A Chauchy-integrálképlet a komplex analízis egyik alapvető kijelentése. Leggyengébb alakjában azt mondja ki, hogy egy holomorf függvény értékeit egy körlapon meghatározzák a kör kerületén felvett értékei. Egyik erős általánosítása a reziduumtétel . A tételnek több változata van.
Ha
D
⊆
C
{\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }
nyílt ,
f
:
D
→
C
{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }
holomorf,
a
∈
D
{\displaystyle a\in D}
komplex szám, továbbá
U
:=
U
r
(
a
)
⊂
D
{\displaystyle U:=U_{r}(a)\subset D}
relatív kompakt körlap
D
{\displaystyle D}
-ben, akkor minden
z
∈
U
r
(
a
)
{\displaystyle z\in U_{r}(a)}
esetén, vagyis ha
z
{\displaystyle z}
-re teljesül, hogy
|
z
−
a
|
<
r
{\displaystyle |z-a|<r}
:
f
(
z
)
=
1
2
π
i
∮
∂
U
f
(
ζ
)
ζ
−
z
d
ζ
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta }
ahol
∂
U
{\displaystyle \partial U}
pozitív irányítású görbe, és
t
↦
a
+
r
e
i
t
{\displaystyle t\mapsto a+re^{\mathrm {i} t}}
ahol
t
∈
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle t\in [0,2\pi ]}
U
{\displaystyle U}
kerülete.
Rögzített
z
∈
U
{\displaystyle z\in U}
esetén definiáljuk a
g
:
U
→
C
{\displaystyle g\colon U\to \mathbb {C} }
függvényt mint
w
↦
f
(
w
)
−
f
(
z
)
w
−
z
{\displaystyle w\mapsto {\tfrac {f(w)-f(z)}{w-z}}}
, ahol
w
≠
z
{\displaystyle w\neq z}
és
w
↦
f
′
(
z
)
{\displaystyle w\mapsto f'(z)}
ha
w
=
z
{\displaystyle w=z}
. Ekkor
g
{\displaystyle g}
folytonos
U
{\displaystyle U}
-ban és holomorf
U
∖
{
z
}
{\displaystyle U\setminus \{z\}}
-ben. A Cauchy-féle integráltétellel
0
=
∮
∂
U
g
=
∮
∂
U
f
(
ζ
)
ζ
−
z
d
ζ
−
f
(
z
)
∮
∂
U
d
ζ
ζ
−
z
{\displaystyle 0=\oint _{\partial U}g=\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta -f(z)\oint _{\partial U}{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -z}}}
.
Most a
h
:
U
→
C
{\displaystyle h\colon U\to \mathbb {C} }
,
w
↦
∮
∂
U
d
ζ
ζ
−
w
{\displaystyle \textstyle w\mapsto \oint _{\partial U}{\tfrac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -w}}}
függvény holomorf, és deriváltja
h
′
(
w
)
=
∮
∂
U
d
ζ
(
ζ
−
w
)
2
{\displaystyle \textstyle h'(w)=\oint _{\partial U}{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\left(\zeta -w\right)^{2}}}}
, ami eltűnik, mivel az integrandusnak van primitív függvénye, mégpedig
ζ
↦
−
1
ζ
−
w
{\displaystyle \zeta \mapsto -{\tfrac {1}{\zeta -w}}}
. Tehát
h
{\displaystyle h}
konstans, és mivel
h
(
a
)
=
2
π
i
{\displaystyle h(a)=2\pi \mathrm {i} }
, azért
h
(
z
)
=
2
π
i
{\displaystyle h(z)=2\pi \mathrm {i} }
.
Minden holomorf függvényre teljesül: egy körlap középpontjában felvett értéke a peremen felvett értékek középértéke:
ζ
(
t
)
=
a
+
r
e
i
t
,
d
ζ
=
i
r
e
i
t
d
t
{\displaystyle \zeta (t)=a+re^{\mathrm {i} t}\,,\ \mathrm {d} \zeta =\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\mathrm {d} t}
.
f
|
U
(
a
)
=
1
2
π
i
∮
∂
U
f
(
ζ
)
ζ
−
a
d
ζ
=
1
2
π
i
∫
0
2
π
f
(
a
+
r
e
i
t
)
r
e
i
t
i
r
e
i
t
d
t
=
1
2
π
∫
0
2
π
f
(
a
+
r
e
i
t
)
d
t
{\displaystyle f|_{U}(a)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(a+re^{\mathrm {i} t})}{re^{\mathrm {i} t}}}\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(a+re^{\mathrm {i} t})\,\mathrm {d} t}
Minden holomorf függvény minden pontban tetszőlegesen sokszor komplex differenciálható, és minden deriváltja holomorf. Az integrálképlettel ez azt jelenti, hogy
|
z
−
a
|
<
r
{\displaystyle |z-a|<r}
és
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
esetén:
f
(
n
)
(
z
)
=
n
!
