahol „ “ a függvénykompozíciót jelöli.

Lásd még: rotáció, divergencia, gradiens

Diszkrét Laplace-operátor és képfeldolgozásSzerkesztés

A képfeldogozásban a Laplace-operátort az élek felderítésére, megjelenítésére használják. Az él a jel második deriváltjának nullátmeneteként jelentkezik. Agn és gnm diszkrét jeleken a Laplace-operátort hajtogatásként alkalmazzák. Itt alkalmazzák a következő maszkokat:

1D-szűrő:  
2D-szűrő:  

A kétdimenziós szűrőnek van egy másik változata:

2D-Filter:  

Ezek a differenciálhányadosok diszkretizálásával kaphatók.

Laplace–Beltrami-operátorSzerkesztés

ÉrtelmezéseSzerkesztés

A Laplace-operátor eredetileg az euklideszi térben van értelmezve. A riemanni geometria formalizmusa segítségével adódik a lehetőség arra, hogy általánosítsák a görbült felületekre, és a Riemann-sokaságokra. Ez az általánosított operátor a Laplace–Beltrami-operátor.

Definíció: a Laplace-Beltrami-operátor az (általánosított) gradiens (általánosított) divergenciája.

Az   sokaságon értelmezett skalárfüggvény gradiense vektormező  -en.

Az   sokaság minden   pontjában fennáll a   érintővektorra:

 

Itt df(x) az f(x) függvény deriváltja x-ben, és ezt az érintőtér lineáris formájának fogják fel.

A gradiens kontravariáns komponensei így számíthatók:

 

az Einstein-féle összegkonvencióval. Ez azt jelenti, hogy j az összegben 1-től n-ig megy. A  -k a   metrikus tenzor inverz mátrixának elemei. Tehát  , ahol   a Kronecker-delta.

Az X vektormező divergenciája az   sokaságon az X vektormező szerinti térfogatelemek   Lie-deriváltjával

 

Ha   a sokaság metrikus tenzora, akkor a térfogatelem a helyi koordináták szerint

 

Itt   a metrikus tenzor determinánsának abszolútértéke.

A  -k a

 

bázisvektorok kovektorai, és bázist alkotnak a helyi koordináta-rendszer duális terében.

Helyi koordinátákban

 

Összesítve a Laplace-Beltrami-operátor:

 .

AlakjaiSzerkesztés

A szorzás- és láncszabállyal erre az alakra hozható:

 

Mivel a háromdimenziós euklideszi térben a derékszögű koordináta-rendszerre  , azért   adódik, ami éppen megfelel a Laplace-operátornak. A (+,-,-,-) vagy (-,+,+,+) Minkowski-metrikával a D'Alembert-operátor áll elő.

A Laplace-Beltrami-operátorba az euklideszi polár-, henger- vagy gömbi metrikus tenzorokat helyettesítve is a Laplace-operátort kapjuk ezekben a koordináta-rendszerekben felírva, mert a polár- és hengerkoordinátákra   és  , a gömbi koordinátákra pedig  .

A Laplace-Beltrami-operátor felírható a Christoffel-szimbólumokkal is:

 .

A d külső deriválttal és az általánosított divergenciával bizonyítható a sokaságokra a következő azonosság:

 .

Alkalmas f és h függvényekre:

 .


ForrásokSzerkesztés

  • Otto Forster: Analysis 3. 3. Auflage, vieweg studium, 1984
  • Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, vieweg Lehrbuch, 1995