Disztribúció (matematika)

A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer differenciálható függvények terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:

  1. Van része , supp , supp része
  2. Tetszőleges indexvektor esetén egyenletesen -n.

Azért vezetik be őket, hogy egy nagyobb függvényosztályon kereshessék a parciális differenciálegyenletek megoldását.

PéldákSzerkesztés

  1. Legyen az   függvény értelmezve az   halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán. Legyen   az a funkcionál, ami a   függvényhez az     értéket rendeli. Ekkor   disztribúció. Az ilyen alakban előálló disztribúciókat reguláris disztribúcióknak nevezik.
  2. A Dirac-féle delta disztribúciót így értelmezik: Legyen   Rendelje a   funkcionál a   függvényhez a   helyettesítési értéket. Ekkor   nem reguláris disztribúció.
  3. Legyen az   függvény értelmezve az   halmazon, és integrálható annak minden kompakt részhalmazán, és legyen   rögzített indexvektor. Értelmezzük a következő funkcionált: rendelje a   függvényhez az   értéket.

Tétel: A reguláris disztribúció   majdnem mindenütt egyértelműen meghatározza az   függvényt.

MűveletekSzerkesztés

Összeadás:   disztribúció  -n; ekkor  

Számmal szorzás:  

Ezekkel a műveletekkel a disztribúciók vektorteret alkotnak. Jelölés:  

Konvergencia: legyenek   disztribúciók; ekkor   ha minden rögzített  -re  

Függvénnyel szorzás: legyen  ; ekkor  

  lokálisan, ha minden   elemhez van   nyílt környezete, ahol  

Tétel: ha két disztribúció lokálisan egyenlő, akkor globálisan is egyenlők. Azaz, ha van egy nem üres nyílt halmaz, ahol egyenlőek, akkor mindenütt egyenlőek.

Deriválás:   disztribúció;  

Direkt szorzat:   disztribúciók;   tulajdonságai: (betű szemlélettel) kommutatív, asszociatív, disztributív és lineáris

Konvolúció: tekintsük a következő konvergenciát: def  * értelemben → azonosan 1-hez, ha

1. minden   esetén   egyenletesen   minden rögzített kompakt részhalmazban

2. minden   indexvektorhoz van     minden   minden  -re. Definíció:  

A konvolúció nem mindig létezik.

ForrásokSzerkesztés

Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek