Thalész-tétel
A Thalész-tétel a geometria egyik legkorábbi eredetű tétele. Nevét a milétoszi Thalészról kapta.
Tétel (Thalész) Ha vesszük egy O középpontú kör AB átmérőjét, valamint a körvonal egy tetszőleges (A-tól és B-től különböző) C pontját, akkor az ABC háromszög C csúcsánál lévő γ szöge derékszög lesz.
Bizonyítások
szerkesztésA Thalész-tételnek számtalan bizonyítása van. Ezek közül néhány ízelítőül:
A háromszögek szögösszegtétele alapján
szerkesztésAzt fogjuk felhasználni, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°.
Legyen a kör középpontja. Ekkor az és a háromszög egyenlő szárú, azaz
- és
- .
Az szakasz pont az és részekre osztja -t , így
Az háromszög belső szögeinek összege (ami a szögösszegtétel szerint 180°) épp e négy szög összege, tehát:
- ;
vagyis:
így:
Eukleidész bizonyítása
szerkesztésAzt kell belátnunk, hogy az ábrán a szög hegyesszög vagy derékszög.
Hosszabbítsuk meg az szakaszt -n túl egy tetszőleges pontig. Legyen a kör középpontja. Mivel és a kör sugara, ezért az háromszög egyenlő szárú, így
Továbbá, mivel is a kör sugara ezért az háromszög is egyenlő szárú, így
Mivel
ezért az előbbiek miatt
is teljesül. Viszont a külsőszög-tétel miatt az háromszög külső szöge egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével, azaz
vagyis
amiből az következik, hogy fele az egyenesszögnek, tehát -nél derékszög van. QED
Egy elemi geometriai bizonyítás szimmetriatulajdonságokkal
szerkesztésRajzoljuk be az O középpontot és hosszabbítsuk meg a CO szakaszt O-n túl a kör ívéig, amit metsszen a D pontban.
Azt kell belátnunk, hogy a C-nél lévő szög derékszög.
Tudjuk, hogy egy négyszög akkor és csak akkor téglalap, ha átlói felezik egymást és egyenlő hosszúságúak. De az ADBC négyszög átlói egyenlők (mert mindkettő a kör átmérője) és felezik egymást (az O pontban), így az ADBC négyszög téglalap. Ebből viszont következik, hogy minden szöge, így a C-nél lévő szög is derékszög. QED
Megjegyzés. Természetesen a szimmetriát itt az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés jelenti.
Egy másik bizonyítás szimmetriával
szerkesztésTükrözzük a háromszöget az átfogójára. Ekkor az négyszög deltoid lesz. Az és a csúcsoknál lévő szögek összege 180°, ez a kerületi és középponti szögek tételéből következik. Mivel a négyszög szögeinek összege 360°, ezért a -nél és a -nél lévő szögek összege is 180° kell legyen. Ezek a szögek viszont a tükrözés miatt egyenlőek, tehát derékszögek. QED
A Pitagorasz-tételből és megfordításából
szerkesztésLegyen a k kör egy átmérője d, középpontja O. Vegyünk föl a kör ívén egy, az átmérő két végpontjától különböző C pontot és bocsássunk merőlegest C-ből d-re. Legyen a merőleges talppontja T. Az OTC derékszögű háromszög oldalait jelöljük így:
- (a kör sugara)
- (az ABC háromszög C-ből kiinduló magassága)
Továbbá
- és
Ekkor az OTC, ATC és CTB derékszögű háromszögekre rendre felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:
Azt fogjuk belátni, hogy az ABC háromszög olyan, hogy két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik négyzetével ( ). A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint ugyanis ekkor ABC derékszögű háromszög (és a derékszög a d-vel szemközt van).
Tehát a C-nél lévő szög derékszög. QED
Megjegyzés. Az esetben a tétel triviális módon igaz, hiszen ekkor az AOC és az OBC háromszögek egybevágó egyenlő szárú derékszögű háromszögek. Ekkor tehát .
Vektorokkal
szerkesztésIsmeretes, ha rögzített vektor, akkor azon vektorok, amikre
egy olyan kört határoznak meg, aminek átmérője . A fenti egyenletet felhasználva:
A három vektor ( és ) egy háromszöget határoz meg, aminek két oldala ( és ) merőleges egymásra. Ez az utolsó sorból egyértelműen látszik. Mivel végpontjai pedig a körön vannak, kapjuk a tétel állítását.
Hasonlósággal
szerkesztésA derékszögű háromszög AC befogójának felezőmerőlegese az AB átfogót az M pontban metszi. A befogó felezőpontja legyen F. Ekkor az FM szakasz párhuzamos BC-vel a merőlegesség miatt, így , és mivel , a hasonlóság miatt , azaz M az átfogó felezőpontja. Mivel pedig az oldalfelezők egy pontban metszik egymást, ami egyben a köréírható kör középpontja is, kapjuk a tétel állítását.
Szakaszok meredekségével
szerkesztésAz alábbi bizonyítás koordinátageometriai eszközöket használ fel. Ehhez fel kell venni egy koordináta-rendszert. Mivel ebben semmilyen megkötésünk nincsen, a lehető legegyszerűbb feltételekkel élünk: az x-tengely irányítása legyen a háromszög oldalával egyező, és az origót ezen oldal felezőpontjába helyezzük el. Ekkor és .
Mint látható, ez egy igen szerencsés választás volt, mert így a kör egy tetszőleges pontja (ami természetesen nincs az x-tengelyen) a koordinátákkal adható meg. Az és oldalak meredeksége ekkor aránylag egyszerűen számolható:
Hasonlóan kapjuk:
Számoljuk ki a két meredekség szorzatát!
- .[1]
Két egyenes meredekségének szorzata akkor és csak akkor -1, ha merőlegesek egymásra. Ezzel a tétel bizonyítását befejeztük. QED
A tétel megfordítása
szerkesztésÁltalánosítások
szerkesztésA Thalész-tétel speciális esete a középponti és kerületi szögek tételének, miszerint egy körben bármely középponti szög kétszer akkora, mint az azonos ívhez tartozó kerületi szög. Emiatt a Thalész-tételt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy:
- A félkörívhez tartozó minden kerületi szög derékszög.
A látószög fogalmának felhasználásával az általánosítás újabb formában fogalmazható meg:
- Tétel – Azon pontok síkbeli helye, melyekből egy szakasz mindig ugyanakkora szögben látszik, egy körív, melynek két végpontját a szakasz köti össze.
Ez magában foglalja a tételt és a megfordítását is.
Megjegyzések
szerkesztés- ↑ Itt kihasználtuk a szögfüggvényekre vonatkozó azonosságot