A komplex analízisben Picard kis és nagy tétele két, egymáshoz kapcsolódó tétel, amelyek az analitikus függvények értékkészletét jellemzik. Émile Picard után nevezték el őket.

ÁllításokSzerkesztés

 
Az exp(1z) függvény ábrázolása, középpontban a lényeges szingularitás z = 0. A színárnyalat az exp(1z) argumentumát, a fényesség az abszolútértéket jelenti. Látható, hogy a függvény a szingularitáshoz akármilyen közel minden nullától különböző értéket felvesz

A kis Picard-tétel:

Ha f : CC egészfüggvény, és nem konstans, akkor az értékkészlete teljes C, vagy C , kivéve egyetlen komplex számot.[1]

Ez a tétel Liouville tételének lényeges erősítése, ami csak annyit állít, hogy a képhalmaz nem lehet korlátos. Ezt a tételt később többféleképpen is belátták, és Schottky tétele ennek egy kvantitatív változata.

A nagy Picard-tétel:

Ha f analitikus, és egy w helyen lényeges szingularitása van, akkor w bármely pontozott környezetében minden értéket legfeljebb egyetlen kivétellel végtelenszer sokszor felvesz.[1]

Ez a Casorati–Weierstrass-tétel lényegi erősítése, ami csak annyit állít, hogy az értékkészlet sűrű a komplex síkon. Ebből következik, hogy nem polinom egészfüggvény minden értéket legfeljebb egy kivétellel végtelenszer sokszor felvesz.

MegjegyzésekSzerkesztés

  • A legfeljebb egyetlen pont kivételével kitétel szükséges. Például az   függvény nem veszi fel a nullát értékként. Az   függvénynek lényeges szingularitása van nullában, de szintén nem veszi fel a nullát.
  • A kis tétel azonnal következik a nagyból, mert nem polinom egészfüggvénynek lényeges a szingularitása  -ben.
  • B. Elsner egyik sejtése kapcsolódik a nagy Picard-tételhez.[2] Legyen   a pontozott nyílt körlap, és     véges nyílt fedése. Adva legyen minden  -n egy   injektív holomorf függvény úgy, hogy   minden   metszethalmazon. Ekkor a differenciálok meromorf 1-formává olvadnak össze  -n. Ha a reziduum nulla, akkor ez közvetlenül adódik a nagyobb tételből.

A kis Picard-tétel bizonyításaSzerkesztés

A j-függvénnyel az állítás röviden belátható. Feltesszük, hogy   egész, és kihagyja az   értékeket. Ekkor a

 

függvény egész, és kihagyja a 0 és 1 értékeket. A j-függvény a racionális számokkal és a végtelennel kiegészített felső félsíkot (  halmaz) egy Riemann-felületre képez, aminek végtelen sok levele és elágazása van a   és   pontokban. Ekkor a   inverz függvény ezt a Riemann-felületet a standard fundamenbtális tartomány   lezártjátra képezi. Mivel   minden   esetén, továbbá  , és  ,   illetve  ,   lokálisan analitikus minden komplex értékre 0 és 1 kivételével. Következik, hogy

 

mindenütt lokálisan analitikus, ugyanis   éppen a 0 és 1 értékeket hagyja ki. Ekkor   kiterjeszthető egészfüggvénnyé, amire   teljesül minden   esetén, hiszen  . A Liouville-tétel miatt   konstans, tehát   is konstans.

ÁltalánosításaSzerkesztés

A nagy Picard-tétel általánosítható meromorf esetre:

Legyen M Riemann-felület, w az M pontja, P1(C) = C ∪ {∞} a Riemann-gömb, továbbá f : M\{w} → P1(C) holomorf függvény, aminek lényeges a szingularitása w-ben. Ekkor M minden w-t tartalmazó nyílt részhalmazán f(z) legfeljebb két kivétellel P1(C) minden pontját végtelenszer felveszi értékként.

Például az f(z) = 1/(1 − e1/z) függvénynek lényeges a szingularitása z = 0-ban, és 0 minden környezetében megközelíti a ∞-t, de a nullát és az egyet kihagyja.

JegyzetekSzerkesztés

  1. a b Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965, S. 490.
  2. Bernhard Elsner: Hyperelliptic action integral. (angolul) 1999. 303–331. o. = Annales de l’institut Fourier, 49. Hozzáférés: 2018. márc. 8. PDF, ISSN 1777-5310, doi:10.5802/aif.1675  

ForrásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Satz von Picard című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Picard theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.