2
π
i
∮
∂
U
f
(
ζ
)
(
ζ
−
z
)
n
+
1
d
ζ
.
{\displaystyle f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -z\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta .}
A holomorf függvények hatványsorba fejthetők, a sorfejtés minden
|
z
−
a
|
<
r
{\displaystyle |z-a|<r}
komplex számra érvényes.
f
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
(
1
2
π
i
∮
∂
U
f
(
ζ
)
(
ζ
−
a
)
n
+
1
d
ζ
)
(
z
−
a
)
n
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
z
−
a
)
n
.
{\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -a\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)(z-a)^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}.}
Az
f
(
n
)
{\displaystyle f^{(n)}}
függvényre alkalmazott integrálképlettel azonnal következik, hogy az
a
n
{\displaystyle a_{n}}
együtthatók pontosan a Taylor-sor együtthatói. Ha
|
f
(
z
)
|
≤
M
{\displaystyle |f(z)|\leq M}
für
|
z
−
a
|
<
r
⇔
z
∈
U
r
(
a
)
{\displaystyle |z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)}
, akkor az együtthatók becsülhetők, mint:
|
a
n
|
≤
M
r
n
{\displaystyle |a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}}
A Liouville-tétel is egyszerűen belátható az integrálképlet felhasználásával, továbbá az algebra alaptételére is lehet következtetni.
Kiszámíthatók integrálok is, például:
∮
∂
U
2
(
0
)
e
2
ζ
(
ζ
+
1
)
4
d
ζ
=
2
π
i
3
!
d
3
d
z
3
e
2
z
|
z
=
−
1
=
8
π
i
3
e
2
{\displaystyle \oint _{\partial U_{2}(0)}{\frac {e^{2\zeta }}{\left(\zeta +1\right)^{4}}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {2\pi \mathrm {i} }{3!}}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} z^{3}}}e^{2z}|_{z=-1}={\frac {8\pi \mathrm {i} }{3e^{2}}}}
A következmények bizonyítása
szerkesztés
A Cauchy-integrálképletet parciálisan differenciáljuk, amiben a differenciálás és az integrálás felcserélhető:
f
(
n
)
|
U
(
z
)
=
∂
n
f
∂
z
n
|
U
(
z
)
=
1
2
π
i
∂
n
∂
z
n
∮
∂
U
f
(
ζ
)
ζ
−
z
d
ζ
=
1
2
π
i
∮
∂
U
f
(
ζ
)
∂
n
∂
z
n
1
ζ
−
z
⏟
n
!
/
(
ζ
−
z
)
1
+
n
d
ζ
=
n
!
2
π
i
∮
∂
U
f
(
ζ
)
(
ζ
−
z
)
1
+
n
d
ζ
{\displaystyle {\begin{aligned}f^{(n)}|_{U}(z)&={\frac {\partial ^{n}f}{\partial z^{n}}}|_{U}(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}{\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}f(\zeta )\underbrace {{\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}{\frac {1}{\zeta -z}}} _{n!/(\zeta -z)^{1+n}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{1+n}}}\mathrm {d} \zeta \end{aligned}}}
Az
1
ζ
−
z
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta -z}}}
kifejtése a mértani sor segítségével a Cauchy-integrálképletbe:
f
|
U
(
z
)
=
1
2
π
i
∮
∂
U
r
(
a
)
f
(
ζ
)
ζ
−
z
d
ζ
=
1
2
π
i
∮
∂
U
r
(
a
)
f
(
ζ
)
ζ
−
a
−
(
z
−
a
)
d
ζ
=
1
2
π
i
∮
∂
U
r
(
a
)
f
(
ζ
)
ζ
−
a
1
1
−
z
−
a
ζ
−
a
d
ζ
=
|
z
−
a
ζ
−
a
|
<
1
1
2
π
i
∮
∂
U
r
(
a
)
f
(
ζ
)
ζ
−
a
∑
n
=
0
∞
(
z
−
a
ζ
−
a
)
n
d
ζ
=
∑
n
=
0
∞
(
1
2
π
i
∮
∂
U
r
(
a
)
f
(
ζ
)
(
ζ
−
a
)
n
+
1
d
ζ
)
⏟
a
n
(
z
−
a
)
n
{\displaystyle {\begin{aligned}f|_{U}(z)&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a-(z-a)}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a}}{\frac {1}{1-{\frac {z-a}{\zeta -a}}}}\mathrm {d} \zeta \,{\overset {|{\frac {z-a}{\zeta -a}}|<1}{=}}\,{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-a}{\zeta -a}}\right)^{n}\mathrm {d} \zeta \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -a)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)} _{a_{n}}(z-a)^{n}\end{aligned}}}
Mivel
|
z
−
a
|
<
|
ζ
−
a
|
=
r
{\displaystyle |z-a|<|\zeta -a|=r}
esetén a mértani sor egyenletesen konvergens , szabad tagonként integrálni, az összegzés és az integrál felcserélhető. A kifejtés együtthatói:
a
n
=
1
n
!
