Szög

az elfordulás nagysága

A szög mint síkgeometriai fogalom. A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget alkot. A szög jelentheti a félegyenesek által határolt síkrészeket (szögtartomány), illetve magukat a félegyeneseket is (a szög szárai, szögvonal). Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikről van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük. A félegyenesek közös pontját a szög csúcsának, a félegyeneseket a szög szárainak nevezzük. Szokták szögnek hívni a szögtartományt, és beszélnek forgásszögekről is, melyek forgatáskor keletkeznek, és a teljesszögnél is nagyobbak lehetnek. Forgásszögeknél szokás előjeles szögekről is beszélni. A pozitív előjel az óramutató járásával ellentétes forgásirányt jelöli.

A szög, mint félegyenespár
A szög, mint a sík része
Forgásszög

A szög mint mennyiség. A síkszög arányszám: a szögcsúcs köré írt körvonalból a szög szárai által kimetszett ív hosszának és a hozzá tartozó sugár hosszának aránya. Ehhez hasonlóan a térszög is arányszám: a térszög csúcsa köré írt gömbfelületből a szög által kimetszett gömbfelület területének és a gömbsugárhossz négyzetének aránya. A térszögtől való megkülönböztetés miatt a síkbeli szöget síkszögnek is nevezzük. A síkszög, mint mennyiség definiálható forgásszögként is, így lehet előjeles is, vagy a teljesszögnél nagyobb.

DefiníciókSzerkesztés

 
Pótszögek

Alapvetően a szögnek kétféle definíció létezik: az előjel nélküli és az előjeles. A nem irányított szög előjel nélküli, az irányított előjeles. A bevezetésben említett definíció használatos például a koordinátarendszerek és a koordinátarendszer tengelyei esetén. A szög félegyenespárként való meghatározás esetén a félegyenesek egy közös pontból indulnak:

Ha  ,   egyenesek, amelyek az   pontban metszik egymást, akkor az   pont az  ,   egyeneseket félegyenesekre osztja. Ekkor ezek a félegyenesek az   ponttal együtt szöget alkotnak. Az   pont a szög csúcsa, az  ,   egyenesek   pontból induló félegyenesei a szög szárai.
A szög, pontosabban a szögtartomány a síknak az a része, melyet egy pontból kiinduló két félegyenes határol. Ezek a szögtartomány határa, míg a szögtartomány többi része a szög belseje.

Az iskolai tanítás során ezt a változatot használják, ezzel kiemelik azt, hogy a szögnek területe van. A belső, illetve a külső tér elhatárolásával a háromszög-geometria bevezetését szolgálja. A háromszög definiálható három szögtartomány metszeteként.

Az eddigi definíciók előjel nélküli szöget definiáltak. A következőkben előjeles szögeket is definiálunk.

Az is mondható, hogy a szög egy félegyenes végpontja körüli forgatásával keletkezik. Megkülönböztetésként ezt a szöget forgásszögnek is nevezik. A forgás irányára két lehetőség van:

  • Balra forgatáskor az óramutató járásával ellentétes irányba forog
  • Jobbra forgatáskor az óramutató járásával megegyező irányba forog

Az elforgatás (maga a folyamat és nem a végeredmény) lehet nagyobb is mint, a teljesszög. Az ilyen szög nagysága lehet nullától kisebb is és teljes szögtől, azaz 360°-tól illetve 2π radiántól nagyobb is (több, mint egy kör elforgatás). A szög fogalmának ily módon való kiterjesztése a trigonometrikus függvényeknél, a matematikai analízisben jelentős. A matematikában az óramutatóval ellentétes irány számít pozitívnak. Ha csak másként nem jelzik, akkor a forgatást ebbe az irányba végzik.

A geodéziában nem használnak előjelet, és a forgatás iránya mindig az óramutató járása szerinti. Az óra analógjára a szögeket 0-tól 24 h-ig, vagy 0 gontól 400 gonig mérik. Minden geodéziai műszert óramutató járása szerinti irányba forgatnak.

