Főmenü megnyitása
A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő x tengellyel bezárt szögének tangense. Minél jobban nő a függvény egy adott szakaszon, annál nagyobb a derivált.

A matematikában a derivált (vagy differenciálhányados) a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. A derivált lényegében annak a mértéke, hogy egy egyváltozós valós függvény görbéjéhez rajzolt érintője milyen meredek. Ez a geometriai jellegű fogalom szoros kapcsolatban van a függvény növekedésének elemzésével, a függvényvizsgálattal. A deriváltból következtethetünk a függvény

  • menetére (azaz, hogy monoton növekvő vagy monoton fogyó-e),
  • szélsőértékeire (lehet-e az adott pontban maximuma vagy minimuma),
  • grafikonjának görbületére (konvex vagy konkáv-e a függvénygörbe)
  • a növekedés mértékére (gyorsan változik-e a függvény vagy lassan)
  • a függvény közelítő értékére, lineárissal történő közelíthetőségére.

A derivált fogalma a 16. és a 17. században fejlődött ki, geometriai és mechanikai problémák megoldása során. Azóta a differenciálszámítás a matematika nagyon jól feldolgozott témaköre,[1] alkalmazása számos tudományban nélkülözhetetlen. Szigorú matematikai fogalomként csak a függvények differenciálhatóságának fogalmával együtt tárgyalható, de szemléletes tartalma enélkül is megérthető.

Pontos definíció és jelölésekSzerkesztés

Legyen f egyváltozós valós függvény, x0 az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény x0-beli deriváltján vagy differenciálhányadosán[2] a

 

határértéket értjük, ha ez létezik és véges (azaz valós szám).[3]

Mivel a határérték egyértelmű, ha egyáltalán létezik, ugyanígy a derivált is egyértelmű. A fenti határérték, azaz a derivált jele:

 , vagy  , vagy  

Az első a Lagrange-féle jelölés, ő használta először a „derivált” kifejezést. A második a Leibniz-féle, ő differenciálhányadosnak nevezte (később Hamilton differenciálkoefficiensként említi). Newton a deriváltat ponttal jelölte:   és fluxiónak nevezte.[4]

Rögzített x esetén az

 

hányadost differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak szokás nevezni. Ezután a derivált definiálható úgy is, mint a különbségi hányados   melletti határértéke.

A jobb oldali derivált akkor létezik, ha a   határérték létezik és véges.

A bal oldali derivált akkor létezik, ha a   határérték létezik és véges.

MagyarázatSzerkesztés

Az x pontbeli differenciálhányados a fenti definícióval ekvivalens módon felírható a következőképpen is:

  illetve  

h-t, illetve Δx-et a független változó növekményének, míg f(x+h) – f(x)-et, illetve f(xx) – f(x) -et a függvény vagy a függő változó növekményének nevezzük. Ez az írásmód a következő szemléletes értelmezésekkel kapcsolatos.

Mechanikai értelmezésSzerkesztés

A vizsgált függvényt egy mozgó test s(t) út-idő összefüggésének tekintve, t időpontra és Δt időtartamra a következőképp írható fel a különbségi hányados:

 

A számlálóban a megtett út, a nevezőben az út megtételéhez szükséges idő áll, így a hányados a test [t, t + Δt] időintervallumban számított átlagsebességét adja. Ha „egyre kisebb” Δt időtartamokra számoljuk ki ezt a hányadost, például 0,01, 0,001, … másodpercre (a lényeg, hogy 0-hoz tartunk), akkor a hányados értéke egyre kevésbé változik, és egyre inkább csak a t időpontra jellemző sebességadatot, a pillanatnyi sebességet adja:

 

Az   pontozott jelölést Newton óta a t változótól függő függvények deriváltjának jelölésére alkalmazzák.

Newton a differenciálszámítást a mechanika alaptörvényeinek felállítására alkalmazta, így ebben a tudományban nagyon sok fogalom feltételezi a deriválás eszközét.

Geometriai értelmezésSzerkesztés

Legyen   egyváltozós valós differenciálható függvény,   és   egy-egy szám az értelmezési tartományból. A képüket jelölje   és  . Ekkor a koordinátasíkon az   és   pontokat összekötő egyenes a függvénygrafikon egy szelője. A szelő meredeksége éppen az   differenciahányados. Ha   tart  -hoz, a szelők az érintőhöz, a differenciahányados pedig az   -beli differenciálhányadoshoz tart. Tehát a függvény  -beli differenciálhányadosa a függvénygrafikon  -beli érintőjének meredekségét adja meg.

KiszámításaSzerkesztés

Egyszerűbb, például algebrai függvények esetén a deriváltat a függvény értelmezési tartományának minden pontjában „egyszerre” (azaz függvényként), nehézség nélkül megadhatjuk. Például legyen a deriválandó függvény:

 

A különbségi hányados tetszőleges x pontban és tetszőleges Δx-re:

 
 
 

Vagyis a derivált:

 

A határérték-számítás miatt Δx ≠ 0, ezért lehet vele egyszerűsíteni:

 

A kifejezés Δx-re másodfokú. A polinomfüggvények folytonosságát felhasználva a határérték egyszerűen a Δx=0 behelyettesítéssel számolható.

Fontos, hogy magát a különbségi hányadost nem kell kiértékelnünk Δx=0 esetben, hiszen határérték-számítást végzünk, viszont a folytonosság miatt a már egyszerűsített kifejezésbe beírhatjuk Δx helyére a 0-t:

 
 

Elemi függvények deriváltjaiSzerkesztés

Függvény neve jele deriváltja
konstans    
konstans szorzó    
konstans alap, függvény kitevő    
hatvány    
exponenciális (e az Euler-féle szám)    
természetes logaritmus    
logaritmus (a pozitív és nem 1)    
Trigonometrikus függvények
szinusz    
koszinusz    
tangens    
kotangens    
Hiperbolikus függvények
hiperbolikus szinusz    
hiperbolikus koszinusz    
hiperbolikus tangens    
hiperbolikus kotangens    
Inverz trigonometrikus függvények
arkusz szinusz    
arkusz koszinusz    
arkusz tangens    
arkusz kotangens    
Inverz hiperbolikus függvények
area hiperbolikus szinusz    
area hiperbolikus koszinusz    
area hiperbolikus tangens    
area hiperbolikus kotangens    

Műveletek deriváltjaiSzerkesztés

Művelet Deriváltja
   
   
   
   
   
   

JegyzetekSzerkesztés

  1. Az alapfogalmak kiváló feldolgozása megtalálható például a következő alapműben: Spivak, Michael, Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, 1994, ISBN 978-0-914098-89-8
  2. A differenciálhányados inkább egy pontbeli értéket jelent, a derivált pedig az ezekből álló függvényt. A megkülönböztetés azonban annyira jelentéktelen, hogy a szakirodalomban is összemosódik.
  3. Lásd Bátkai András, Differenciálszámítás, ELTE jegyzet.
  4. Differential calculus, derivative entry in Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, Jeff Miller & al

További információkSzerkesztés

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés