Picard-tétel

A komplex analízisben Picard kis és nagy tétele két, egymáshoz kapcsolódó tétel, amelyek az analitikus függvények értékkészletét jellemzik. Émile Picard után nevezték el őket.

Állítások

Az exp(¹⁄_z) függvény ábrázolása, középpontban a lényeges szingularitás z = 0. A színárnyalat az exp(¹⁄_z) argumentumát, a fényesség az abszolútértéket jelenti. Látható, hogy a függvény a szingularitáshoz akármilyen közel minden nullától különböző értéket felvesz

A kis Picard-tétel:

Ha f : C → C egészfüggvény, és nem konstans, akkor az értékkészlete teljes C, vagy C , kivéve egyetlen komplex számot.

Ez a tétel Liouville tételének lényeges erősítése, ami csak annyit állít, hogy a képhalmaz nem lehet korlátos. Ezt a tételt később többféleképpen is belátták, és Schottky tétele ennek egy kvantitatív változata.

A nagy Picard-tétel:

Ha f analitikus, és egy w helyen lényeges szingularitása van, akkor w bármely pontozott környezetében minden értéket legfeljebb egyetlen kivétellel végtelenszer sokszor felvesz.

Ez a Casorati–Weierstrass-tétel lényegi erősítése, ami csak annyit állít, hogy az értékkészlet sűrű a komplex síkon. Ebből következik, hogy nem polinom egészfüggvény minden értéket legfeljebb egy kivétellel végtelenszer sokszor felvesz.

Megjegyzések

• A legfeljebb egyetlen pont kivételével kitétel szükséges. Például az $z\mapsto e^{z}$ függvény nem veszi fel a nullát értékként. Az $z\mapsto e^{1/z}$ függvénynek lényeges szingularitása van nullában, de szintén nem veszi fel a nullát.
• A kis tétel azonnal következik a nagyból, mert nem polinom egészfüggvénynek lényeges a szingularitása $\infty$-ben.
• B. Elsner egyik sejtése kapcsolódik a nagy Picard-tételhez. Legyen ${\dot {\mathbb {E} }}=\mathbb {E} \setminus \{0\}$ a pontozott nyílt körlap, és $U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}$ ${\dot {\mathbb {E} }}$ véges nyílt fedése. Adva legyen minden $U_{j}$-n egy $f_{j}$ injektív holomorf függvény úgy, hogy $\mathrm {d} f_{j}=\mathrm {d} f_{k}$ minden $U_{j}\cap U_{k}$ metszethalmazon. Ekkor a differenciálok meromorf 1-formává olvadnak össze $\mathbb {E}$-n. Ha a reziduum nulla, akkor ez közvetlenül adódik a nagyobb tételből.

A kis Picard-tétel bizonyítása

A j-függvénnyel az állítás röviden belátható. Feltesszük, hogy $f$ egész, és kihagyja az $a\not =b$ értékeket. Ekkor a

$g(z)={\frac {f(z)-a}{b-a}}$

függvény egész, és kihagyja a 0 és 1 értékeket. A j-függvény a racionális számokkal és a végtelennel kiegészített felső félsíkot ($\mathbb {H} \cup \mathbb {Q} \cup \{\infty \}$ halmaz) egy Riemann-felületre képez, aminek végtelen sok levele és elágazása van a $0,1$ és $\infty$ pontokban. Ekkor a $j^{-1}$ inverz függvény ezt a Riemann-felületet a standard fundamenbtális tartomány ${\mathcal {F}}$ lezártjátra képezi. Mivel $j'(\tau )\not =0$ minden $\rho \not =\tau \not =i$ esetén, továbbá $j'(i)=j'(\rho )=0$, és $j(i)=0$, $j(\rho )=1$ illetve $j(\infty )=\infty$, $j^{-1}$ lokálisan analitikus minden komplex értékre 0 és 1 kivételével. Következik, hogy

$h(z)=j^{-1}(g(z))$

mindenütt lokálisan analitikus, ugyanis $g$ éppen a 0 és 1 értékeket hagyja ki. Ekkor $h$ kiterjeszthető egészfüggvénnyé, amire $|e^{ih(z)}|<1$ teljesül minden $z\in \mathbb {C}$ esetén, hiszen $\mathrm {Im} \,h(z)>0$. A Liouville-tétel miatt $h$ konstans, tehát $f$ is konstans.

Általánosítása

A nagy Picard-tétel általánosítható meromorf esetre:

Legyen M Riemann-felület, w az M pontja, P¹(C) = C ∪ {∞} a Riemann-gömb, továbbá f : M\{w} → P¹(C) holomorf függvény, aminek lényeges a szingularitása w-ben. Ekkor M minden w-t tartalmazó nyílt részhalmazán f(z) legfeljebb két kivétellel P¹(C) minden pontját végtelenszer felveszi értékként.

Például az f(z) = 1/(1 − e^1/z) függvénynek lényeges a szingularitása z = 0-ban, és 0 minden környezetében megközelíti a ∞-t, de a nullát és az egyet kihagyja.

Források

• Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965.
• Conway, John B.. Functions of One Complex Variable I, 2nd, Springer (1978). ISBN 0-387-90328-3 
• Shurman, Jerry: Sketch of Picard's Theorem. (Hozzáférés: 2010. május 18.)

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Satz von Picard című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Picard theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.