Lineáris függvény
A lineáris függvények a matematikai függvények egyik osztálya. Az elsőfokú függvényeket és a konstans függvényeket közös néven lineáris függvényeknek nevezzük.
Az elemi matematikában elsősorban valós-valós függvényeket nevezünk lineárisnak. Azonban a fogalom értelmezhető tetszőleges gyűrű felett is. A lineáris algebrában speciálisabb módon is értelmezhetőek lineáris függvények, ezeket azonban gyakorta lineáris leképezéseknek nevezik.
Általános alak
szerkesztésA lineáris függvény képének mint ponthalmaznak az egyenlete:
- , ahol a függvény meredeksége,[1] pedig a tengelymetszet. Ha ugyanis , akkor .
- , ezt az alakot főleg az egyenletrendszerek megoldása során használjuk.
- a tengelymetszetes alak, ugyanis esetén és esetén lesz igaz, azaz átmegy a és tengelypontokon.[2]
Az egyes alakok egymással ekvivalensek, a paraméterek között kölcsönös egyértelműségi kapcsolat van.
Két lineáris függvény képe metszi egymást, ha az egyenleteikből álló egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van. Ez a meredekségek esetén gyorsan megállapítható, ugyanis ha a két egyenes eltérő meredekségű, akkor biztosan van metszéspontjuk. A többi esetet pedig megpróbáljuk erre visszavezetni az egyszerűség kedvéért.[3]
A grafikon sose párhuzamos az tengellyel, mivel az egyetlen elemhez végtelen sok, azaz egynél több értéket rendelne. Ez ellentmond a függvény definíciójának.
Tengelymetszetek
szerkesztés- Metszéspont az -tengellyel:
- Metszéspont az -tengellyel:
Metszéspontok
szerkesztésHa a két függvény és , akkor meg kell oldani az egyenletet.
- Az megoldás a metszéspont -koordinátája
- a metszéspont -koordináta
- Így a metszéspont
Merőlegesség
szerkesztésGyakori probléma, hogy két egyenes merőleges-e egymásra. Ez a lineáris függvények esetén aránylag egyszerűen eldönthető, mindössze azonos alakúvá kell tenni a kifejezéseiket.
Meredekségből
szerkesztésLegyen a két egyenes megadva az
és
alakban. Ekkor a két egyenes merőlegességének feltétele:
Ez könnyen belátható, ha figyelembe vesszük, hogy a meredekség tulajdonképpen a függvény x-tengellyel bezárt szögének tangense. Ha ez a szög α, akkor a másik egyenes bezárt szöge α+90°. Legegyszerűbb nyersen a definíció alapján számolni:
Együtthatókból
szerkesztésHa a két függvény
és
alakban van megadva, a merőlegesség feltétele:
Ennek magyarázata a koordinátageometria révén értelmezhető. Az együtthatók ugyanis a függvények egyeneseinek irányvektorait határozzák meg, és két vektor akkor merőleges egymásra, ha a skaláris szorzatuk nulla.
Hasonlóan dönthető el a tengelymetszetes alakból is a merőlegesség.
Egyenlet két pontból
szerkesztésAdva legyenek az az és , egymástól különböző pontok, melyek az lineáris függvény grafikonján fekszenek.
A meredekség
és a tengelymetszet
- vagy
Tehát a keresett függvénykifejezés
egyszerűbben
Egyenlet egy pontból és meredekségből
szerkesztésJelölje a pontot, és a meredekséget. Az egyenletet keressük az alakban. Ekkor
Meredekség
szerkesztésHa az egyenes az alakban van adva, akkor meredeksége .
A két ponton átmenő egyenes meredeksége:
Típusai
szerkesztésA lineáris függvényeknek két fajtája van:
- elsőfokú függvények: (feltéve, hogy a ≠ 0 )
- konstans függvények:
Képük egy-egy egyenes. A legegyszerűbb elsőfokú függvény az
A b = 0 esetben egyenes arányosságról beszélünk. Ezek általánosítása többdimenzióban a lineáris leképezés vagy régebbi nevén homogén lineáris függvény. Ha b nem feltétlenül nulla, akkor ezek absztrakt általánosításai az affin függvények, melyek lineáris leképezések eltoltjai valamely konstanssal.
A konstans függvények illetve az elsőfokú függvények a függvénykompozícióra zárt halmazt alkotnak:
- két konstans függvény kompozíciója konstans függvény - ;
- két elsőfokú függvény kompozíciója elsőfokú függvény - .
Éppen ez okból sokszor a két típust külön is tárgyalják.
Derivált és határozatlan integrál
szerkesztésAz függvény deriváltja tehát mindig konstans függvény, mivel egy függvény deriváltja az pontbeli érintő meredekségét adja meg.
Az határozatlan integráljai alakúak. Ez a következőképpen mutatható meg:
Alkalmazások
szerkesztésEgyenletek megoldása
szerkesztésElsőfokú egyenletek esetén az algebrai megoldás (ekvivalens átalakítások és megoldóképletek) mellett legalább ilyen hatékony és látványos módszer az egyenlet grafikus megoldása. Ebben az esetben az egyenlet két oldalát egy-egy lineáris függvény formájában ábrázoljuk, majd ezek metszéspontjának abszcisszája lesz az egyenlet megoldása.
Szintén könnyen ábrázolható a kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer, ennek megoldását is két egyenes metszéspontja adja. Egyben ezen keresztül lehet értelmezni az összefüggő és a független egyenleteket.
A módszer didaktikai szerepe kettős. Egyrészt a vizuális tanulási típusú diákok számára nyújt segítséget, másrészt pedig a grafikus módszerekkel a tanulók számára közelebb lehet hozni a numerikus, közelítő számítások módszereit, különösen az intervallumokon alapuló megoldásokét.
Függvények transzformációi
szerkesztésA hagyományos függvénytranszformációk tulajdonképpen felfoghatóak a lineáris függvényekkel vett jobb és bal oldali függvénykompozíciók eredményeként. Természetesen itt csak a valódi lineáris függvényeknek van értelmezhető szerepe, a konstansfüggvények nem a várt következményt adják.
A bal oldali kompozíció a függvény érték átalakítását fedi le, az elsőfokú tag együtthatója az y irányú nyújtást, a konstans tag az eltolást jelenti. Hasonlóan a jobb oldali kompozíció az x irányú nyújtást és eltolást, azaz a független változó transzformációját értelmezi.
- a függvényérték transzformációja
- a független változó transzformációja
Világosan látható, hogy az esetben mindkétszer konstansfüggvényt kapunk, az első esetben , a másodikban értékkel.
Komplex függvények
szerkesztésA komplex függvények esetén a lineáris függvények tulajdonképpen a komplex sík speciális leképezéseit jelentik. Ha a függvény alakja:
akkor ez valójában három különböző transzformációt jelképez.
- A síkot szöggel elforgatjuk.
- Elvégzünk egy mértékű nyújtást.
- A konstans tag pedig a sík eltolását jelenti.
Mivel , az elforgatás és a nyújtás könnyen belátható, a konstans tag pedig egyszerűen a pontba viszi a 0-t.
Megjegyzések
szerkesztésForrások
szerkesztés- Matek portál
- Bronstejn Ilja Nyikolajevics – Musiol Gerhardt – Mühlig Heiner – Szemengyajev: Matematika kézikönyv (TypoTeX, 2009) ISBN 978-963-2790-79-4
- Manfred Leppig: Lernstufen Mathematik. Girardet 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 61–74.
Fordítás
szerkesztésEz a szócikk részben vagy egészben a Lineare Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.