Főmenü megnyitása

Liouville-tétel (komplex analízis)

komplex analitikai tétel

A komplex függvénytanban Liouville tétele azt állítja, hogy ha egy egészfüggvény korlátos, akkor konstans. A tételt Joseph Liouville után nevezték el. Ez azt jelenti, hogy ha f az egész síkon holomorf, és van hozzá pozitív M, hogy akkor minden számra -ben. Ekvivalensen, a teljes in -n nem konstans holomorf függvények képe sűrű.

A tétel erősítése a Picard-tétel, ami szerint egy egészfüggvény legfeljebb egy értéket hagy ki.

KövetkezményeiSzerkesztés

Az algebra alaptételeSzerkesztés

Liouville tételével az algebra alaptétele röviden belátható.

Egészfüggvény nem dominál egészfüggvénytSzerkesztés

Liouville tételének egyik következménye, hogy lényegében különböző egészfüggvények nem dominálják egymást. Azaz, ha f és g egészfüggvények, és |f| ≤ |g| mindenütt, akkor f = α·g valamely α komplex számra.

Abban az esetben, ha g=0, akkor a tétel triviális, tehát feltehető, hogy g 0. Legyen most h = f/g, ekkor elég belátni, hogy h kiterjeszthető egészfüggvénnyé, amiből az eredmény Liouville tételével következik. A h függvény nyilván holomorf, kivéve a g−1(0) helyeken. De mivel h korlátos és g szingularitásai izoláltak, azért a szingularitások eltávolíthatók. Ezért h kiterjeszthető korlátos egészfüggvénnyé, ami Liouville tétele szerint konstans.

Egészfüggvény skalárszoros korláttalSzerkesztés

Feltesszük, hogy f egészfüggvény, és van egy alkalmas M pozitív valós szám, hogy |f(z)| kisebb, vagy egyenlő, mint M|z|. A Cauchy-integrálképlettel

 

ahol I a maradék integrál értéke. Ez azt mutatja, hogy f' korlátos egészfüggvény, tehát konstans. Az integrál megmutatja, hogy f affin. Az eredeti állítás miatt a konstans tag nulla.

Elliptikus függvényekSzerkesztés

Következik az is, hogy nem konstans elliptikus függvények nem definiálhatók teljes C-n. Tegyük fel, hogy f egy teljes C-n definiált elliptikus függvény, és periódusai a és b úgy, hogy ab nem valós. Legyen most P az a paralelogramma, aminek csúcsai 0, a, b és a + b. Ekkor f értékkészlete éppen f(P). Mivel f folytonos, és P kompakt, azért ez is kompakt, így korlátos. Liouville tétele miatt f konstans.

Az elliptikus függvényekre vonatkozó állítást Liouville bizonyította 1847-ben.[1] Valójában Cauchytól származik egy korábbi bizonyítás 1844-ből.[2][3]

Nem konstans egészfüggvények képe sűrűSzerkesztés

Ha f nem konstans egészfüggvény, akkor képe sűrű C-ben. Ez Liouville tételének egy egyszerűen megkapható erősítése.

Ha f képe nem sűrű, akkor van egy w komplex szám, és egy r pozitív valós szám, hogy a w közepű, r sugarú körben nincs értéke f-nek. LÉegyen a g függvény olyan, hogy

g(z) = 1/(f(z) − w).

Ekkor g korlátos, mivel

 

Ezért g konstans, tehát f is konstans.

Kompakt Riemann-felületekSzerkesztés

Kompakt Riemann-felületeken a holomorf függvények konstansok.[4]

Legyen   holomorf a teljes   Riemann-felületen! Kompaktság miatt van egy   pont, ahol   felveszi maximumát. Ekkor választunk térképet   egy környezetéről a   egységlemezre, ezzel   holomorf az egységlemezen, és maximumát a   pontban veszi fel. Ezért a maximumelv miatt konstans.

BizonyításSzerkesztés

A tétel bizonyítása azt használja fel, hogy a holomorf függvények analitikusak. Ha f egészfüggvény, akkor a 0 körül Taylor-sorba fejthető:

 

amiből a Cauchy-integrálképlettel

 

és Cr a 0 körüli r > 0 sugarú kör. Feltéve, hogy f korlátos, van egy M konstans, hogy |f(z)| ≤ M minden z komplex számra. Ekkor az együtthatók becsülhetők, mint:

 

A második egyenlőtlenségben felhasználtuk, hogy |z|=r a körön. De r akármilyen pozitív szám lehet. Ha r-rel a végtelenbe tartunk (tarthatunk is, mert f egészfüggvény), akkor ak = 0 minden k ≥ 1 esetén. Tehát f(z) = a0, amivel a tételt bebizonyítottuk.

MegjegyzésekSzerkesztés

Legyen C ∪ {∞} a C egypontos kompaktifikációja! A C-ben definiált régiók helyett vehetők a C ∪ {∞} régiói. A CC ∪ {∞} halmazon definiált egészfüggvényeknek csak a ∞-ben lehet szingularitása. Ha egy egészfüggvény ∞ egy környezetében korlátos, akkor ∞ megszüntethető szingularitás, f nem robban vagy viselkedik kaotikusan a ∞ egy környezetében, f konstans. Ez nem meglepő Liouville tételének ismeretében.

Hasonlóan, ha a holomorf függvénynek pólusa van a ∞-ben, akkor polinom. Ekkor úgy robban fel a ∞ egy környezetében, mint zn. Még pontosabban, ha elég nagy z esetén |f(z)| ≤ M.|zn|, akkor f legfeljebb n-edfokú polinom.

Ugyanisf-et Taylor-sorba fejtve

 

Cauchy becslése alapján

 

Így, ha k > n,

 

Tehát ak = 0.

Liouville tétele nem érvényes a hasított komplex számokra és a duális számokra.[5]

Lásd mégSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Liouville, Joseph (1847), "Leçons sur les fonctions doublement périodiques", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 88: 277–310, 1879, ISSN 0075-4102, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/img/?IDDOC=266004>[halott link]
  2. Cauchy, Augustin-Louis (1844), "Mémoires sur les fonctions complémentaires", Œuvres complètes d'Augustin Cauchy, vol. 8, 1, Paris: Gauthiers-Villars (published 1882)
  3. Lützen, Jesper (1990), Joseph Liouville 1809–1882: Master of Pure and Applied Mathematics, vol. 15, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97180-7
  4. a concise course in complex analysis and Riemann surfaces, Wilhelm Schlag, corollary 4.8, p.77 http://www.math.uchicago.edu/~schlag/bookweb.pdf Archiválva 2017. augusztus 30-i dátummal a Wayback Machine-ben
  5. Archivált másolat. [2017. január 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2017. augusztus 1.)

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Liouville's theorem (complex analysis) című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.