Főmenü megnyitása

A lineáris függvények a matematikai függvények egyik osztálya. Az elsőfokú függvényeket és a konstans függvényeket közös néven lineáris függvényeknek nevezzük.

Az elemi matematikában elsősorban valós-valós függvényeket nevezünk lineárisnak. Azonban a fogalom értelmezhető tetszőleges gyűrű felett is. A lineáris algebrában speciálisabb módon is értelmezhetőek lineáris függvények, ezeket azonban gyakorta lineáris leképezéseknek nevezik.

Általános alakSzerkesztés

 
Párhuzamos, azonos meredekségű függvények grafikonjai

A lineáris függvény képének mint ponthalmaznak az egyenlete:

  1.  , ahol   a függvény meredeksége,[1]   pedig a tengelymetszet. Ha ugyanis  , akkor  .
  2.  , ezt az alakot főleg az egyenletrendszerek megoldása során használjuk.
  3.   a tengelymetszetes alak, ugyanis   esetén   és   esetén   lesz igaz, azaz átmegy a   és   tengelypontokon.[2]

Az egyes alakok egymással ekvivalensek, a paraméterek között kölcsönös egyértelműségi kapcsolat van.

Két lineáris függvény képe metszi egymást, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van. Ez a meredekségek esetén gyorsan megállapítható, ugyanis ha a két egyenes eltérő meredekségű, akkor biztosan van metszéspontjuk. A többi esetet pedig megpróbáljuk erre visszavezetni az egyszerűség kedvéért.[3]

MerőlegességSzerkesztés

Gyakori probléma, hogy két egyenes merőleges-e egymásra. Ez a lineáris függvények esetén aránylag egyszerűen eldönthető, mindössze azonos alakúvá kell tenni a kifejezéseiket.

MeredekségbőlSzerkesztés

Legyen a két egyenes megadva az

 

és

 

alakban. Ekkor a két egyenes merőlegességének feltétele:

 

Ez könnyen belátható, ha figyelembe vesszük, hogy a meredekség tulajdonképpen a függvény x-tengellyel bezárt szögének tangense. Ha ez a szög α, akkor a másik egyenes bezárt szöge α+90°. Legegyszerűbb nyersen a definíció alapján számolni:

 

EgyütthatókbólSzerkesztés

Ha a két függvény

 

és

 

alakban van megadva, a merőlegesség feltétele:

 

Ennek magyarázata a koordinátageometria révén értelmezhető. Az együtthatók ugyanis a függvények egyeneseinek irányvektorait határozzák meg, és két vektor akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk nulla.

Hasonlóan dönthető el a tengelymetszetes alakból is a merőlegesség.

TípusaiSzerkesztés

A lineáris függvényeknek két fajtája van:

  • elsőfokú függvények: f: R→R,   (feltéve, hogy a ≠ 0 )
  • konstans függvények: g: R→R,  

Képük egy-egy egyenes. A legegyszerűbb elsőfokú függvény az  

A b = 0 esetben egyenes arányosságról beszélünk. Ezek általánosítása többdimenzióban a lineáris leképezés vagy régebbi nevén homogén lineáris függvény. Ha b nem feltétlenül nulla, akkor ezek absztrakt általánosításai az affin függvények, melyek lineáris leképezések eltoltjai valamely konstanssal.

A konstans függvények illetve az elsőfokú függvények a függvénykompozícióra zárt halmazt alkotnak:

  • két konstans függvény kompozíciója konstans függvény -  ;
  • két elsőfokú függvény kompozíciója elsőfokú függvény -  .

Éppen ez okból sokszor a két típust külön is tárgyalják.

AlkalmazásokSzerkesztés

Egyenletek megoldásaSzerkesztés

Elsőfokú egyenletek esetén az algebrai megoldás (ekvivalens átalakítások és megoldóképletek) mellett legalább ilyen hatékony és látványos módszer az egyenlet grafikus megoldása. Ebben az esetben az egyenlet két oldalát egy-egy lineáris függvény formájában ábrázoljuk, majd ezek metszéspontjának abszcisszája lesz az egyenlet megoldása.

Szintén könnyen ábrázolható a kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer, ennek megoldását is két egyenes metszéspontja adja. Egyben ezen keresztül lehet értelmezni az összefüggő és a független egyenleteket.

A módszer didaktikai szerepe kettős. Egyrészt a vizuális tanulási típusú diákok számára nyújt segítséget, másrészt pedig a grafikus módszerekkel a tanulók számára közelebb lehet hozni a numerikus, közelítő számítások módszereit, különösen az intervallumokon alapuló megoldásokét.

Függvények transzformációiSzerkesztés

A hagyományos függvénytranszformációk tulajdonképpen felfoghatóak a lineáris függvényekkel vett jobb és bal oldali függvénykompozíciók eredményeként. Természetesen itt csak a valódi lineáris függvényeknek van értelmezhető szerepe, a konstansfüggvények nem a várt következményt adják.

A bal oldali kompozíció a függvény érték átalakítását fedi le, az elsőfokú tag együtthatója az y irányú nyújtást, a konstans tag az eltolást jelenti. Hasonlóan a jobb oldali kompozíció az x irányú nyújtást és eltolást, azaz a független változó transzformációját értelmezi.

  •   a függvényérték transzformációja
  •   a független változó transzformációja

Világosan látható, hogy az   esetben mindkétszer konstansfüggvényt kapunk, az első esetben  , a másodikban   értékkel.

Komplex függvényekSzerkesztés

A komplex függvények esetén a lineáris függvények tulajdonképpen a komplex sík speciális leképezéseit jelentik. Ha a függvény alakja:

 

akkor ez valójában három különböző transzformációt jelképez.

  1. A síkot   szöggel elforgatjuk.
  2. Elvégzünk egy   mértékű nyújtást.
  3. A konstans tag pedig a sík eltolását jelenti.

Mivel  , az elforgatás és a nyújtás könnyen belátható, a konstans tag pedig egyszerűen a   pontba viszi a 0-t.

MegjegyzésekSzerkesztés

  1. A meredekség definíciója is innen eredeztethető. Lényegében az   és   pontokat összekötő szakasz   és   irányú vetületeinek hányadosa:
     
  2. Ez az alak nem használható, ha a függvény átmegy az origón!
  3. Ez ráadásul jó hivatkozási alap a lineáris algebrában is egyes problémák megoldhatóságának eldöntésére.

ForrásSzerkesztés

Lásd mégSzerkesztés