Egy körgyűrűn definiált harmonikus függvény

A komplex analízisben, az elméleti fizikában és a sztochasztikus folyamatok elméletében egy harmonikus függvény kétszer folytonosan differenciálható UR függvény, ahol U az Rn nyílt halmaza, ami eleget tesz az

Laplace-egyenletnek a teljes U halmazon. Ezt úgy is írják, mint

vagy

Az elnevezés eredeteSzerkesztés

A harmonikus elnevezést a függvények egy kifeszített húr egy pontjának mozgása alapján kapták, mivel a pont harmonikus mozgást végez. Ennek a differenciálegyenletének megoldásában szinuszok és koszinuszok szerepelnek, amely függvényekre a harmonikus szóval is utalnak. A Fourier-analízis lehetővé teszi, hogy ezeket a periodikus függvényeket kiterjesszék körre, ezeknek a függvényeknek harmonikus soraként. Magasabb dimenziós harmonikusokat tekintve eljutunk a szférikus harmonikus függvényekhez. Ezek eleget tesznek a Laplace-differenciálegyenletnek, emiatt a differenciálegyenlet megoldásain rajta maradt a harmonikus elnevezés.

PéldákSzerkesztés

Kétváltozós harmonikus függvények:

  • A holomorf függvények valós, illetve képzetes részei
  • Az   függvény; valójában ez is a fenti ponthoz tartozik, hiszen  , és   holomorf.
  • Az   függvény, definiálva az   halmazon.

Háromváltozós harmonikus függvények; a táblázatban  :

Függvény Szingularitás
  Egységnyi ponttöltés az origóban
  x irányú dipólus az origóban
  Egységnyi töltéssűrűség a teljes z tengely mentén
  Egységnyi töltéssűrűség a z tengely negatív félegyenese mentén
  x irányú dipólusok egyenese a teljes z tengely mentén
  x irányú dipólusok egyenese a z tengely negatív félegyenese mentén

A fizikában előforduló harmonikus függvényeket szingularitásaik és peremfeltételük határozzák meg, mint Dirichlet-peremfeltétel vagy Neumann-peremfeltétel. Ha nincs határ, akkor a szingularitások nem határozzák meg a harmonikus függvényt, mert hozzáadható valós vagy képzetes rész. A fizikában azzal teszik egyértelművé a megoldást, hogy a végtelenbe tartva a függvény tartson a nullához. Ekkor az egyértelműséget Liouville tétele biztosítja.

A harmonikus függvények szingularitásainak jellemzése is a fizikából ered, mégpedig elektrostatikai kifejezéseket használ, mivel a megadott harmonikus függvény arányos lesz az elektrostatikai potenciállal. A

A harmonikus függvényekből további harmonikus függvények kaphatók forgatással, konstanssal való szorzással vagy konstans hozzáadásával. Az inverzió eredménye szintén harmonikus függvény, aminek szingularitásai az eredeti függvény szingularitásainak inverzióban kapott képei. Két harmonikus függvény képe szintén harmonikus lesz.

Harmonikusak továbbá a következők:

  • Konstans. lineáris és affin függvények a teljes Rn-en. Ilyen például a feszültség egy kondenzátor lemezei között, vagy egy lemez gravitációs potenciálja.
  • Az   függvény az   halmazon.

TulajdonságokSzerkesztés

Egy adott nyílt halmazon harmonikus függvények vektorteret alkotnak a valós számok fölött. Egy adott nyílt halmazon harmonikus függvények a Δ Laplace-operátor magját alkotják.

Ha f harmonikus egy nyílt U halmazon, akkor parciális deriváltjai is harmonikusak U-n. Ezeken a függvényeken a Laplace-operátor felcserélhető a parciális differenciállal.

A harmonikus függvények több szempontból is a holomorf függvények valós analogonjai. Analitikusak, azaz lokálisan hatványsorba fejthetők, és elő is állnak hatványsorukból. Ez általában teljesül az elliptikus operátorokra, amelyeknek a Laplace-operátor egy példája.

