Lánc (komplex analízis)

A komplex analízisben és az algebrai topológiában a lánc és a ciklus matematikai objektumok; a lánc a görbe, a ciklus a zárt görbe általánosítása. A komplex analízisben főként integrációhoz használják.

Az algebrai topológiában a lánc és a ciklus a homológiaelmélet speciális esetei. Ezt kiemelendő használják az 1-lánc és az 1-ciklus elnevezéseket is,[1] mivel itt további általánosításokat is tekintenek, így szó esik p-láncról és p-ciklusról.[2]

DefiníciókSzerkesztés

LáncSzerkesztés

Egy  -beli lánc, illetve egy   Riemann-felületen levő lánc formálisan értelmezve görbék egész számokkal vett lineáris kombinációja:

 

ahol minden   folytonos görbe. Az   halmaz láncai Abel-csoportot alkotnak az összefűzésre, ez a   csoport.

Integrálás lánconSzerkesztés

Legyen   zárt komplex (1,0)-differenciálforma, ekkor a   láncon vett integrál nem más, mint

 

Ha   éppen a komplex számsík, akkor az integrál a differenciálformák nélkül is értelmezhető. Ekkor ugyanis   alakban írható, ahol   differenciálható függvény. Ezzel a definíció az

 .

alakot ölti.

CiklusSzerkesztés

A ciklus egy olyan lánc, amiben minden   komplex szám multiplicitással ugyanannyiszor kezdő- mint végpont.

A definíció felírható a   divizorcsoporttal. Legyen :  egy leképezés! Egy   görbe esetén helyettesíthetünk úgy, hogy   legyen, ha  . Különben   divizor, ami  -ben a +1,  -ban a -1 értéket veszi fel, különben nulla. Egy   lánc esetén   definíció szerint  . A   leképezés magja

 

éppen a ciklusok csoportja.

Körülfordulási számSzerkesztés

A lánc nyoma az egyes görbék képeinek uniója. Azaz,

 .

Ha  , akkor   ciklus  -ben pontosan akkor, ha  .

A körülfordulási számot a zárt görbéhez hasonlóan definiáljuk, de a nyomot használjuk, azaz

 .

A ciklus belseje azoknak a pontoknak a halmaza, ahol a körülfordulási szám nem nulla:

 

Külseje pedig azokat a pontokat tartalmazza, ahol a körülfordulási szám eltűnik:

 

Egy ciklus nullhomológ  -ben, ha belseje része  -nek:   Ez pontosan akkor teljesül, ha az összes   pont körülfordulási száma nulla.

Két ciklus,  ,   homológ  -ben, ha formális különbségük,   nullhomológ  -ben.

IntegráltételekSzerkesztés

A láncok és ciklusok jelentőségét a komplex analízisben a görbe menti integrál általánosítása adja. A ciklusokra is bizonyítható a reziduumtétel, a Cauchy-féle integráltétel és a Cauchy-integrálképlet.

A Stokes-tétel is igazolható. Legyen   lánc  -ben, legyen   minden   görbéje sima, továbbá legyen   is sima. Ekkor a Stokes-tétel szerint

 ,

ahol   az egy-ciklus szeletének lezárásoperátora, és   a derivált.

A második integrál írható

 

alakban is. Ha   sima görbékből álló ciklus, akkor a tétel egyszerűsíthető:

 ,

mivel ekkor az   összeg lenullázódik.

A homológiaelméletbenSzerkesztés

A lánc és a ciklus topológiai objektum is. Az algebrai topológiában p-láncok komplexusait vizsgálják, és ezekből homológiacsoportokat képeznek. Ezek topológiai invariánsok. Különösen fontos a szinguláris homológiacsoportok homológiaelmélete.

A homológiaelméletben a cikkben definiált lánc a szinguláris komplexus 1-lánca, ami egy bizonyos lánckomplexus. A ciklus szakaszban definiált   operátor a szinguláris komplexus peremoperátora, és a divizorok csoportja emiatt a nulla-láncok csoportjával izomorf. A ciklusok csoportja, mint az   peremoperátor magja 1-ciklus a lánckomplexus értelmében.

A peremoperátor magva mellett tekinthetjük az operátor képét is, és ebből a két halmazból homológiacsoport konstruálható. Szinguláris komplexus esetén szinguláris homológiát kapunk. Ebben a kontextusban a nullhomológ lánc és a homológ lánc is absztraktabbá válik.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Otto Forster: Riemannsche Flächen, Springer 1977, englisch Lectures on Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-90617-7, Kapitel 20
  2. Wolfgang Lück: Algebraische Topologie : Homologie und Mannigfaltigkeiten. (németül) (hely nélkül): Vieweg. 2005.  

ForrásokSzerkesztés

  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb. Funktionentheorie, 8., Braunschweig: Vieweg (2003). ISBN 3-528-77247-6 
  • Otto Forster: Riemannsche Flächen, Springer 1977, englisch Lectures on Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-90617-7, Kapitel 20

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zyklus (Funktionentheorie) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.