f
(
n
)
|
U
(
a
)
=
1
2
π
i
∮
∂
U
r
(
a
)
f
(
ζ
)
(
ζ
−
a
)
n
+
1
d
ζ
=
1
2
π
i
∫
0
2
π
f
(
a
+
r
e
i
t
)
(
r
e
i
t
)
n
+
1
i
r
e
i
t
d
t
=
1
2
π
r
n
∫
0
2
π
f
(
a
+
r
e
i
t
)
e
−
i
n
t
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!}}f^{(n)}|_{U}(a)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -a)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(a+re^{\mathrm {i} t})}{(re^{\mathrm {i} t})^{n+1}}}\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(a+re^{\mathrm {i} t})e^{-\mathrm {i} nt}\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}
Az együtthatókra teljesül a következő becslés: Legyen
M
>
0
{\displaystyle M>0}
olyan, hogy
|
f
(
z
)
|
≤
M
{\displaystyle |f(z)|\leq M}
ha
|
z
−
a
|
=
r
{\displaystyle |z-a|=r}
! Ekkor
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
számokra:
|
a
n
|
=
|
1
2
π
r
n
∫
0
2
π
f
(
a
+
r
e
i
t
)
e
−
i
n
t
d
t
|
≤
1
2
π
r
n
∫
0
2
π
|
f
(
a
+
r
e
i
t
)
|
⏟
≤
M
d
t
≤
M
r
n
{\displaystyle |a_{n}|=\left|{\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(a+re^{\mathrm {i} t})e^{-\mathrm {i} nt}\,\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\underbrace {|f(a+re^{\mathrm {i} t})|} _{\leq M}\,\mathrm {d} t\leq {\frac {M}{r^{n}}}}
Ha
f
{\displaystyle f}
holomrf és korlátos a teljes
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
síkon, tehát
|
f
(
z
)
|
=
|
∑
n
=
0
∞
a
n
z
n
|
≤
M
{\displaystyle |f(z)|=|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}|\leq M}
minden
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
komplex számra, akkor minden
r
>
0
{\displaystyle r>0}
valós számra:
|
a
n
|
≤
M
r
n
{\displaystyle |a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}}
Mivel
r
{\displaystyle r}
tetszőleges, azért
a
n
=
0
{\displaystyle a_{n}=0}
minden
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
esetén. Így az
f
{\displaystyle f}
korlátos volta miatt:
f
(
z
)
=
a
0
{\displaystyle f(z)=a_{0}}
Ez azt jelenti, hogy korlátos egészfüggvény konstans, ami éppen a Liouville-tétel.
Körlapok direkt szorzatán
szerkesztés
A magasabb dimenziós analízisben használják a körlapok direkt szorzatát is, aminek neve az angol alapján polilemeznek, a német alapján policilindernek vagy polihengernek magyarítható.
Pontosabban, ha
Δ
(
z
,
r
)
=
{
w
∈
C
∣
|
z
−
w
|
<
r
}
{\displaystyle \Delta (z,r)=\{w\in \mathbb {C} \mid |z-w|<r\}}
nyílt körlap, akkor a
z
=
(
z
1
,
…
,
z
n
)
∈
C
n
{\displaystyle z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}}
középpontú policilinder, aminek multirádiusza
r
=
(
r
1
,
…
,
r
n
)
{\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{n})}
, megadható, mint
Δ
(
z
1
,
r
1
)
×
⋯
×
Δ
(
z
n
,
r
n
)
{\displaystyle \Delta (z_{1},r_{1})\times \dots \times \Delta (z_{n},r_{n})}
vagy ekvivalensen,
{
w
=
(
w
1
,
…
,
w
n
)
∈
C
n
∣
|
z
k
−
w
k
|
<
r
k
,
k
=
1
,
…
,
n
}
.