A szögek felosztásaSzerkesztés

  • Nullszög: 0°.
  • Hegyesszög: 0°-nál nagyobb, de 90°-nál kisebb szög.
  • Gér: nyolcadkörívhez tartozó szög, 45°, π/4 radián.
  • Derékszög: negyedkörívhez tartozó szög, 90°, π/2 radián. Mellékszögével egyenlő nagyságú.
  • Tompaszög: 90°-nál nagyobb, de 180°-nál kisebb szög.
  • Egyenesszög: félkörívhez tartozó szög, szárai egyenest alkotnak. Az egyenesszög két derékszög összege, 180°, π radián.
  • Konvex szögek: az egyenesszögnél kisebb szögek, tehát a hegyesszögek, a tompaszögek és a derékszög konvex szögek.
  • Konkáv szögek: más néven homorúszögek; az egyenesszögnél nagyobb szögek (az ábrán az ABC szög).
  • Teljes szög: egész körívhez tartozó szög; a két szögszár egybeesik, és a belső tartománnyal együtt felöleli az egész síkot. 360°, 2π radián.

JelölésekSzerkesztés

 
Mellékszögek

Az ISO 80000-2 szerint a szögeket a következőképpen adjuk meg:

  • A szöget görög kisbetűkkel jelöljük, mint   vagy  .
  • Az   szöget két félegyenes, egyenes vagy él zárja közre. Irányát az   irányából a   irányába számítjuk.
  • Három ponttal megadott szög esetén mindig a középső pont a szög csúcsa. Jelölése ABC szög,   vagy  . Ez a szög az   és   félegyenesek közé zárt szögek közül az, ami    -re való matematikailag pozitív irányú forgatásával keletkezik.
  • Az angol nyelvű szakirodalomban szokásos még a   illetve   jelölés.

A nem irányított szög jelölése »∠« (HTML ∠/∠, TeX \angle, Unicode U+2220). Irányított szög jelölésére használható még  »∡« (TeX \measuredangle, U+2221; HTML kód nincs. Mindkét jel megtalálható a Unicode-kódtáblában. A fekvő szög jelölés angol-amerikai; az Európában használt jel összetéveszthető az angol-amerikai »∢« U+2222 térszöget jelölő jellel. A szög és a meedekség jelölésére használható  »∠« is.

Speciálisan, a derékszöget jelölik úgy is, mint:

  • »∟«, derékszög alakban felrajzolva
  • »⦝«, szög ívvel és ponttal
  • »⊾«, szög ívvel
  • »⦜«, szög négyzettel
  •  , ortogonális

SzögpárokSzerkesztés

 
Váltószögek
  • Mellékszögek: két olyan szög, amelyeknek egy-egy szára azonos, a másik kettő pedig egyenest alkot. Egymást egyenesszöggé egészítik ki.
  • Kiegészítő szögek: két olyan szög, amelyek összege egyenesszög.
  • Pótszögek: két olyan szög, amelyek összege derékszög.
  • Párhuzamos szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik párhuzamos egyeneseken vannak. A párhuzamos szögek lehetnek:
  •     1) egyállású szögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyenlő irányításúak (egyenlő nagyságúak)
  •     2) váltószögek: A száraik páronként párhuzamosak és ellenkező irányításúak (egyenlő nagyságúak)
  •          (speciális esetben) Csúcsszögek: csúcsuk azonos, és mindkét száruk egymás szárainak meghosszabbítása. Azonos nagyságúak
  •    3) társszögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyik pár egyező a másik ellenkező irányítású (egymás kiegészítőszögei)
  • Merőleges szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik egymásra merőleges egyeneseken vannak. (egyenlő nagyságúak vagy egymás kiegészítőszögei)

További elnevezésekSzerkesztés

  • Belső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó két oldal által bezárt szög.
  • Külső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó oldal és a szomszédjának ama szögponton túl való meghosszabbítása által közbezárt szög.

A szögek méréseSzerkesztés

 
Merőleges szárú szögek a)
 
Merőleges szárú szögek b)

A θ szög méréséhez egy körívet húzunk, melynek középpontja a szög csúcsa. Legyen a körív hossza s, a kör sugara pedig r, k pedig egy választott együttható. Ekkor a szög mértéke:

 

amely független a kör méretétől, mivel a körív és a sugár aránya állandó.

A szögeket dimenzió nélkülinek szokták tekinteni, mivel két hosszúság hányadosaként jelenik meg. Ennek ellenére a szögeket többféle mértékegységben fejezik ki attól függően, hogy milyen értéket választottunk a k együtthatónak.

