Pontonkénti konvergencia
A matematikában a pontonkénti konvergencia az egyik mód, ahogyan függvénysorozat egy határfüggvényhez konvergálhat.
Legyen { fn } függvények egy sorozata, amelyeknek értelmezési tartománya megegyezik. Azt mondjuk, hogy az { fn } sorozat pontonként tart f-hez, ha
a tartomány minden x pontjában.
Ezt a konvergenciafajtát gyakran
jelöli. Gyakran rövidítik is a pointwise szót, a rövidítés pw; és gyakran a nyílra írják.
Tulajdonságai
szerkesztésA fogalmat gyakran szembeállítják az egyenletes konvergenciával, amit gyakran a nyílra írt e betű jelöl. Az egyenletes konvergencia erősebb, mint a pontonkénti, mert az egyenletes konvergenciából következik a pontonkénti, de a pontonkénti konvergenciából nem következik az egyenletes. Például
Folytonos sorozatok pontonkénti határfüggvénye lehet nem folytonos:
értéke 1, ha x egész, és 0, ha nem egész, így minden egész helyen szakadása van.
A pontonkénti konvergencia nemcsak valós, vagy komplex értékű függvényekre értelmezhető, hanem a függvények topologikus terek pontjaira is képezhetnek. Az egyenletes konvergencia azonban nem értelmezhető minden topologikus térbe képező függvénysorozatra, hanem metrikus, vagy általánosabban uniform terek kellenek hozzá.
Topológia
szerkesztésA pontonkénti konvergencia ugyanaz, mint a konvergencia az YX szorzattopológiában, ahol X az értelmezési tartomány, Y pedig a függvények értékkészleteit tartalmazó tartomány. Ha Y kompakt, akkor Tyihinov tétele miatt YX is kompakt.
Konvergencia majdnem mindenütt
szerkesztésA mértékelméletben szó esik majdnem mindenütt való konvergenciáról, ha a függvénysorozat tagjai mérhető halmazon definiált mérhető függvények. Ez pontonkénti konvergenciát jelent majdnem mindenütt. Egorov tétele szerint a majdnem mindenütt való konvergencia egy véges mértékű halmazon egy kisebb halmazon való egyenletes konvergenciát von maga után.
Források
szerkesztés- Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill (1976). ISBN 0-07-054235-X
- Munkres, James R.. Topology, 2nd, Prentice Hall (2000). ISBN 0-13-181629-2
Fordítás
szerkesztés- Ez a szócikk részben vagy egészben a Pointwise convergence című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.