Derivált

A matematikában a derivált (vagy differenciálhányados) a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintője milyen meredek. Ez a geometriai jellegű fogalom szoros kapcsolatban van a függvény növekedésének elemzésével, a függvényvizsgálattal. A deriváltból következtethetünk a függvény

• menetére (azaz, hogy monoton növekvő vagy monoton fogyó-e),
• szélsőértékeire (lehet-e az adott pontban maximuma vagy minimuma),
• grafikonjának görbületére (konvex vagy konkáv-e a függvénygörbe)
• a növekedés mértékére (gyorsan változik-e a függvény vagy lassan)
• a függvény közelítő értékére, lineárissal történő közelíthetőségére.

A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő x tengellyel bezárt szögének tangense. Minél jobban nő a függvény egy adott szakaszon, annál nagyobb a derivált.

A derivált fogalma a 16. és a 17. században fejlődött ki, geometriai és mechanikai problémák megoldása során. Azóta a differenciálszámítás a matematika nagyon jól feldolgozott témaköre, alkalmazása számos tudományban nélkülözhetetlen. Szigorú matematikai fogalomként csak a függvények differenciálhatóságának fogalmával együtt tárgyalható, de szemléletes tartalma enélkül is megérthető.

Pontos definíció és jelölések

Legyen f egyváltozós valós függvény, x₀ az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény x₀-beli deriváltján vagy differenciálhányadosán a

$\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

határértéket értjük, ha ez létezik és véges (azaz valós szám).

Mivel a határérték egyértelmű, ha egyáltalán létezik, ugyanígy a derivált is egyértelmű. A fenti határérték, azaz a derivált jele:

$f'(x_{0})\,$, vagy ${\frac {df(x_{0})}{dx}}$, vagy $\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{x=x_{0}}$

Az első a Lagrange-féle jelölés, ő használta először a „derivált” kifejezést. A második a Leibniz-féle, ő differenciálhányadosnak nevezte (később Hamilton differenciálkoefficiensként említi). Newton a deriváltat ponttal jelölte: $\scriptstyle {\dot {v}}$ és fluxiónak nevezte.

Rögzített x esetén az

${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

hányadost differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak szokás nevezni. Ezután a derivált definiálható úgy is, mint a különbségi hányados $x\to x_{0}$ melletti határértéke.

A jobb oldali derivált akkor létezik, ha a $\lim \limits _{x\to x_{0}+0}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{h\to 0+0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$ határérték létezik és véges.

A bal oldali derivált akkor létezik, ha a $\lim \limits _{x\to x_{0}-0}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{h\to 0-0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$ határérték létezik és véges.

Magyarázat

Az x pontbeli differenciálhányados a fenti definícióval ekvivalens módon felírható a következőképpen is:

$\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ illetve $\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

h-t, illetve Δx-et a független változó növekményének, míg f(x+h) – f(x)-et, illetve f(x+Δx) – f(x) -et a függvény vagy a függő változó növekményének nevezzük. Ez az írásmód a következő szemléletes értelmezésekkel kapcsolatos.

Mechanikai értelmezés

A vizsgált függvényt egy mozgó test s(t) út-idő összefüggésének tekintve, t időpontra és Δt időtartamra a következőképp írható fel a különbségi hányados:

${\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}\,$

A számlálóban a megtett út, a nevezőben az út megtételéhez szükséges idő áll, így a hányados a test [t, t + Δt] időintervallumban számított átlagsebességét adja. Ha „egyre kisebb” Δt időtartamokra számoljuk ki ezt a hányadost, például 0,01, 0,001, … másodpercre (a lényeg, hogy 0-hoz tartunk), akkor a hányados értéke egyre kevésbé változik, és egyre inkább csak a t időpontra jellemző sebességadatot, a pillanatnyi sebességet adja:

$v(t)=\lim \limits _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}\,={\dot {s}}(t)$

Az $\scriptstyle {{\dot {s}}(t)}$ pontozott jelölést Newton óta a t változótól függő függvények deriváltjának jelölésére alkalmazzák.

Newton a differenciálszámítást a mechanika alaptörvényeinek felállítására alkalmazta, így ebben a tudományban nagyon sok fogalom feltételezi a deriválás eszközét.

Geometriai értelmezés

Legyen $f$ egyváltozós valós differenciálható függvény, $x$ és $x_{0}$ egy-egy szám az értelmezési tartományból. A képüket jelölje $f(x)=y$ és $f(x_{0})=y_{0}$. Ekkor a koordinátasíkon az $(x;y)$ és $(x_{0};y_{0})$ pontokat összekötő egyenes a függvénygrafikon egy szelője. A szelő meredeksége éppen az ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ differenciahányados. Ha $x$ tart $x_{0}$-hoz, a szelők az érintőhöz, a differenciahányados pedig az $x_{0}$ -beli differenciálhányadoshoz tart. Tehát a függvény $x_{0}$-beli differenciálhányadosa a függvénygrafikon $x_{0}$-beli érintőjének meredekségét adja meg.