  • A fok, amelyet egy felső helyzetű körrel jelölnek (°), a teljes kör 1/360-ad része, tehát a teljes kör mértéke 360°. A fok 1/60-ad része az ívperc, melynek jelölése:  ′ . A fokperc 1/60-ad része az ívmásodperc, melynek jelölése:  ″  A θ szög fokban való meghatározásához:
 
  • Egy radián a mértéke annak a szögnek, amelynél a hozzá tartozó körív és sugár hányadosa 1. (vagyis k = 1 a fenti képletben). A teljes kör mértéke 2π radián. Egy radián 180/π fok, azaz közelítőleg 57,2958 fok. A radián rövidítése rad, de ezt jellemzően nem szokták kiírni a matematikai szövegekben, ahol az alapértelmezett mértékegység a radián. Ezt a választást az indokolja, hogy ezzel egyszerűbbek lesznek a képletek, és nem kerülnek bele mindenféle váltószámok. Lásd: [1] A radián a szögek mértékegysége az SI rendszerben.
  • Léteznek más egységek is. Ezekről a Mértékegységek átszámítása#Szög tartalmaz adatokat.
Szögmérték Mértékegység 1 teljesszög = Mértékegység jele
Teljesszög 1
Ívmérték Radián 2π rad
Fok Fok (perc, másodperc) 360 ° ( ′ ″ )
Geodéziai szögmérték Gradián (újfok) 400 gon (grad)
Időmérték Óra, perc, másodperc 24 h m s
Tengerészeti vonás 32 ¯
Tüzérzeti vonás 6400 mil ( A‰ )
Százalék nem lineáris %, ‰

Síkszögek a térbenSzerkesztés

A térelemek által bezárt síkszögek is értelmezhetők.

  • A párhuzamos egyenesek, síkok által bezárt szög a nullszög.
  • Egy sík és az abban fekvő egyenes szöge is nullszög.
  • Két metsző egyenes által bezárt szög a keletkezett szögek közül a kisebb, ami legfeljebb 90 fok.
  • Két kitérő egyenes szöge megegyezik az eltoltjaik által bezárt szöggel.
  • Egy metsző egyenes-sík pár szöge az egyenes és a síkra vett merőleges vetülete által bezárt szög.
  • Két egymást metsző sík által meghatározott szög megegyezik azzal a szöggel, amit a síkban levő, a metszésvonalukra merőleges egyenesek bezárnak. Ezt a szöget nevezik lapszögnek.

TérszögekSzerkesztés

Térszög helyett térszögletet is mondanak. A térszögek nagyságát általában szteradiánban mérik, ami a radián térbeli megfelelője, de néha felbukkannak más mértékegységek is. Térszög található poliéderek csúcsánál. Lásd: Mértékegységek átszámítása#Térszög Egy szteradiánnyi szög a csúcsa köré írt r sugarú gömb felszínéből r2 területet metsz ki. A teljes gömbhöz tartozó térszög mértéke

 

Szögek különböző geometriákbanSzerkesztés

Többnyire euklideszi geometriáról lévén szó, a szögeket is euklideszinek tekintjük. Azonban más geometriákban is vannak szögek.

A háromszögek szögei és oldalai közötti kapcsolatokat egyenlőségek és egyenlőtlenségek írják le. A különböző geometriákban ezek az összefüggések különböznek. Euklideszi geometriában ismert összefüggés, hogy hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van. Emellett a szinusztétel és a koszinusztétel pontos egyenlőséget is megad. A háromszögeket szögeik csak hasonlóság erejéig határozzák meg. A háromszögek szögeinek összege egyenesszög.

Gömbi geometriában a gömbi szinusztétel és a gömbi koszinusztétel érvényesül, illetve vannak még más tételek is. A háromszögeket szögeik egybevágóságig meghatározzák. A háromszögek szögeinek összege egyenesszögnél nagyobb.

Hiperbolikus geometriában a hiperbolikus szinusztétel és a hiperbolikus koszinusztétel ad összefüggést. A háromszögeket szögeik egybevágóságig meghatározzák. A háromszögek szögeinek összege egyenesszögnél kisebb.

Szögek számításaSzerkesztés

Derékszögű háromszögSzerkesztés

 
Derékszögű háromszög az   és   hegyesszögekkel

Ha egy derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög adott, akkor a másik egyértelműen meghatározott, mivel a szögek összege 180 fok, és ebben a derékszög kitesz 90 fokot, azért ha a hegyesszögek   és  , akkor  .

Ha ismertek az  ,   és   oldalhosszak, akkor a hegyesszögek kiszámolhatók szögfüggvényekkel és árkuszfüggvényekkel. Ha a hegyesszögek   és  , akkor teljesül, hogy

 
 

Általános háromszögSzerkesztés

 
Háromszög az  ,   és   belső szögekkel

Ha egy háromszög szögei  ,   és  , akkor  . Ezért két szög meghatározza a harmadikat.

Ha ismert két oldal hossza és az egyikkel szemközti szög, akkor a másik oldallal szemközti szög szinusztétellel számítható. Teljesül például, hogy  . Az árkusz szinusz függvénnyel  .

Mindhárom oldal ismeretében a koszinusztétellel kiszámíthatók a szögek. Teljesül például, hogy  . Az árkusz koszinusz függvénnyel  .

Ha derékszögű koordinátarendszerben a háromszög csúcsaival van megadva, akkor a belső szögek két vektor közötti szögként számíthatók. Legyenek a csúcsok  ,  ,  ! Ekkor   és   az   pontból kiinduló vektorok, így  . Itt   skaláris szorzat és   a vektorok hossza.

Tetraéder szögeiSzerkesztés

 
Szabályos tetraéder, lapjain a szögek  -osak; a tetraéderszög  ; a lapszög   és az élek és lapok közötti szög  

A tetraéderben előforduló szögek:

  • a lapokon, mint háromszögeken levő szögek
  • a lapok lapszögei
  • a csúcsoknál levő térszögek

Egyenesek hajlásszögeSzerkesztés

Ha egy egyenes egyenlete egy sík derékszögű koordinátarendszerében  , akkor hajlásszögét az   tengelyhez  -val jelölve:

 .

Ez következik a tangens definíciójából. Az árkusz tangens használatával

 .

Ha a tangens nem létezik, akkor  , ami azt jelenti, hogy az egyenes párhuzamos az   tengellyel, így hajlásszöge az   tengelyhez 0.

Két egyenes metszésszögeSzerkesztés

Legyenek   és   egyenesek egy sík derékszögű koordinátarendszerében a   és   pontokkal és   és   lineárisan független irányvektorokkal. Ha szögük  , akkor

 .

Az egyenesek merőlegesek, ha metszésszögük derékszög, tehát  . Ez ekvivalens azzal, hogy irányvektoraik skalárszorzata 0. Ez azt jelenti, hogy  .[1]

Ha a két egyenes   és   alakban van megadva, és egymással bezárt szögük  , akkor az általuk közrezárt szög az   tengellyel bezárt hajlásszögekből számítható:

 .

Alkalmazva az addíciós tételt a tangensre:

 .

Mivel   és  , azért következik, hogy:

 .

Egybevetve

 .

Alkalmazva az árkusz tangenst kapjuk, hogy

 .

Az egyenesek pontosan akkor merőlegesek, ha  . Ekkor az egyenletek nincsenek definiálva.[2]

Egyenes és sík metszésszögeSzerkesztés

Legyen   az   irányvektorú egyenes és az   normálvektorú sík metszésszöge. Ekkor

 
 
A   egyenes és az   sík által bezárt   szög. A   egyenes vetülete az   síkra a   egyenes.  
 
Két sík által bezárt szög:  


Két sík metszésszögeSzerkesztés

Legyen   és   a két sík normálvektora! Ekkor a két sík metszésszöge

 .

Nevezetes szögek szerkesztéseSzerkesztés

Vannak szögek, amik megszerkeszthetők körzővel és vonalzóval. Ezek közül a legnevezetesebbek a derékszög, a 60, a 30 és a 72 fokos szögek, valamint az ezekből felezéssel, összeadással, kivonással kapható szögek. Az így keletkezett szögek mellett szerkeszthetők a szabályos 17-szögből kapható szögek is. Az algebra eredményei szerint a szögek általában nem harmadolhatók; nevezetesen, a 60 fokos szög nem harmadolható körzővel és vonalzóval.

