Főmenü megnyitása
Térszög

A térszög (jele: Ω) olyan szög a háromdimenziós térben, amelyet egy 0 csúcspontú, tetszőleges zárt vezérgörbéjű kúp határoz meg. A térszöget annak a felületdarabnak a nagyságával mérjük, amelyet a kúpfelület az 0 középpontú gömbből kivág. (A kivágott felület alakja közömbös, csak a nagysága számít.)

A térszög azt méri, hogy az adott pontból nézve milyen nagynak tűnik egy objektum. (Például egy közel lévő kis objektum ugyanakkora térszöget zárhat be, mint egy távoli nagy objektum.) A térszög úgy viszonyul a gömb felszínéhez, mint a síkszög a kör kerületéhez, vagyis értéke egyenesen arányos az objektumnak vetületének az 0 középpontú gömb felszínén mért területével (S) , és fordítottan a gömbsugár (r) négyzetével: (ahol k arányossági konstans).

Amennyiben a k konstanst 1-nek választjuk, akkor a térszög mértékegysége az SI-beli szteradián (jele: sr). Ekkor a térszög legnagyobb értéke a teljes gömbfelülethez tartozik: .

A térszög mérhető még négyzetfokban () vagy gömbrészben ().

A gömbrész méretének meghatározásához az adott objektum területét osztani kell a gömb teljes felszínével. A gömbrész (legyen most jele: gr) értéke ezután átszámítható szteradiánná vagy négyzetfokká (legyen most jele: nf) a következő képletek segítségével:

  1. - a szteradián érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket -vel.
  2. - a négyzetfok érték kiszámításához szorozni kell a gömbrész értéket , vagyis -vel.

DefinícióSzerkesztés

Legyen A tetszőleges felület, és S A vetülete az r sugarú gömb felszínén. Ekkor az A felület Ω térszöge

 

ahol   a gömb középpontjából kifelé mutató egységvektor,   infinitezimálisan kicsiny felületdarab, és ρ ennek a gömb középpontjától mért távolsága.

AlkalmazásokSzerkesztés

Más dimenziókbanSzerkesztés

A térszög általánosítható minden d dimenzióra a d-gömbre való kiterjesztéssel. A gömbi szimmetriával kapcsolatban gyakran szükség is van erre. A teljes d dimenziós gömb térszöge

 

ahol   a teljes gammafüggvény.

Ha d egész, akkor a gammafüggvény értéke kiszámítható. Ezzel

 

Ez a képlet kiadja a kör kerületét a síkban és a 4π szteradiánt a háromdimenziós térben. Kevésbé nyilvánvaló, hogy a   intervallumra a 2-t adja ki, ami megegyezik ennek a szakasznak a hosszával.

Egyes objektumok térszögeiSzerkesztés

TetraéderSzerkesztés

Legyenek a tetraéder csúcsai A, B, C és O, ahol O az origó. Jelölje   rendre az A-ba, B-be, C-be mutató vektorokat. A   szög legyen a BOC szög, és defiiáljuk ehhez hasonlóan a   szögeket. Jelölje   az OAC és az OBC síkok által bezárt szöget, és definiáljuk a   szögeket analóg módon. A tetraéder O-nál levő térszöge

 

Ez a gömbi felesleggel bizonyítható, és következményként egy olyan eredményt ad, ami megfelel a síkháromszög szögösszegéről szóló tételnek.

A tetraéder belső térszögeinek összege

 

ahol   végigfut a hat lapszögön.

Oosterom and Strackee használható algoritmust adott a tetraéder O-nál levő térszögének kiszámítására.:[1] A fenti jelölésekkel

 

ahol

 

annak a mátrixnak a determinánsa, aminek sorai az   vektorok. Ez megegyezik a három vektor vegyes szorzatával. A felülhúzás nélküli kisbetűk a vektorok hosszát, az egymás mellé írt vektorok a két vektor skaláris szorzatát jelölik.

Egy másik hasznos képlet a térszöget a   szögek függvényében adja meg. Ez L' Huilier tételéből adódik:

 

ahol

 

Kúp, gömbsüveg, félgömbSzerkesztés

 
Kúp (1) és gömbsüveg metszete (2) gömbben.
Az ábrán θ = a/2 és r = 1.

A   csúcsszögű kúp térszöge az egységgömbi gömbsüveg felszínével egyenlő:

 

Ez az eredmény a következő kettős integrállal számítható ki:

 

Arkhimédész bebizonyította az integrálszámítás használata nélkül, hogy a gömbsüveg felszíne megegyezik annak a körnek a területével, aminek ugyanakkora a sugara, mint a gömbsüveg peremének és annak a pontnak a távolsága, ahol a gömbsüveg szimmetriatengelye metszi a gömbsüveget. A diagramon ez a sugár:

 

Így az egységgömbi gömbsüveg térszöge:

 

Ha θ = π/2, akkor a gömbsüvegből félgömb lesz, aminek térszöge 2π.

Egy kúp komplementerének térszöge:

 

A Föld felszínén a   szélességen álló csillagász az éggömbnek ekkora részét figyelheti meg (az éggömb forgásának beszámításával):

 .

Az Egyenlítőről minden látszik, a sarkokról csak a fél éggömb.

PiramidSzerkesztés

A téglalap alapú egyenes gúla térszöge

 

ahol a és b a szemben fekvő oldalak lapszöge.

Ha az alap oldalhosszai α és β, és a piramid magassága d, akkor a csúcsszög:

 

Szélességi-hosszúsági téglalapSzerkesztés

Egy szélességi és hosszúsági körök által határolt gömbi téglalap középponti szöge

 , ahol   és   a határoló északi és déli szélességi kör, és   és   a határoló keleti és a nyugati hosszúsági kör. A hosszúsági körök radiánban mért szöge kelet felé nő.[2]

Matematikailag ez egy   hosszú körívet jelent, ami   radiánt söpör végig. Ha a hosszúság eléri a 2π radiánt, vagy a szélesség a π radiánt, akkor a térszög az egész kört átfogja.

A szélességi-hosszúsági téglalap térszöge nem tévesztendő össze a piramid csúcsszögével. A piramid oldalai főkörívekben metszik a gömböt, és a szélességi körök nem főkörök.

A Nap és a HoldSzerkesztés

A Nap és a Hold is az éggömb 0,001%-át foglalja el, vagyis úgy 6 x 10-5 szteradiánt.[2]

JegyzetekSzerkesztés

  1. Van Oosterom, A, Strackee, J (1983). „The Solid Angle of a Plane Triangle”. IEEE Trans. Biom. Eng. BME-30, 125-126. o. DOI:10.1109/TBME.1983.325207.  
  2. [1]

ForrásokSzerkesztés

  • Arthur P. Norton, A Star Atlas, Gall and Inglis, Edinburgh, 1969
  • F. M. Jackson, Polytopes in Euclidean n-Space. Inst. Math. Appl. Bull. (UK) 29, 172-174, Nov./Dec. 1993.
  • Eric W. Weisstein, Spherical Excess at MathWorld.
  • Eric W. Weisstein, Solid Angle at MathWorld.