Cauchy-integrálképlet

A Chauchy-integrálképlet a komplex analízis egyik alapvető kijelentése. Leggyengébb alakjában azt mondja ki, hogy egy holomorf függvény értékeit egy körlapon meghatározzák a kör kerületén felvett értékei. Egyik erős általánosítása a reziduumtétel. A tételnek több változata van.

KörlapraSzerkesztés

ÁllításSzerkesztés

Ha   nyílt,   holomorf,   komplex szám, továbbá   relatív kompakt körlap  -ben, akkor minden   esetén, vagyis ha  -re teljesül, hogy  :

 

ahol   pozitív irányítású görbe, és   ahol     kerülete.

BizonyításSzerkesztés

Rögzített   esetén definiáljuk a   függvényt mint  , ahol   és   ha  . Ekkor   folytonos  -ban és holomorf  -ben. A Cauchy-féle integráltétellel

 .

Most a  ,   függvény holomorf, és deriváltja  , ami eltűnik, mivel az integrandusnak van primitív függvénye, mégpedig  . Tehát   konstans, és mivel  , azért  .

KövetkezményeiSzerkesztés

Minden holomorf függvényre teljesül: egy körlap középpontjában felvett értéke a peremen felvett értékek középértéke:  .

 

Minden holomorf függvény minden pontban tetszőlegesen sokszor komplex differenciálható, és minden deriváltja holomorf. Az integrálképlettel ez azt jelenti, hogy   és   esetén:

 

A holomorf függvények hatványsorba fejthetők, a sorfejtés minden   komplex számra érvényes.

 

Az   függvényre alkalmazott integrálképlettel azonnal következik, hogy az   együtthatók pontosan a Taylor-sor együtthatói. Ha   für  , akkor az együtthatók becsülhetők, mint:

 

A Liouville-tétel is egyszerűen belátható az integrálképlet felhasználásával, továbbá az algebra alaptételére is lehet következtetni.

Kiszámíthatók integrálok is, például:

 

A következmények bizonyításaSzerkesztés

A Cauchy-integrálképletet parciálisan differenciáljuk, amiben a differenciálás és az integrálás felcserélhető:

 

Az   kifejtése a mértani sor segítségével a Cauchy-integrálképletbe:

 

Mivel   esetén a mértani sor egyenletesen konvergens, szabad tagonként integrálni, az összegzés és az integrál felcserélhető. A kifejtés együtthatói:

 

Az együtthatókra teljesül a következő becslés: Legyen   olyan, hogy   ha  ! Ekkor   számokra:

 

Ha   holomrf és korlátos a teljes   síkon, tehát   minden   komplex számra, akkor minden   valós számra:

 

Mivel   tetszőleges, azért   minden   esetén. Így az   korlátos volta miatt:

 

Ez azt jelenti, hogy korlátos egészfüggvény konstans, ami éppen a Liouville-tétel.

Körlapok direkt szorzatánSzerkesztés

A magasabb dimenziós analízisben használják a körlapok direkt szorzatát is, aminek neve az angol alapján polilemeznek, a német alapján policilindernek vagy polihengernek magyarítható.

Pontosabban, ha   nyílt körlap, akkor a   középpontú policilinder, aminek multirádiusza  , megadható, mint

 

vagy ekvivalensen,

 

A policilinder az egydimenziós körlap általánosítása, de   esetén nem biholomorf a gömbbel. Ezt Poincaré látta be 1907-ben, amikor megmutatta, hogy a két halmaz automorfizmus- és Lie-csoportjainak dimenziói különbözőek.

A Cauchy-integrálképlet általánosítható magasabb dimenzióra. Legyenek   körlapok a komplex síkon,   pedig a direkt szorzatuk. Legyen továbbá az   függvény holomorf, és   komplex pont! Ekkor az integrálképlet alakja:

 

A holomorf függvények deriváltjaira magasabb dimenzióban is teljesül, hogy

 

illetve

 

ahol   és   az   policilinder sugara.[1] További általánosítás a Bochner-Martinelli-képlet.

Ennek bizonyítása nem végezhető el az egydimenziós esethez hasonlóan, mivel a Chauchy-integráltétel nem teljesül; viszont teljes indukció használható, amihez az egydimenziós eset szolgál kiindulópontként. A képlet multiindexekkel írható, mint

 ,

ahol  .

CiklusokraSzerkesztés

A komplex analízisben egy lánc folytonos görbék egész együtthatós lineáris kombinációja, ahol a negatív előjel az irányítás megfordítását jelenti. Egy ciklus olyan lánc, amiben minden komplex szám ugyanannyiszor vég- mint kezdőpont; azaz zárt görbék alkotta lánc.

Legyen   tartomány,   holomorf , és   nullholomorf ciklus  -ben. Ekkor minden   esetén, ami nem pontja a   ciklusnak, teljesül, hogy:

 

ahol     körülfordulási száma   körül.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-444-10523-9, S. 25–27.

ForrásokSzerkesztés

  • Steven G Krantz: Function Theory of Several Complex Variables, American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3
  • Walter Rudin: Function theory in polydiscs, Benjamin, New York 1969
  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Cauchysche Integralformel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Polyzylinder című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.