Főmenü megnyitása

A Hamel-dimenzió a lineáris algebrában használatos dimenziófogalom, amely azt próbálja megragadni, hány egymástól független irány létezik. Informálisan egy tér Hamel-dimenziója n, ha legalább ennyi irány szükséges ahhoz, hogy csak ezekben az irányokban (előre vagy hátra) mozogva a tér bármely pontjába eljuthassunk.

DefinícióSzerkesztés

Egy V vektortér dimenziója tetszőleges bázisának elemszáma, számossága. Ennek jogosságát az a tétel biztosítja, miszerint bármely két bázis azonos számosságú. Jelölés  .
Definíció alapján, ha V={0}, azaz a 0 tér esetén a dimenzió 0.

Ha a kiválasztási axióma teljesül, akkor minden vektortérnek van bázisa; ha gyengébb változata, az ultrafilter-lemma teljesül, akkor egy vektortér minden bázisa azonos számosságú. Ez alapján a definíció végtelen dimenziós vektorterekre is konzisztens.

PéldákSzerkesztés

  • a közönséges térvektorok vektortere 3 dimenziós, ezek között bármely két, origó kezdőpontú, nem párhuzamos vektor kifeszít egy kétdimenziós alteret, síkot.
  • Fn dimenziója n, míg Fn × knk.
  • a legfeljebb k-adfokú polinomok k+1 dimenziós alteret feszítenek ki.
  • az F feletti polinomok vektortere megszámlálhatóan végtelen dimenziós.
  • a valós függvények tere kontinuum dimenziós.

TulajdonságokSzerkesztés

Ekvivalens feltételek

V0 vektortér, n ∈ N+

  1. dim V = n
  2. V-ben a maximálisan független vektorok száma: n
  3. V-ben a minimális generátorrendszer n elemű.

Altér dimenziójaSzerkesztés

  • Ha   vektortér,  , akkor  .
  • Véges dimenziós   vektortérre, ha  , akkor  .

RangSzerkesztés

Az a1,…,an vektorrendszer rangja r, ha az n vektor között a maximálisan független vektorok száma r.

TulajdonságokSzerkesztés

Az a1,…,an vektorok által generált altér dimenziója
 

Lásd mégSzerkesztés