Műveletek szögekkelSzerkesztés

Szögek összeadása, kivonásaSzerkesztés

 
Szögek összeadása
 
Szögek kivonása

Összeadáskor úgy mérjük fel a szögeket, hogy körívet húzunk az első szögbe, amit meghosszabbítunk úgy, hogy a másik szög is odaférjen. Ezután a másik szögbe ugyanezzel a környílással körívet húzunk. A körív és a szög szárainak metszéspontjai közötti távolságot felmérjük az első szög melletti meghosszabbított körívre. Meghúzzuk a második szögszárat a csúcspontból a metszésponthoz.

Kivonáskor hasonlóan járunk el. Úgy mérjük fel a szögeket, hogy körívet húzunk a nagyobb szögbe. Ezután a másik szögbe ugyanezzel a környílással körívet húzunk. A körív és a szög szárainak metszéspontjai közötti távolságot felmérjük a nagyobb szögtartományban befelé. Meghúzzuk a második szögszárat a csúcspontból a metszésponthoz. Így kapjuk a szögek különbségét.

Szögek felosztásaSzerkesztés

 
Szögfelezés, szögfelező (pirossal)

Szögfelezés: egy, a csúcsból húzott körívvel elmetsszük a szög két szárát, majd a kapott metszéspontokból ugyanakkora környílással köríveket húzunk úgy, hogy messék egymást. A szög csúcsát összekötjük a metszésponttal. Így elfeleztük a szöget.

Szögharmadolás euklideszi szerkesztéssel nem lehetséges, azonban közelítő szerkesztések lehetségesek. Továbbá vannak más eszközök is, például a Tomahawk rajzeszköz, melyek lehetővé teszik a szögharmadolást.

Tetszőleges arányú osztáshoz olyan segédeszköz kell, amivel szögek és szakaszok egymással arányosan egymásra képezhetők. Ilyen például egy arkhimédészi spirál vagy Hippiász-féle kvadratiksz. Így a szakaszok és a szögek felosztása kölcsönösen átvihetők egymásba. Ezek az eszközök használhatók olyan sokszögek megrajzolásához, melyek nem szerkeszthetők körzővel és vonalzóal.

A 60 fokos, és a belőle kapható szögekSzerkesztés

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott pontján átSzerkesztés

 
60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott pontján át

Legyen az egyenes  , és a pont  !

  • A   pont körül kört húzunk, melynek metszéspontjait  -gyel jelölje   és  .
  • Ugyanezzel a sugárral kört vonunk az   vagy a   pont köré. Az első körrel vett egyik metszéspontot jelölje  .
  • A   egyenes áthalad a   ponton, és 60 fokos szöget zár be a   egyenessel.

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott külső ponton átSzerkesztés

 
60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott külső ponton át

Legyen ismét az egyenes  , és a pont  !

  • Merőlegest bocsátunk a   pontból  -re. Innen kapjuk az   és   kör-egyenes szimmetrikus metszéspontokat, a  -vel átellenes   pontot. A talppontot a továbbiakban   jelöli.
  • Kört húzunk   körül úgy, hogy átmenjen a   ponton. Ez a kör a továbbiakban  .
  • Ugyanekkora sugárral   körül is kört húzunk, ez a   kör. A két kör metszéspontjai   és  , melyek össztekötő egyenese a   szakasz felezőmerőlegese.
  • A   háromszög egyenlő oldalú, melynek  -n átmenő oldalai  -et 60 fokban metszik.

Egy alternatív szerkesztésmód:

  • Húzunk egy kört a   pont körül úgy, hogy messe a   egyenest. Az egyik metszéspontot megjelöljük, ez lesz az   pont.
  • Ugyanezzel a sugárral kört húzunk az   pont körül, ennek egyik metszéspontja a   pont.
  •   körül kört húzunk ugyanezzel a sugárral, ami a   körüli kört a   pontban metszi.
  • A   pont körül kört húzunk, ennek metszéspontja a   pont körüli körrel a   pont.
  • A   egyenes 60 fokban metszi a   egyenest.

A 60 fokos szög szerkesztéseSzerkesztés

 
60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott külső ponton át (egy alternatív szerkesztési mód)
  • Meghúzunk egy egyenes szakaszt
  • Kijelölünk rajta egy O pontot
  • Húzunk O-ból egy körívet, ami metszi az egyenes szakaszt; a metszéspont legyen A
  • A körző szögnyílását változatlanul hagyva húzunk A-ból egy körívet, hogy messe az O középpontú körívet. Legyen ez a metszéspont B
  • Az AOB hegyesszög 60 fokos lesz.

A 60 fokos szögből felezéssel kapható a 30 fokos szög. Derékszög nyerhető egy 60 és egy 30 fokos szög egymás mellé másolásával, vagy az egyenesszög megfelezésével.

Ezekkel a szögekkel szerkeszthetők szabályos hatszögek, szabályos háromszögek, téglalapok és négyzetek.

A 90 fokos szög (derékszög) szerkesztéseSzerkesztés

Derékszög szerkesztésekor egy előre megadott, vagy felvett szakasz felezőmerőlegesét szerkesztjük meg.

Merőleges állítása egyenesre annak egy pontjábanSzerkesztés

 
Merőleges állítása egyenesre külső pontból
 
Merőleges állítása egyenesre annak egy pontjában

Nevezzük az egyenest  -nek, és az adott pontot  -nek!

  • Húzunk egy tetszőleges sugarú kört   középponttal. A kört   két pontban metszi.
  • Egyforma sugarú köröket húzunk a metszéspontok körül. A sugarat akkorának kell választani, hogy ezek a körök messék egymást.
  • Összekötjük a két kör metszéspontjait. Az így kapott szakasz a   egyenest a   pontban merőlegesen metszi.

Merőleges állítása egyenesre külső pontbólSzerkesztés

Legyen ismét   az egyenes, és az adott pont  !

  • Húzunk egy kört   középponttal és akkora távolsággal, ami nagyobb, mint a pont és az egyenes távolsága. A kört   két pontban metszi.
  • Egyforma sugarú köröket húzunk a metszéspontok körül. A sugarat akkorának kell választani, hogy ezek a körök messék egymást.
  • Összekötjük a két kör metszéspontjait. Az így kapott egyenes merőlegesen metszi a   egyenest, és átmegy a   ponton.

Merőleges állítása adott metszéspont nélkülSzerkesztés

 
Merőleges szerkesztése Thalész-körrel

Legyen az egyenes továbbra is  !

  • A   egyenesen tetszőlegesen felvesszük a különböző   és   pontokat.
  • Húzunk két kört egyforma sugárral   és   körül, hogy messék egymást. A két metszéspontot összekötve merőlegest kapunk a   egyenesre.

DiszkusszióSzerkesztés

Nem kell a teljes köröket felrajzolni. Elég csak akkora köríveket behúzni, hogy a metszéspontok megtalálhatók legyenek.

Minél messzebb vesszük fel a segédpontokat, annál pontosabb lehet a szerkesztés, hiszen annál kisebb hatása van a behúzott vonalak vastagságának. Viszont ha nagy a távolság, akkor a körök laposabb szögben metszik egymást, ami növeli a pontatlanságot.

Szakaszfelező merőlegesSzerkesztés

 
Szakaszfelező merőleges

Hasonló szerkesztéssel lehet kijelölni szakaszfelező merőlegest: a szakasz végpontjai körül köröket húzunk egyforma sugárral, és összekötjük ezek metszéspontjait.

30 fokos szög szerkesztéseSzerkesztés

Habár 30 fokos szög megkapható a 60 fokos szög felezésével, azért 30 fokos szög egyszerűbben is szerkeszthető.

Adott egyenest adott pontjában 30 fokban metsző egyenes szerkesztéseSzerkesztés

 
Adott egyenest adott pontjában 30 fokban metsző egyenes szerkesztése


Legyen az egyenes  , az adott pont  !

  • Felveszünk egy tetszőleges   pontot az egyenesen, és kört húzunk   középponttal a   ponton át. Adódik a   metszéspont.
  • Kört húzunk a   pont körül ugyanezzel a sugárral, és legyen a két kör egyik metszéspontja  .
  • A   egyenes  -et 30 fokban metszi.

Adott egyenest adott külső ponton átmenő, 30 fokban metsző egyenes szerkesztéseSzerkesztés

Legyen az egyenes  , az adott pont  !

  • Tetszőleges sugárral kört húzunk   körül, ami  -et az  ,   pontokban metszi.
  • Az   pont körül   sugárral kört húzunk. Hasonlóan,   körül ugyanezzel a sugárral kört húzunk. A két kör túloldali metszéspontját jelölje  .
  • A   egyenes metszéspontja  -gyel  .
  •   sugárral kört húzunk   és   körül is. Adódik az   pont.
  •  -t  -vel összekötve adódik az   pont.
  •   sugárral kört húzunk   körül, a  -gyel vett metszéspont  .
  •   sugárral kört rajzolunk a   pont körül, ez a   egyenest a   pontban metszi.
  • A   egyenes  -et 30 fokban metszi.