Kiszámítása

Egyszerűbb, például algebrai függvények esetén a deriváltat a függvény értelmezési tartományának minden pontjában „egyszerre” (azaz függvényként), nehézség nélkül megadhatjuk. Például legyen a deriválandó függvény:

$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ;x\mapsto x^{3}$

A különbségi hányados tetszőleges x pontban és tetszőleges Δx-re:

${\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{3}-x^{3}}{\Delta x}}=$

$={\frac {(x^{3}+3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3})-x^{3}}{\Delta x}}=$

$={\frac {3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}}{\Delta x}}$

Vagyis a derivált:

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}}{\Delta x}}$

A határérték-számítás miatt Δx ≠ 0, ezért lehet vele egyszerűsíteni:

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}(3x^{2}+3x\cdot \Delta x+(\Delta x)^{2})$

A kifejezés Δx-re másodfokú. A polinomfüggvények folytonosságát felhasználva a határérték egyszerűen a Δx=0 behelyettesítéssel számolható.

Fontos, hogy magát a különbségi hányadost nem kell kiértékelnünk Δx=0 esetben, hiszen határérték-számítást végzünk, viszont a folytonosság miatt a már egyszerűsített kifejezésbe beírhatjuk Δx helyére a 0-t:

$f'(x)=3x^{2}+3x\cdot 0+0^{2}\,$

$f'(x)=3x^{2}\,$

Elemi függvények deriváltjai

Függvény neve	jele	deriváltja
konstans	$c\,$	$0\,$
konstans szorzó	$c\cdot x\,$	$c\,$
konstans alap, függvény kitevő	$a^{x}\,$	$a^{x}\cdot ln|a|$
hatvány	$x^{c}\,$	$c\cdot x^{c-1}\,$
exponenciális (e az Euler-féle szám)	$e^{x}\,$	$e^{x}\,$
természetes logaritmus	$\operatorname {ln} \,x$	${\frac {1}{x}}\,$
logaritmus (a pozitív és nem 1)	$\log _{a}x\,$	${\frac {1}{x\,\operatorname {ln} \,a}}={\frac {\log _{a}e}{x}}$
Trigonometrikus függvények
szinusz	$\sin x\,$	$\cos x\,$
koszinusz	$\cos x\,$	$-\sin x\,$
tangens	$\operatorname {tg} \,x$	${\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\operatorname {tg} ^{2}x$
kotangens	$\operatorname {ctg} \,x$	$-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\operatorname {ctg} ^{2}x$
Hiperbolikus függvények
hiperbolikus szinusz	$\operatorname {sh} \,x$	$\operatorname {ch} \,x$
hiperbolikus koszinusz	$\operatorname {ch} \,x$	$\operatorname {sh} \,x$
hiperbolikus tangens	$\operatorname {th} \,x$	${\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}=1-\operatorname {th} ^{2}x$
hiperbolikus kotangens	$\operatorname {cth} \,x$	$-{\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}=1-\operatorname {cth} ^{2}x$
Inverz trigonometrikus függvények
arkusz szinusz	$\operatorname {arcsin} \,x$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
arkusz koszinusz	$\operatorname {arccos} \,x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
arkusz tangens	$\operatorname {arctg} \,x$	${\frac {1}{1+x^{2}}}$
arkusz kotangens	$\operatorname {arcctg} \,x$	$-{\frac {1}{1+x^{2}}}$
Inverz hiperbolikus függvények
area hiperbolikus szinusz	$\operatorname {arsh} \,x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$
area hiperbolikus koszinusz	$\operatorname {arch} \,x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
area hiperbolikus tangens	$\operatorname {arth} \,x$	${\frac {1}{1-x^{2}}}$
area hiperbolikus kotangens	$\operatorname {arcth} \,x$	${\frac {1}{1-x^{2}}}$

Műveletek deriváltjai

Művelet	Deriváltja
$(c\cdot f(x))'$	$c\cdot f'(x)$
$(f(x)\pm g(x))'$	$f'(x)\pm g'(x)$
$(f(x)\cdot g(x))'$	$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
${\biggl (}{f(x) \over g(x)}{\biggr )}'$	${f'(x)g(x)-f(x)g'(x) \over g^{2}(x)}$
$(f_{(g(x))})'$	$f'_{(g(x))}\cdot g'(x)$
$((f(x))^{g(x)})'$	${\Bigl (}e^{\ln f(x)^{g(x)}}{\Bigr )}'={\Bigl (}e^{g(x)\ln f(x)}{\Bigr )}'=f(x)^{g(x)}{\Bigl (}g'(x)\ln f(x)+g(x){1 \over f(x)}f'(x){\Bigr )}$

További információk

• Magyarított Flash animáció a derivált geometriai jelentéséről a szinuszfüggvény példáján. Szerző: David M. Harrison

Kapcsolódó szócikkek

• Parciális derivált