Harmonikus függvények egyenletesen konvergens sorozatának határértéke szintén harmonikus. Ez azért van így, mert ha egy függvény teljesíti a középértéktételt, akkor harmonikus. Ez azonban nem teljesül a függvények deriváltjaira. Erre példa a (−∞, 0) × R halmazon definiált   sorozat. Ez harmonikus, és egyenletesen tart a nullához, de parciális deriváltjai nem. Ezért kell a középértéktételre hivatkozni.

Kapcsolat a holomorf függvényekkelSzerkesztés

A holomorf függvények valós és képzetes része harmonikus R'2-ben. Az ilyen párokat konjugált harmonikus függvényeknek nevezzük. Valójában minden harmonikus függvény ilyen. Ugyanis, ha u harmonikus függvény R2 egy Ω halmazán, akkor van egy Ω halmazon holomorf függvény, aminek valós része u, hiszen ha z = x + iy, akkor g(z) := ux − i uy holomorf, mert eleget tesz a Cauchy–Riemann-differenciálegyenleteknek. Ekkor a g függvénynek lokálisan van primitív f függvénye, ami konstans erejéig éppen u.

Habár a fenti megfeleltetésben csak kétváltozós harmonikus függvények szerepelhetnek, a többi harmonikus függvény is a holomorf függvényekhez hasonló tulajdonságokkal bír. (Valós) analitikusak, érvényes rájuk a maximumelv és a középértéktétel, továbbá a szingularitások eltávolítása és a Liouville-tétel analógja is teljesül.

További tulajdonságokSzerkesztés

A Laplace-egyenletből további tulajdonságok is levezethetők.

A regularitási tétel miatt akárhányszor differenciálhatók.

MaximumelvSzerkesztés

A maximumelv szerint: Ha u harmonikus az U nyílt halmazon, K pedig kompakt részhalmaza U-nak, akkor K-ban maximumát és minimumát a határon éri el. Ha K összefüggő, akkor u-nak nincsenek lokűális minimumai és maximumai, kivéve ha u konstans. A szubharmonikus függvényekre is teljesül a maximumelv.

KözépértéktételSzerkesztés

Ha B(x, r) golyó, aminek középpontja x és sugara r, és teljesen benne van egy Ω ⊂ Rn nyílt halmazban, akkor bármely, az Ω halmazon harmonikus függvény értéke x-ben megegyezik a gömb felszínén felvett értékek középértékével. Azaz, ha u ilyen, akkor

 

ahol ωn az egységgömb felszíne n dimenzióban, és σ az n-1 dimenziós felszín mértéke.

Megfordítva, a lokálisan integrálható függvények, amelyekre teljesül a középértéktétel, harmonikusak és akárhányszor differenciálhatók.

Ha

 

az origó körüli r sugarú gömb karakterisztikus függvénye normalizálva úgy, hogy  , és u függvény az Ω halmazon, akkor u harmonikus akkor és csak akkor, ha

 

feltéve, hogy B(x, r) ⊂ Ω.

Liouville tételeSzerkesztés

Ha u a teljes Rn-en harmonikus függvény, és alulról vagy felülről korlátos, akkor konstans. Hasonló teljesül holomorf függvényekre, lásd Liouville-tétel (komplex analízis).

Edward Nelson egyszerű bizonyítást adott a középértéktétel felhasználásával, egymást átfedő golyók segítségével.[1] Mivel akármennyire átfedhetnek, középértékeik is akármilyen közel eshetnek egymáshoz, így ha u alulról vagy felülről korlátos, akkor a függvény értéke mindenütt ugyanannyi.

Harnack-egyenlőtlenségSzerkesztés

Legyen Ω harmonikus függvény a korlátos Ω halmazon! Ekkor minden

 

összefüggő halmazon teljesül a Harnack-egyenlőtlenség:

 

egy csak V-től és Ω-tól függő C konstanssal.

Szingularitások megszüntetéseSzerkesztés

Ha u harmonikus függvény Rn   pontozott nyílt részhalmazán, és kevésbé szinguláris x0-ban, mint a fundamentális megoldás, akkor

 

akkor u kiterjeszthető a teljes Ω halmazra úgy, hogy harmonikus maradjon. Holomorf függvényekre hasonló teljesül a Riemann-tétellel.