Egy alternatív szerkesztésmód a 60 fokos szög alternatív szerkesztésén alapul. Az ottani jelölésekkel az ötödik kör   középpontú,  -n átmenő kör, a 30 fokban metsző egyenes a   egyenes.

 
Adott egyenest adott külső ponton átmenő, 30 fokban metsző egyenes szerkesztése
 
Adott egyenest adott külső ponton átmenő, 30 fokban metsző egyenes szerkesztése, alternatív szerkesztési módszer


A szabályos ötszögből kapható szögekSzerkesztés

Szabályos ötszög szerkeszthető, így a 72, a 108 és az 54 fokos szögek. Ezekkel tovább bővül a szerkeszthető szögek köre.

Szabályos ötszög szerkeszthető például adott a oldalhosszból:

  • Felvesszük az adott oldalhosszt A és B végpontokkal, "a" szakaszhossz.
  • Megszerkesztjük AB felezőmerőlegesét
  • Felmérjük a felezőmerőlegesre az "a" szakaszhosszt; az így kimetszett pont Q
  • Az AQ szakasz meghosszabbítására felmérjük az "a" hossz felét; az így kimetszett pont R. Az AR szakasz hossza adja az ötszög átlójának hosszát, d-t
  • Az AB felezőmerőlegesből az A-ból húzott d sugarú körív kimetszi D-t. Ezzel megkaptuk a szabályos ötszög egy oldala és egy átlója által bezárt szöget
  • Az ötszög hiányzó két csúcsa a már meglevő csúcsokból húzott a sugarú körívekkel.

Ezzel megkapjuk a szabályos ötszög belső szögeként a 108 fokos szöget, ennek kiegészítő szögeként a 72 fokos szöget, és felezéssel az 54 fokos szöget.

 
72°, 54° és 18° szabályos ötszögben:  ,  


Általános szögszerkesztésekSzerkesztés

 
A 3°-os szög többszörösei szerkeszthetők. Az ábra néhány példát mutat erre.
A 9° és a 3° szerkesztéséhez szükség van a 30° és a szabályos ötszög szerkesztésére

Szerkeszthetők a fenti szögek, 90°, 60°, 72° illetve 54°; ezek összegei, különbségei, és felezéssel (ami tetszőleges számszor megismételhető) további szögek kaphatók. Például 3° kapható a következőképpen:  . Általában szerkeszthetők azok a szögek, melyek szinusza (koszinusza) előáll egész számokból alapműveletekkel és négyzetgyökvonásokkal. Ez teljesül például minden olyan szögre, ami a 3°-os szög egész számú többszöröse: [3]

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

A szögfelezés kifejezhető a felezési tételekkel:

  és  

Az összeadások, kivonások követhetők az addíciós tételekkel:

  und  

Kiszámítható, hogy a 17-szög középponti szögének koszinusza:

 ,

ami szerkeszthetőségét igazolja.

Tételek a szögekrőlSzerkesztés

  • Speciális eset: Thalész-tétel: egy kör átmérőjéből a kör pontjai derékszögben látszanak
 
Kerületi szög, középponti szög és húr-érintő szög

TrigonometriaSzerkesztés

A trigonometrikus függvények vagy szögfüggvények eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldalának hányadosa közötti összefüggést írják le.

A szögfüggvényeknek a derékszögű háromszög két oldalának hányadosa és a szög összefüggésén kívül az egységsugarú körben tekintett forgásszög-végpontok metszeteivel (vetületeivel, koordinátáival) is definiálhatók. Ez utóbbi definíció már 90°, azaz π/2-nél nagyobb, sőt negatív (mindent összevéve, tetszőleges valós) argumentumokra is működik.

A szögfüggvények segítségével pontosíthatók az összefüggések a háromszögek oldalai és szögei között:

  • Szinusztétel: egy háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával.   A háromszög oldalai és szögei közötti összefüggés pontos alakja
  • Koszinusztétel: :  A Pitagorasz-tétel általánosítása

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

Nézd meg a szög címszót a Wikiszótárban!

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Winkel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.