Thalész-tétel

geometriai tétel
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2024. június 13.

A Thalész-tétel a geometria egyik legkorábbi eredetű tétele. Nevét a milétoszi Thalészról kapta.

A Thalész-tétel szerint a γ szög derékszög

Tétel (Thalész) Ha vesszük egy O középpontú kör AB átmérőjét, valamint a körvonal egy tetszőleges (A-tól és B-től különböző) C pontját, akkor az ABC háromszög C csúcsánál lévő γ szöge derékszög lesz.

Bizonyítások

szerkesztés

A Thalész-tételnek számtalan bizonyítása van. Ezek közül néhány ízelítőül:

A háromszögek szögösszegtétele alapján

szerkesztés

Azt fogjuk felhasználni, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°.

 
Ábra a belső szögek összegére vonatkozó tételt felhasználó bizonyításhoz

Legyen   a kör középpontja. Ekkor az   és a   háromszög egyenlő szárú, azaz

  és
 .

Az   szakasz pont az   és   részekre osztja  -t , így

 

Az   háromszög belső szögeinek összege (ami a szögösszegtétel szerint 180°) épp e négy szög összege, tehát:

 ;

vagyis:

 
 
 

így:

  QED

Azt kell belátnunk, hogy az ábrán a   szög hegyesszög vagy derékszög.

 
Ábra Eukleidész bizonyításához

Hosszabbítsuk meg az   szakaszt  -n túl egy tetszőleges   pontig. Legyen   a kör középpontja. Mivel   és   a kör sugara, ezért az   háromszög egyenlő szárú, így

 

Továbbá, mivel   is a kör sugara ezért az   háromszög is egyenlő szárú, így

 

Mivel

 

ezért az előbbiek miatt

 

is teljesül. Viszont a külsőszög-tétel miatt az   háromszög   külső szöge egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével, azaz

 

vagyis

 

amiből az következik, hogy   fele az egyenesszögnek, tehát  -nél derékszög van. QED

Egy elemi geometriai bizonyítás szimmetriatulajdonságokkal

szerkesztés
 
Ábra a Thalész-tétel szimmetriákkal történő bizonyításához

Rajzoljuk be az O középpontot és hosszabbítsuk meg a CO szakaszt O-n túl a kör ívéig, amit metsszen a D pontban.

Azt kell belátnunk, hogy a C-nél lévő szög derékszög.

Tudjuk, hogy egy négyszög akkor és csak akkor téglalap, ha átlói felezik egymást és egyenlő hosszúságúak. De az ADBC négyszög átlói egyenlők (mert mindkettő a kör átmérője) és felezik egymást (az O pontban), így az ADBC négyszög téglalap. Ebből viszont következik, hogy minden szöge, így a C-nél lévő szög is derékszög. QED

Megjegyzés. Természetesen a szimmetriát itt az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés jelenti.

Egy másik bizonyítás szimmetriával

szerkesztés

Tükrözzük a háromszöget az átfogójára. Ekkor az   négyszög deltoid lesz. Az   és a   csúcsoknál lévő szögek összege 180°, ez a kerületi és középponti szögek tételéből következik. Mivel a négyszög szögeinek összege 360°, ezért a  -nél és a  -nél lévő szögek összege is 180° kell legyen. Ezek a szögek viszont a tükrözés miatt egyenlőek, tehát derékszögek. QED

A Pitagorasz-tételből és megfordításából

szerkesztés

Legyen a k kör egy átmérője d, középpontja O. Vegyünk föl a kör ívén egy, az átmérő két végpontjától különböző C pontot és bocsássunk merőlegest C-ből d-re. Legyen a merőleges talppontja T. Az OTC derékszögű háromszög oldalait jelöljük így:

 
Ábra a Thalész-tétel Pitagorasz-tétellel történő bizonyításához
  (a kör sugara)
  (az ABC háromszög C-ből kiinduló magassága)
 

Továbbá

  és
 

Ekkor az OTC, ATC és CTB derékszögű háromszögekre rendre felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:

 
 
 

Azt fogjuk belátni, hogy az ABC háromszög olyan, hogy két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik négyzetével (  ). A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint ugyanis ekkor ABC derékszögű háromszög (és a derékszög a d-vel szemközt van).

 

Tehát a C-nél lévő szög derékszög. QED

Megjegyzés. Az   esetben a tétel triviális módon igaz, hiszen ekkor az AOC és az OBC háromszögek egybevágó egyenlő szárú derékszögű háromszögek. Ekkor tehát  .

Vektorokkal

szerkesztés

Ismeretes, ha   rögzített vektor, akkor azon   vektorok, amikre

 

egy olyan kört határoznak meg, aminek átmérője  . A fenti egyenletet felhasználva:

 

A három vektor (  és  ) egy háromszöget határoz meg, aminek két oldala (  és  ) merőleges egymásra. Ez az utolsó sorból egyértelműen látszik. Mivel   végpontjai pedig a körön vannak, kapjuk a tétel állítását.

Hasonlósággal

szerkesztés
 
Magyarázó ábra a hasonlósággal igazoláshoz

A derékszögű háromszög AC befogójának felezőmerőlegese az AB átfogót az M pontban metszi. A befogó felezőpontja legyen F. Ekkor az FM szakasz párhuzamos BC-vel a merőlegesség miatt, így  , és mivel  , a hasonlóság miatt  , azaz M az átfogó felezőpontja. Mivel pedig az oldalfelezők egy pontban metszik egymást, ami egyben a köréírható kör középpontja is, kapjuk a tétel állítását.

Szakaszok meredekségével

szerkesztés

Az alábbi bizonyítás koordinátageometriai eszközöket használ fel. Ehhez fel kell venni egy koordináta-rendszert. Mivel ebben semmilyen megkötésünk nincsen, a lehető legegyszerűbb feltételekkel élünk: az x-tengely irányítása legyen a háromszög   oldalával egyező, és az origót ezen oldal felezőpontjába helyezzük el. Ekkor   és  .

Mint látható, ez egy igen szerencsés választás volt, mert így a kör egy tetszőleges pontja (ami természetesen nincs az x-tengelyen) a   koordinátákkal adható meg. Az   és   oldalak meredeksége ekkor aránylag egyszerűen számolható:

 

Hasonlóan kapjuk:

 

Számoljuk ki a két meredekség szorzatát!

 .[1]

Két egyenes meredekségének szorzata akkor és csak akkor -1, ha merőlegesek egymásra. Ezzel a tétel bizonyítását befejeztük. QED

A tétel megfordítása

szerkesztés

Általánosítások

szerkesztés

A Thalész-tétel speciális esete a középponti és kerületi szögek tételének, miszerint egy körben bármely középponti szög kétszer akkora, mint az azonos ívhez tartozó kerületi szög. Emiatt a Thalész-tételt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy:

A félkörívhez tartozó minden kerületi szög derékszög.

A látószög fogalmának felhasználásával az általánosítás újabb formában fogalmazható meg:

  • Tétel – Azon pontok síkbeli helye, melyekből egy szakasz mindig ugyanakkora szögben látszik, egy körív, melynek két végpontját a szakasz köti össze.

Ez magában foglalja a tételt és a megfordítását is.

Megjegyzések

szerkesztés
  1. Itt kihasználtuk a szögfüggvényekre vonatkozó   azonosságot

Kapcsolódó szócikkek

szerkesztés