ÁltalánosításaiSzerkesztés

Poliharmonikus függvényekSzerkesztés

A poliharmonikus függvények 2m-szer folytonosan differenciálható függvények, amelyek f-be helyettesítve megoldják a

 

differenciálegyenletet. Az m=2 esetben biharmonikus függvényeknek nevezzük őket, ekkor a differenciálegyenlet az elasztikus lemezekkel kapcsolatban kerülnek elő.

Gyengén harmonikus függvényekSzerkesztés

Egy függvény, vagy disztribúció gyengén harmonikus, ha a Laplace-egyenlet gyenge megoldása. Ez nem jelent széles körű általánosítást, mivel majdnem mindenütt megegyezik egy erős értelemben vett harmonikus függvénnyel, és szakaszosan sima. Hasonló tudható a disztribúciókról is, mivel a gyenge értelemben vett disztribúció egy harmonikus függvényhez rendelt disztribúció. Ez Weyl lemmája.

Más értelemben a Laplace-egyenlet általánosításainak megoldásait nevezik gyengén harmonikusnak. Ilyen a Dirichlet-elv, ami a harmonikus függvényeket a H1(Ω) Szoboljev-térben a

 

Dirichlet-energiát minimalizáló függvényeket tekinti, tekintettel a helyi változásokra. Ezekre teljesül, hogy J(u) ≤ J(u + v) minden   vagy ekvivalensen,   függvényre.

Harmonikus függvények sokaságokonSzerkesztés

A Laplace-operátor helyett a Laplace–Beltrami operátorral sokaságokon is definiálhatók harmonikus függvények Az operátort szintén Δ-val jelölve

 

A tulajdonságok közül több is egyszerűen bizonyítható az elliptikus differenciálegyenlet alapján, mint a maximumelv és a Harnack-egyenlőtlenség. A középértéktétel bizonyítása a geodetikus gömbökre nem ilyen egyszerű, de működik.

Szubharmonikus függvényekSzerkesztés

Ha f kétszer differenciálható függvény, és Δf ≥ 0, akkor f szubharmonikus. Ezzel a feltétellel a maximumelv megmarad, de a harmonikus függvények többi tulajdonsága nem garantált. A szubharmonikus nevet az indokolja, hogy az értelmezési tartomány belsejében levő akármelyik gömbben kisebb értékeket vesz fel, mint a gömb határa által meghatározott harmonikus függvény.

Harmonikus formákSzerkesztés

Egy további általánosítás a Riemann-sokaságok harmonikus formái. Ezek tanulmányozása elvezet a kohomológiához. Definiálhatók vektor értékű harmonikus függvények, és Riemann-sokaság harmonikus leképezései is egy másik Riemann-sokaságra. Ezek egy általánosított Dirichlet-funkcionál kritikus pontjai, amelyek a Dirichlet-elv miatt a harmonikus függvényeket is magukba foglalják. Ez a fajta harmonikus leképezés a minimálfelületek elméletében is megjelenik. Például egy görbe a valós számok leképezése a sokaságra. Ha ez a leképezés harmonikus, akkor a görbe geodetikus vonal lesz.

Sokaságok harmonikus leképezéseiSzerkesztés

Ha M és N Riemann-sokaságok, akkor az u : MN harmonikus leképezés a

 

Dirichlet-energia kritikus pontja, ahol du : TMTN az u differenciálja, és a norma az M és az N metrikája által indukált norma tenzorszorzata, T*Mu−1 TN.

Ennek speciális esetei a minimálfelületek, amelyek egy felület harmonikus immerziói a három dimenziós euklideszi térbe. Általánosabban, a minimális részsokaságok az egyik sokaság immerziói egy másikba. A harmonikus koordináták harmonikus diffeomorfizmusok egy sokaságból az azonos dimenziójú euklideszi tér egy nyílt részhalmazába.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Edward Nelson, A proof of Liouville's theorem. Proceedings of the AMS, 1961. pdf at JSTOR

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Harmonic function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.