Kerületi és középponti szögek tétele

geometriai tétel

A kerületi és középponti szögek tétele egy geometriai tétel, mely kimondja, hogy adott körben adott ívhez tartozó kerületi szög mindig fele az ívhez tartozó középponti szögnek. Más megfogalmazásban: Adott körben adott ívhez tartozó középponti szög mindig kétszerese az ívhez tartozó kerületi szögnek. A tételből következményként adódik a Thalész-tétel.

Kerületi és középponti szög

BizonyításaSzerkesztés

A tételt hat alesetre bontva bizonyítjuk.

I. esetSzerkesztés

A középponti szög egyik szára illeszkedik a – nem érintő szárú – kerületi szög egyik szárára.

 
I. eset

Legyen az adott kerületi szög a továbbiakban  , a középponti szög pedig  . Az ábrán látható   háromszög egyenlő szárú, mert  , ezért  -nél és  -nél lévő szöge egyaránt  . Mivel   ennek a háromszögnek külső szöge, egyenlő a két másik csúcsnál lévő belső szög összegével, azaz  .

II. esetSzerkesztés

 
II. eset

A középponti szög a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába esik, nincs közös száruk.

Vegyük fel a   egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem  ) metszéspontja legyen  . A   szakasz az   kerületi szöget   és   szögekre,   középponti szöget   és   szögekre osztja.

Vegyük észre, hogy (a  -t nem tartalmazó)   és   ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy  , illetve  .

Ezeket az egyenleteket összeadva kapjuk, hogy  , vagyis  .

III. esetSzerkesztés

A középponti szög nem esik a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába.

 
III. eset

Vegyük fel a   egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem  ) metszéspontja legyen  . Legyen  ,  ,   és  .

Mivel (a  -t nem tartalmazó)   és   ívekre az I. esetben már beláttuk, hogy  , illetve  , az első egyenletből a másodikat kivonva:

 .
 
IV. eset

IV. esetSzerkesztés

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög kisebb az egyenesszögnél.

Legyen az ábra szerint   szakasz felezőpontja  . Ekkor, lévén   háromszög egyenlő szárú,   szakasz két egyenlő szögre osztja  -t (az ábrán  ).

Mivel   és   merőleges szárú szögek, egyenlő nagyságúak, ezért  .

V. esetSzerkesztés

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög éppen egyenesszög.

 
V. eset

Ebben az esetben a kérdéses ívhez tartozó húr éppen a kör átmérője. Mivel az érintési pontba húzott sugár (és így az ezt tartalmazó átmérő is) merőleges az érintőre,   derékszög, ezért nyilvánvalóan  .

VI. esetSzerkesztés

A kerületi szög érintő szárú, a középponti szög nagyobb az egyenesszögnél.

 
VI. eset

Legyen a kisebb   jelölése  , amely biztosan kisebb az egyenesszögnél, és nagysága  ° . Az ehhez a szöghöz tartozó érintő szárú kerületi szög az ábrán  -vel jelölt szög,   kiegészítő szöge; nagysága  ° . A IV. esetben belátottak miatt

 , vagyis
 ° ° , azaz
 .

Ezzel a tételt beláttuk. Q.E.D.

Lásd mégSzerkesztés