{\displaystyle \{w=(w_{1},\dots ,w_{n})\in \mathbb {C} ^{n}\mid |z_{k}-w_{k}|<r_{k},\,k=1,\dots ,n\}.}
A policilinder az egydimenziós körlap általánosítása, de
n
>
1
{\displaystyle n>1}
esetén nem biholomorf a gömbbel . Ezt Poincaré látta be 1907-ben, amikor megmutatta, hogy a két halmaz automorfizmus- és Lie-csoportjainak dimenziói különbözőek.
A Cauchy-integrálképlet általánosítható magasabb dimenzióra. Legyenek
U
1
,
…
,
U
n
{\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}
körlapok a komplex síkon,
U
:=
∏
i
=
1
n
U
i
{\displaystyle \textstyle U:=\prod _{i=1}^{n}U_{i}}
pedig a direkt szorzatuk. Legyen továbbá az
f
:
U
→
C
{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }
függvény holomorf, és
ξ
∈
U
{\displaystyle \xi \in U}
komplex pont! Ekkor az integrálképlet alakja:
f
(
z
1
,
…
,
z
n
)
=
1
(
2
π
i
)
n
∮
∂
U
n
⋯
∮
∂
U
1
f
(
ξ
1
,
…
,
ξ
n
)
(
ξ
1
−
z
1
)
⋯
(
ξ
n
−
z
n
)
d
ξ
1
⋯
d
ξ
n
{\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})\cdots (\xi _{n}-z_{n})}}\mathrm {d} \xi _{1}\cdots \mathrm {d} \xi _{n}}
A holomorf függvények deriváltjaira magasabb dimenzióban is teljesül, hogy
D
k
f
(
z
1
,
…
,
z
n
)
=
k
!
(
2
π
i
)
n
∮
∂
U
n
⋯
∮
∂
U
1
f
(
ξ
1
,
…
,
ξ
n
)
(
ξ
1
−
z
1
)
k
1
+
1
⋯
(
ξ
n
−
z
n
)
k
n
+
1
d
ξ
1
⋯
d
ξ
n
{\displaystyle D^{k}f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {k!}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\xi _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}d\xi _{1}\cdots d\xi _{n}}
illetve
|
D
k
f
(
z
)
|
≤
M
⋅
k
!
r
k
,
{\displaystyle \left|D^{k}f(z)\right|\leq {\frac {M\cdot k!}{r^{k}}},}
ahol
M
:=
max
ξ
∈
U
|
f
(
ξ
)
|
{\displaystyle \textstyle M:=\max _{\xi \in U}|f(\xi )|}
és
r
=
(
r
1
,
…
,
r
n
)
{\displaystyle r=(r_{1},\ldots ,r_{n})}
az
U
{\displaystyle \textstyle U}
policilinder sugara.[1] További általánosítás a Bochner-Martinelli-képlet .
Ennek bizonyítása nem végezhető el az egydimenziós esethez hasonlóan, mivel a Chauchy-integráltétel nem teljesül; viszont teljes indukció használható, amihez az egydimenziós eset szolgál kiindulópontként. A képlet multiindexekkel írható, mint
f
(
z
)
=
1
(
2
π
i
)
n
∮
∂
U
f
(
ξ
)
(
ξ
−
z
)
d
ξ
{\displaystyle f(z)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)}}\,\mathrm {d} \xi }
,
ahol
∂
U
=
∂
U
1
×
⋯
×
∂
U
n
{\displaystyle \partial U=\partial U_{1}\times \cdots \times \partial U_{n}}
.
Steven G Krantz: Function Theory of Several Complex Variables , American Mathematical Society, 2002, ISBN 0-8218-2724-3
Walter Rudin: Function theory in polydiscs , Benjamin, New York 1969
Kurt Endl, Wolfgang Luh : Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9 , S. 153, Satz 4.9.1.
Wolfgang Fischer, Ingo Lieb : Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1 , S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).
Ez a szócikk részben vagy egészben a Cauchysche Integralformel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Polyzylinder című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.