Egyenletes konvergencia

A matematikai analízisben az egyenletes konvergencia egy, a pontonkénti konvergenciánál erősebb konvergenciafajta. Függvények egy {fn} sorozata egyenletesen tart az f határfüggvényhez, ha fn(x) konvergenciasebessége nem függ x-től.

A fogalom azért fontos, mert megőrzi az fn függvények egyes tulajdonságait, például a folytonosságot és a Riemann-integrálhatóságot, míg a pontonkénti konvergencia ezt nem teszi meg.

DefinícióSzerkesztés

Legyen   halmaz, és   függvény minden n-re. Azt mondjuk, hogy az   sorozat egyenletesen tart az   függvényhez, ha minden  -hoz van egy   természetes szám, hogy minden   helyre és minden   sorszámra  .

Tekintsük az   sorozatot, ahol a szuprémum az összes  -re megy. Ekkor   egyenletesen tart  -hez, ha   tart nullához.

Az   sorozat lokálisan egyenletesen konvergens, és tart  -hez, ha egy   metrikus tér minden   eleméhez létezik  , hogy   egyenletesen konvergens  -ben.

MegjegyzésSzerkesztés

Megjegyzendő, hogy a definícióban a „létezik olyan N” és a „minden x” nem felcserélhető. Ennek felcserélésével a pontonkénti konvergenciához jutunk vissza. Ez a következőképpen definiálható: (fn) pontonként konvergens, és határfüggvénye f : SR, ha minden xS-re és minden ε > 0-ra van egy N szám, hogy minden nN-re fn(x) − f(x)| < ε. Itt az x-re és az ε-ra vonatkozó kvantorok sorrendje közömbös, csak az N-re vonatkozó és az x-re vonatkozó sorrendje nem mindegy.

Egyenletes konvergencia esetén az N csak ε-tól függhet, míg pontonkénti konvergencia esetén x-től is. Emiatt nyilvánvaló, hogy az egyenletes konvergenciából következik a pontonkénti. Fordítva ez nem igaz. Legyen S a [0,1] intervallum, és legyen fn(x) = xn minden n természetes számra. Ekkor az (fn) sorozat pontonként tart f-hez, ahol f(x) = 0, ha x < 1, és f(1) = 1. Ez nem egyenletes konvergencia; ugyanis például ε = 1/4-hez nincs a definícióban megkövetelt N. Ugyanis n-re megoldva n > log ε / log x. Ez függ x-től, és ε-tól is, tehát nem lehet olyan N, ami nem függ x-től.

TulajdonságokSzerkesztés

  • Minden egyenletesen konvergens sorozat lokálisan egyenletesen konvergens is.
  • Minden lokálisan egyenletesen konvergens sorozat kompakt módon konvergens.
  • Lokálisan kompakt terekben a kompakt módon konvergens sorozatok lokálisan egyenletesen konvergensek.
  • Metrikus tereken folytonos függvények sorozatára, ha a képtér, mint metrikus tér teljes, akkor és csak akkor egyenletesen konvergens, ha egyenletesen Cauchy.
  • Ha S kompakt, és   folytonos függvények monoton növő sorozata (  minden n-re), és pontonkénti határfüggvénye   szintén folytonos, akkor Dini tétele miatt egyenletesen konvergens.
  • Ha   kompakt intervallum, és   egyenletesen folytonos sorozat, ami pontonként konvergens, akkor az egyenletesen is konvergens.

PéldákSzerkesztés

Tekintsük egy X topologikus tér valós vagy komplex értékű korlátos függvényeit a szuprémum normával. Ekkor az egyenletes konvergencia megegyezik a pontonkénti konvergenciával.

Az     sorozat pontonként konvergens, de nem egyenletesen konvergens:

 

Ebből látható, hogy a pontonkénti konvergencia nem őrzi meg a differenciálhatóságot, de még a folytonosságot sem. Míg a sorozat minden eleme akárhányszor differenciálható, határfüggvénye még csak nem is folytonos.

Az exponenciális függvény sorfejtése a Weierstass-féle M-teszttel megmutathatóan egyenletesen konvergens   minden korlátos részhalmazán.

A sor:

 

A korlátos részhalmazok lefedhetők egy origó közepű körlappal, aminek sugarát jelölje R. A Weierstrass-féle M-teszthez találni kell egy   felső korlátot a sor termjeire, ami nem függ a helytől.

 

De ez triviális:

 
 

Ha   konvergens, akkor az eredeti sorozat egyenletesen konvergens.

A hányadoskritériumot alkalmazva:

 

ami azt jelenti, hogy az   sorozat konvergens. Így az eredeti sorozat minden  -re egyenletesen konvergens, és mivel  , S-en is egyenletesen konvergens.

AlkalmazásokSzerkesztés

FolytonosságSzerkesztés

 
Ellenpélda a konvergenciatétel erősítésére, ami megelégedne a pontonkénti konvergenciával. A folytonos zöld   függvények a nem folytonos piros függvényhez tartanak. Ez azért lehet, mert a konvergencia nem egyenletes

Ha   intervallum, vagy topologikus tér, akkor beszélhetünk   és   folytonosságáról. Az egyenletes konvergencia tétele azt állítja, hogy ha az   sorozat tagjai folytonos függvények az   intervallumon, és egyenletesen konvergálnak  -hez  -n, akkor   folytonos  -n.

A tétel bizonyítása az   fogásán alapul. Az   egyenlőtlenséghez a folytonosság és az egyenletes konvergencia definíciójából három egyenlőtlenséget vezet be, és a háromszög-egyenlőtlenség alapján kombinálja őket. Ez eredményezi a kívánt egyenlőtlenséget  -ra.

Ez a tétel azért fontos, mivel a pontonkénti konvergencia nem biztosítja a határfüggvény folytonosságát.

Pontosabban, a tétel arról szól, hogy az egyenletesen folytonos függvények egyenletes határfüggvénye egyenletesen folytonos. Lokálisan kompakt térben a folytonosság ekvivalens a lokális egyenletes folytonossággal, így a folytonos függvények egyenletes határfüggvénye folytonos.

DifferenciálhatóságSzerkesztés

Ha   intervallum, és az   függvények mind differenciálhatók, és tartanak az   függvényhez, gyakran kívánatos, hogy az   függvények deriváltjai tartsanak   deriváltjához. Ez általában nem teljesül, még egyenletes konvergencia esetén sem. Még ez sem biztosítja, hogy a határfüggvény differenciálható legyen, és ha differenciálható is, akkor sem biztos, hogy teljesül rá a fent megkívánt tulajdonság.

Legyen például  . Ez tart az azonosan nullához, de ez nem teljesül a deriváltjaira. Ehhez a deriváltaknak kell egyenletesen konvergálniuk, plusz az eredeti függvényeknek legalább egy pontban konvergálniuk. Maga az állítás így szól:[1]

Tegyük fel, hogy   függvények sorozata, ezek mindegyike differenciálható  -n, és hogy egy   pontban   konvergens. Ha   egyenletesen konvergens ezen az  -n, akkor   egyenletesen konvergál egy   függvényhez, és   minden  -re.

IntegrálhatóságSzerkesztés

Hasonlóan kívánatos tulajdonság, hogy az integrálható függvényekből álló függvénysorozat integráljai is a függvénysorozat határfüggvényének integráljához tartsanak. A Riemann-integrálra az egyenletes konvergencia teljesíti ezt:

Ha   Riemann-integrálható függvények egy sorozata az I kompakt intervallumon, ami egyenletesen tart az f határfüggvényhez, akkor f Riemann-integrálható, és Riemann-integrálja

 

Valójában ugyanez az alsó és a felső integrálra is teljesül. Ez azért következik, mert ha n elég nagy, akkor   grafikonja f grafikonjától ε távolságon belül fut, így   alsó és felső közelítő összegei   távolságon belül vannak f alsó és felső közelítő összegeitől.

A Riemann-integrál helyett a Lebesgue-integrálra elég pontonkénti konvergenciát feltenni.

AnalitikusságSzerkesztés

Ha a komplex sík egy S tartományában analitikus függvények egyenletesen konvergens, akkor határfüggvényük is analitikus S-ben. EZ is azt bizonyítja, hogy a komplex függvények jobban viselkednek, mint a valósak, mivel valós analitikus függvények egy egyenletesen sorozatának határfüggvényének még csak differenciálhatónak sem kell lennie.

SorokSzerkesztés

Azt mondjuk, hogy   konvergenciája:

  1. pontonkénti E-n, ha sn pontinként konvergál, ahol sn(x) az n-edik részösszeg
  2. egyenletes E-n, ha sn(x) egyenletesen konvergens
  3. abszolút, ha   minden x-re konvergál E-ben

Ezzel a definícióval a következő eredményre juthatunk:

Tétel: Legyen x0 pont E-ben, és legyen minden fn folytonos x0-ban. Ha f =   egyenletesen konvergál E-n, akkor f folytonos x0-ban.

Tegyük fel, hogy E = [a, b], és   egyenletesen konvergens E-n. Ekkor f integrálható E-n, és fn integráljának sora az fn sorának integráljával. Ez a tagonkénti integrálás elve.

Majdnem egyenletes konvergenciaSzerkesztés

Ha a függvények egy mértéktéren vannak értelmezve, akkor egy hasonló fogalom értelmezhető. Azt mondjuk, hogy az   függvények egy sorozata majdnem egyenletesen konvergens E-n, ha minden   számhoz van   mérhető halmaz, aminek mérete kisebb, mint  , hogy az   függvények egyenletesen konvergensek  -on. Más szavakkal, a majdnem egyenletes konvergencia azt jelenti, hogy egy akármilyen kicsi halmaz kivételével a konvergencia egyenletes.

Meg kell azt jegyezni, hogy a majdnem egyenletes konvergencia nem ugyanaz, mint a majdnem mindenütt való egyenletes konvergencia.

Egorov tétele szerint, ha függvények egy sorozata egy véges mértéktéren pontonként majdnem mindenütt konvergens, ugyanitt majdnem egyenletesen is konvergens.

A majdnem egyenletes konvergenciából következik a majdnem mindenütt konvergencia és a mérték szerinti konvergencia.

ÁltalánosításokSzerkesztés

A definíció közvetlenül kiterjeszthető SM függvényekre is, ahol (M, d) metrikus tér. Itt |fn(x) − f(x)| helyettesíthető d(fn(x), f(x))-szel.

A legáltalánosabb kiterjesztés függvények hálójára vonatkozik, amely függvények uniform térbe képeznek.

A definíció egyszerűsíthető hiperreális környezetben. Ekkor egy   sorozat egyenletesen konvergens az f* tartományon, és határfüggvénye f, ha minden x-re és minden végtelen n-re   végtelenül közel van  -hoz.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis Third edition. 1976. McGraw-Hill International editions.

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben az Uniform convergence című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.